1、目 录拓展题型 二次函数综合题 1拓展一 二次函数与线段和差问题 .1拓展二 二次函数与三角形面积问题 .10拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题 .23拓展四 二次函数与特殊三角形判定问题 .37拓展题型 二次函数综合题拓展一 二次函数与线段和差问题针对演练1. (2016 贺州 10 分 )如图,矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上,边OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为 (10,8) ,沿直线 OD 折叠矩形,使点A 正好落在 BC 上的 E 处,E 点坐标为(6,8),抛物线yax 2bx c 经过 O,A,E 三点(1)求此抛物线的解析式;(2)求 AD 的长;(3)点 P 是抛
2、物线对称轴上的一动点,当PAD 的周长最小时,求点 P 的坐标第 1 题图2. (2016 大连 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线yx 2 与 y 轴相交于点 A,点 B 与点 O 关于点 A 对称14(1)填空,点 B 的坐标是_;(2)过点 B 的直线 ykx b( 其中 k0)与 x 轴相交于点 C,过点C 作直线 l 平行于 y 轴,P 是直线 l 上一点,且 PBPC.求线段 PB的长( 用含 k 的式子表示 ),并判断点 P 是否在抛物线上,说明理由;(3)在(2)的条件下,若点 C 关于直线 BP 的对称点 C恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点 P 的坐标
3、第 2 题图3. 如图,抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y轴交于点 C,点 O 为坐标原点,点 E 在抛物线上,点 F 在 x 轴上,四边形 OCEF 为矩形,且 OF2,EF 3.(1)求抛物线的解析式;(2)连接 CB 交 EF 于点 M,再连接 AM 交 OC 于点 R,连接AC,求ACR 的周长;(3)设 G(4,5)在该抛物线上,P 是 y 轴上一动点,过点 P 作PH EF 于点 H,连接 AP,GH ,问 APPH HG 是否有最小值?如果有,求出点 P 的坐标;如果没有,请说明理由第 3 题图 备用图【答案】1解:(1)四边形 OABC 是矩形,B (
4、10,8) ,A(10,0). (1 分)又抛物线 yax 2bxc 经过点 A(10,0)、E(6 ,8)和 O(0,0), ,解得 ,210068abcc 130abc抛物线的解析式为 y x2 x; (313 103分)(2)由题意可知:ADED,BE1064,AB 8,(4分)设 AD 为 x,则 EDx,BDABAD 8x ,在 RtBDE 中,ED 2EB 2BD 2,即 x24 2 (8x) 2, (5 分)解得 x5,即 AD5;(6 分)(3)由(2)可知, D 点的坐标是(10,5),PAD 的周长 lPAPDADPAPD5,(7分)抛物线的对称轴是线段 OA 的垂直平分线
5、,点 P 是抛物线对称轴上的一动点,PO PA,lPAPD5POPD5,当 POPD 最小时,PAD 的周长 l 最小,即当点 P 移动到直线 OD 与抛物线对称轴的交点处时 POPD最小, (8 分)设直线 OD 的解析式为 ykx ,将 D 点坐标(10,5) 代入得:510k,解得 k ,12直线 OD 的解析式为 y x,(912分)当 x5 时, y ,52P 点的坐标是(5 , )(10 分)522解:(1)(0, ); (212分)【解法提示】由 yx 2 得:A(0, ),14 14点 B、O 关于点 A 对称,B(0, )12(2)直线 BC 过点 B(0, ),12直线 B
6、C 解析式为 ykx , (312分)C ( ,0) ,12k又P 是直线 l 上一点,可设 P( ,a) 12k如解图,过点 P 作 PNy 轴,垂足为 N,连接 PB,第 2 题解图则在 RtPNB 中,由勾股定理得:PB 2PN 2NB 2,PBPCa,a 2( )2(a )2,(5 分)1k12解得 a ,214kPB ,214kP 点坐标为( , ),(6 分)12k214当 x 时,y ,12k214k点 P 在抛物线上;(7 分)(3)如解图 ,由 C在 y 轴上,可知CBPC BP,第 2 题解图PBPC,CBPPCB,PCCB,PCBABC,CB PCBPABC60,PBC
7、为等边三角形,OB ,12BC1,OC ,32PC1,P( ,1)(12 分)323解:(1)四边形 OCEF 为矩形,且 OF2,EF3,C (0,3),E (2,3),将 C(0,3),E (2,3)代入抛物线解析式 yx 2bxc 得,解得 ,3423cbc 23bc抛物线的解析式为 yx 22x3;(2)由(1)得 yx 22 x3,令 y0,得 x22x30,解得 x1 1,x 23,A(1,0),B(3 ,0),AO 1,BO 3,又C(0,3),OC 3,在 RtAOC 中,由勾股定理,得 AC ,2210AOCCO BO3,OF2,OBCOCB45,AF3,BF1,MFBF1,
8、RO MF,ARO AMF, ,ROAMF ,13解得 RO ,13CR3 ,13 83在 RtAOR 中,AR ,2210()3ACR 的周长为 ;1083 103 8 4103(3)存在点 P,使得 APPHHG 的值最小如解图,取 OF 中点 A,连接 AG 交直线 EF 的延长线于点 H,过点 H 作 HPy 轴于点 P,连接 AP,此时,AP PHHG 的值最小,第 3 题解图设直线 AG 的解析式为 ykxa,将 A(1,0),G(4 ,5)代入得,045ka解得 ,35ka直线 AG 的解析式为 y x ,53 53令 x2,得 y ,103 53 53点 H 的坐标为(2, )
