1、中档题型训练(六) 直角三角形的应用命题规律解直角三角形的应用是怀化市中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线( 斜三角形的高线) 把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解命题预测 预计2017年怀化中考，仍会考此知识点，以选择题、填空题的形式出 现的可能性较大，也可能出现解答题.仰角、俯角问题【例1】(2016广州中考)如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D.从A处看目标B，D的俯角分别是30，60，此时无人机的飞行高
2、度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 m到达A处3(1)求A，B之间的距离；(2)求从A处看目标D的俯角的正切值【学生解答】解：(1)BAC903060，AC60 m，在RtABC中，有AB ACcos BAC120(m)故A，B之间的距离为120 60cos60m；(2)过点D作 DEAA，交AA的延长线于点E，连接AD ，DAC906030，AC60 m，在RtADC中，有CD ACtanDAC60tan3020 (m)AEDEACC90，四边3形ACDE是矩形EDAC60 m，EACD 20 m，在RtAED中，有tanEAD 3EDEA EDEA AA .即从A 处看目标
3、D 的俯角的正切值为 .60203 303 235 2351(2016泸州中考)为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底 C处60 3m的点D( 点D与楼底 C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i 1 的斜坡DB前进30 3m到达点B ，在点B处测得楼顶 A的仰角为53，求楼房AC的高度(参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53 ，计算结果用根号表示，不取近似值)43解：AC(60 15) m.32(2015达州中考)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB ，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C 处安置测倾器，测得此时山顶A 的仰角
4、 AFH30；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D 与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角EGH45；(3)测得测倾器的高度CFDG1.5 m，并测得CD之间的距离为288 m；已知红军亭高度EA为12 m，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度 AB.( 取1.732，结果保留整数)3解：设AHx m，在RtEHG 中，EGH45 ，GH EHAE AHx12，GFCD288 m，HFGH GF x12288x300，在RtAHF 中，AFH30，AH HFtanAFH，即x(x 300) ，解得 x150( 1) ABAHB
5、H409.81.5411(m) 33 3答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411 m.方位角问题【例2】一艘观光游船从港口A 处以北偏东60的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37方向，马上以40海里/h的速度前往救援，求海警船到达事故船 C处所需的大约时间 (参考数据：sin 530.8，cos 530.6)【学生解答】解：过点C作CDAB，交AB的延长线于点D.由题意得CAD30，CBD53，AC80海里，CD40海里在Rt CBD中，sin 53 ，CB 50(海里) 行驶时间为
6、 1.25(h)CDCB CDsin53400.8 5040答：海警船到达C处大约需1.25 h.来源:学优高考网3(2016宿迁中考)如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A处观察灯塔P在北偏东60方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45方向如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由(参考数据： 1.73) 来源:gkstk.Com3解：过点P作PCAB交AB 的延长线于点 C.由题意知PAC30，PBC45.设PCx，在RtPBC中，BCx，在Rt PCA中，AC x，8x x，x10.92. PC10，不会触礁3 3坡
7、度、坡比问题【例3】(2015内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端 D的仰角为30 ，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D的仰角为60.已知A点的高度 AB为3 m，台阶AC的坡度为1 (即 ABBC 1 )，且B，C，E三点在同一条直线上请根据以上条件求出树DE 的3 3高度(测倾器的高度忽略不计) 【学生解答】解：在RtABC中，tan ACB ，ACB30，BAC 60，PAC30ABBC 13 33，ACD180ACBDCE90，DAC60.在RtABC中，ACB30，AC2AB6.在
8、Rt ACD中，DCACtanDAC6tan606 .在RtCDE中，DEDCsinDCE6 sin609(m)3 3答：树DE的高为9 m.来源:gkstk.Com4(2016黄石中考)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB800 m，BC 200 m，坡角BAF30，CBE45.(1)求AB 段山坡的高度 EF；(2)求山峰的高度CF.( 1.414，结果精确到米)2解：(1)EFABsin30400.答：AB段山坡高度为400 m；(2)CEBC sin45100 141，CF CEEF541(m) 来源:学优高考网g
9、kstk2答：山峰CF 的高度约为541 m.生活中的解直角三角形问题【例4】(2015绍兴中考)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC ，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A 、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位：cm) 如下：伞架来源:gkstk.ComDE DF AE AF AB AC长度 36 36 36 36 86 86(1)求AM 的长；(2)当BAC104时，求AD的长( 精确到1 cm)(备用数据：sin520.788，cos520.615 7，tan521.279 9)【学生解答】解：(1)由题意，得AMAEDE 363672
10、(cm )故AM的长为72 cm；(2)AP平分 BAC，BAC104，EAD BAC52.过点E作EGAD 于G ，AEDE36，12AGDG，AD2AG.在AEG中，AGE 90， AG AE cosEAG36 cos52360.615722.165 2.AD2AG222.165 244(cm )答：AD的长约为 44 cm.5(2015重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形 ABCD，其中AB CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N. 观察员在瞭望台顶端P 处观测到渔船M的俯角为31，渔船N的俯角为45.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为3
11、0 m.(1)求两渔船M ， N之间的距离；(结果精确到1 m)(2)已知坝高24 m，坝长100 m，背水坡AD的坡度i10.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i11.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan310.60，sin310.52)解：(1)在RtPEN中，EN PE30 m ，ME 50(m)，则MNEMEN 20(m) PEtan31答：两渔船M，
12、N之间的距离是20 m ；(2)过点D作DNAH于点N.由题意得：tanDAB 4，tanH .在RtDAN中，AN 47 DNtan DAB 2446(m)，在RtDHN中，HN 42(m )故 AHHNAN42636( m)S ADH AHDNDNtan H 2447 12432(m2)故需要填筑的土石方是VS ADH 100432 10043 200(m3)设原计划平均每天填筑土石方x m3，则原计划 天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2x m3.根据题意，得：10x43 200x2x43 200，解得x864.经检验，x864是原方程的解(43 200x 10 20)答：施工队
13、原计划平均每天填筑土石方864 m 3.相似三角形与圆【例5】(2015六盘水中考)如图，在RtACB中，ACB 90，点O是AC边上的一点，以O 为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接 OD.(1)求证：ADOACB ；(2)若O的半径为 1，求证： ACADBC.【学生解答】证明：(1)AB是O 的切线，ODAB，ACBADO 90，A A，ADOACB；(2)由(1)知：ADOACB， ， ADBCACOD，OD1，ACADBC.ADAC ODBC6(2015遂宁中考)如图，AB为O的直径，直线CD切O于点D，AMCD于点M，BNCD于点N.(1)求证：ADCABD；(2)求证：A
14、D 2AMAB ；(3)若AM ，sinABD ，求线段BN的长185 35解：(1)连接OD，直线CD 切O于点D ，CDO90 ，AB为O的直径，ADB90，CDAADO ADOBDO90，CDABDO ，OBOD，BDO ABD，ADCABD；(2)AM CD，AMDADB90，ADC ABD ，ADMABD， ，AD 2AMAD ADABAMAB；(3)sin ABD ，sinADM ，AM ，AD6，AB10，BD 8，BN35 35 185 AB2 AD2CD， BND90， DBNBDNADMBDN90，DBNADM ，sinNBD ，35DN ，BN .245 BD2 DN2 325
