1、第三章章末质量评估检测时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 zii 2i 3i 4 的值是( )A1 B0 C1 Di解析：zii 2i 3i 4i1 i 10.答案：B2i 是虚数单位，复数 在复平面上的对应点在( )2 i1 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析： i，对应点为 ，位于第四象限2 i1 i 2 i1 i1 i1 i 1 3i2 12 32 (12， 32)答案：D3i 是虚数单位，则 的虚部是( )i1 iA. i B i C. D12 12
2、 12 12解析： i，故选 C.i1 i 12 12答案：C4已知 i 为虚数单位，则复数 i(1i)的模等于( )A. B. C. D212 22 2解析：|i(1i)| 1i| . 12 12 2答案：C5复数 2 的共轭复数是( )(3 i1 i)A34i B34iC34i D34i解析： 2 34i ，所以 2 的共轭复数为 34i.(3 i1 i) 8 6i 2i 8 6ii 2i2 (3 i1 i)答案：A6已知下列命题：复数 abi 不是实数；若(x 24)(x 23x 2)i 是纯虚数，则实数 x2；若复数 zabi，则当且仅当 b0 时，z 为虚数其中正确的命题有( )A0
3、 个 B1 个 C2 个 D3 个解析：根据复数的有关概念判断命题的真假：是假命题，因为当 aR 且 b0 时，abi 是实数；是假命题，因为由纯虚数的条件得Error!解得 x2，当 x2 时，对应的复数为实数；是假命题，因为没强调 a，bR .答案：A7如果复数 (其中 i 为虚数单位，b 为实数) 的实部和虚部互为相反数，则 b 等于( )2 bi1 2iA. B. C D2223 23解析： i，2 bi1 2i 2 bi1 2i1 2i1 2i 2 2b 4 bi5 2 2b5 4 b5据题意有 ，解得 b .2 2b5 4 b5 23答案：C8设复数 z11i，z 2 i，其中 i
4、 为虚数单位，则 的虚部为( )3z1z2A. i B.1 34 1 34C. i D.3 14 3 14解析： i，虚部为 .z1z2 1 i3 i 1 i 3 i 3 i 3 i 3 14 3 14 3 14答案：D9已知复数 z 满足(12i 3)z 12i，则 z 等于( )A i B. i35 45 35 45C i D. i35 45 35 45解析：z i.1 2i1 2i3 1 2i1 2i 1 2i21 2i1 2i 3 4i5 35 45答案：A10已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为 M，则“a1”是“点 M 在第四象限 ”的(
5、 )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：z(a2i)(1i)(a 2)(a2)i，则点 M 的坐标为 (a2，a2)，当 a1 时，坐标为(3 ，1)，即点 M 在第四象限，若点 M 在第四象限，而 a1 却不一定成立，故“a1”是“点 M 在第四象限 ”的充分而不必要条件答案：A11若复数 z 满足(34i)z |43i|，则 z 的虚部为( )A4 B C4 D.45 45解析：设 zabi(a，bR)，则(34i)z(3 4i)( abi) 5，化简得 3a4b(3 b4a)i5，所以Error!解得Error!即 z i，所以 z 的虚部为 .35
6、 45 45答案：D12若 zcosisin (i 为虚数单位 )，则使 z21 的一个 值是( )A0 B. C D22解析：因为 z2(cos isin )2cos2isin2 ，又 z21，所以Error!再由选择项验证得 .2答案：B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知复数 z1i，则 z_.2z解析： z 1i 1i2i.2z 21 i 21 i 1 i1 i答案：2i14若复数 z12i(i 为虚数单位 )，则 z z _.z解析：因为 z12i，所以 z |z| 25，所以 z z6 2i.z z答案：62i15i 为虚数单位，设复数 z1，z 2
7、 在复平面内对应的点关于原点对称，若 z123i ，则z2_.解析：根据复数的几何意义，z 123i 与 z223i 对应的点关于原点对称答案：23i16设 z2z 1i (其中 表示 z1 的共轭复数) ，已知 z2 的实部是1，则 z2 的虚部为z1 z1_解析：设 z1abi(a，bR )，则 z2(abi)i(abi)(abi)( bai)(ab)(ba )i，因为 z2 的实部是 1，所以 ab1，所以虚部 ba1.答案：1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)复平面内有 A，B，C 三点，点 A 对应的复数是
8、 3i，向量 对AC 应的复数是24i，向量 对应的复数是4i，求 B 点对应的复数BC 解析：因为向量 对应的复数是 24i ，向量 对应的复数是4i，所以 表示的AC BC AB 复数是(4 i) (24i)23i，故 对应的复数为(3i) (23i)52i，所以 BOB OA AB 点对应的复数为 52i.18(本小题满分 12 分)已知虚数 z 满足|z| 1，z 22z 0，求 z.1z解析：设 zxy i(x，yR 且 y0) ，所以 x2y 21，则 z22z (x yi) 22(xyi)1z 1x yi(x 2 y23x)y(2 x1)i.因为 z22z 0 且 y0，1z所以
9、Error!又 x2y 21，解得Error!故 z i.12 3219(本小题满分 12 分)设复数 z1i ，且 1i，求实数 a，b 的值z2 az bz2 z 1解析：因为 z1i，所以 z2azb(a2)iab，z 2z1i，所以 z2 az bz2 z 1 (a2)(ab)i.又 1i，所以 Error!解得Error!a b a 2ii z2 az bz2 z 120(本小题满分 12 分)已知复数 z(2 xa)(2 x a)i，x，aR ，且 a 为常数，试求| z|的最小值 g(a)的表达式解析：|z| 2(2 xa) 2(2 x a) 22 2x 22x 2 a(2x2
10、x )2a 2，令 t2 x2 x ，则 t2，且 22x2 2x t 22，从而|z| 2t 22at2a 22(t a) 2a 22.当a2，即 a2 时，g(a) ；a2 2当a2，即 a2 时，g(a) |a1|.a 22 a2 2 2综上可知，g(a)Error!21(本小题满分 12 分)设复数 z1(a 24sin 2)(12cos)i，aR，(0，)，z 2 在复平面内对应的点在第一象限，且 z 34i ，2(1)求 z2 及|z 2|.(2)若 z1z 2，求 与 a 的值解析：(1)设 z2mni( m，nR)，则z (mni) 2m 2n 22mni 34i ，2即Err
11、or!解得Error!或Error!所以 z212i，或 z21 2i.又因为 z2 在复平面内对应的点在第一象限，所以 z212i 应舍去，故z21 2i，|z 2| .5(2)由(1)知(a 24sin 2)(12cos)i12i，即Error!解得 cos ，12因为 (0，)，所以 ，3所以 a214sin 214 4，a2.34综上， ，a2.322(本小题满分 12 分)设 z1 是虚数，z 2z 1 是实数，且1z 21.1z1(1)求|z 1|的值以及 z1 的实部的取值范围(2)若 ，求证： 为纯虚数1 z11 z1解析：(1)设 z1abi( a，bR 且 b0)，则 z2z 1 abi 1z1 1a bi (a aa2 b2)i.(b ba2 b2)因为 z2 是实数，b0，于是有 a2b 21，即|z 1|1，还可得 z22a.由1z 21，得12a1，解得 a ，即 z1 的实部的取值范围是 .12 12 12，12(2) 1 z11 z1 1 a bi1 a bi 1 a2 b2 2bi1 a2 b2 i.ba 1因为 a ，b0，所以 为纯虚数 12，12