9、,53符合题意的点 P 的坐标为(0, )53拓展二 二次函数与三角形面积问题针对演练1. (2016 永州 12 分) 已知抛物线 yax 2bx3 经过(1,0) ,(3, 0)两点,与 y 轴交于点 C,直线 ykx 与抛物线交于 A,B 两点(1)写出点 C 的坐标并求出此抛物线的解析式;(2)当原点 O 为线段 AB 的中点时,求 k 的值及 A,B 两点的坐标;(3)是否存在实数 k 使得ABC 的面积为 ?若存在,求出 k3102的值;若不存在,请说明理由第 1 题图2. (2015 攀枝花)如图,已知抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交于A( 1,0),B(3 ,0)两点,与
10、 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M,连接 PB.(1)求该抛物线的解析式;(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D,使得BCD 的面积最大?若存在,求出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q,使得QMB 与PMB 的面积相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由第 2 题图3. (2015 桂林)如图,已知抛物线 y x2bxc 与坐标轴分别12交于点 A(0,8) 、B(8 ,0)和点 E,动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动,动
11、点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1个单位长度移动,动点 C、D 同时出发,当动点 D 到达原点 O 时,点 C、 D 停止运动(1)直接写出抛物线的解析式:_;(2)求 CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式;当 t 为何值时,CED 的面积最大?最大面积是多少?(3)当 CED 的面积最大时,在抛物线上是否存在点 P(点 E 除外),使 PCD 的面积等于CED 的最大面积,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由第 3 题图4. (2016 常州 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数yx 与二次函数 yx 2bx 的图象相交于 O、
12、A 两点,点 A(3,3),点 M 为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式;(2)长度为 2 的线段 PQ 在线段 OA(不包括端点 )上滑动,分别2过点 P、Q 作 x 轴的垂线交抛物线于点 P1、 Q1,求四边形 PQQ1P1面积的最大值;(3)直线 OA 上是否存在点 E,使得点 E 关于直线 MA 的对称点F 满足 SAOF S AOM ?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由第 4 题图【答案】1解:(1)令 x0,得 y3,C (0,3),把( 1,0)和(3,0)代入 yax 2bx 3 中,得,解得 ,309ab 12ab抛物线的解析式为 yx 22x3;(3分)(2
13、)联立方程组 ,23yxk解得 , ,21221 416kkxkkky 22222 416kkxkkky O 是 AB 的中点,x 1x 20,即2 24164160kkkk解得 k 2, 或 ,132xy23xyA( , 2 ),B ( ,2 );(7 分) ;3 3 3 3(3)不存在实数 k 使得ABC 的面积为 .理由如下:3102假设存在实数 k 使得 ABC 的面积为 ,3102联立方程组 ,解得23yxk, ,21221 416kkxkkky 22222 416kkxkkky 则 A( ), 222416416,kkkkkB( ), 222416416,kkkkkS ABC OC
14、(xBx A) ,12 3102 3 ,12 2416k3102k 24k1610,即 k24k60,b 24ac 16240,此方程无解,不存在实数 k 使得 ABC 的面积为 .(12 分)31022解:(1)把点 A(1,0),B(3,0)代入 y x2bxc ,得,解得 ,1093bc 23bcyx 22x3;【一题多解】由题意可知点 A(1,0),点 B(3,0) 是抛物线与x 轴的两个交点, 抛物线解析式为 y (x1)(x 3)x 22x3.(2)存在点 D,使得 BCD 的面积最大设 D(t,t 22t3) ,如解图,作 DHx 轴于点 H,C 点坐标为(0 ,3),第 2 题
15、解图则 SBCD S 四边形 DCOHS BDH S BOC t(t 22t 33)12 (3t)(t 22t3) 33 t2 t,12 12 32 92 0,即抛物线开口向下,在对称轴处取得最大值,32当 t 时,S BCD ( )2 ,922( 32) 32 32 32 92 32 278即点 D 的坐标为( , )时,S BCD 有最大值,且最大面积为 ;32 154 278(3)存在点 Q,使得 QMB 与PMB 的面积相等如解图,P(1 ,4) ,过点 P 且与 BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求 Q 点之一,第 2 题解图直线 BC 为 yx 3,过点 P 作 BC 的平行直线
16、 l1,设 l1 为 yxb,将 P(1,4)代入即可得到直线 l1 的解析式为 yx 5,联立方程组 ,253yx解得 , ,123xy214xyQ 1(2,3);直线 PM 为 x1,直线 BC 为 yx3,M (1,2),设 PM 与 x 轴交于点 E,PMEM2,过点 E 作 BC 的平行直线 l2,则过点 E 且与 BC 平行的直线 l2与抛物线的交点也为所求 Q 点之一,即将直线 BC 向下平移 2 个单位得到直线 l2,解析式为 yx 1,联立方程组 ,23yx解得 , ,113172xy22172xyQ 2( ),Q 3( ),3717,21717,22满足条件的 Q 点为 Q
17、1(2,3),Q 2( ),Q 3(31717,2)31717,223解:(1)y x23x8;12【解法提示】把点 A(0,8)、B (8,0)代入 y x2bx c 可得,12,解得 ,8320cbc 38bc抛物线解析式为 y x23x8.12(2)在 y x23x 8 中,当 y0 时, x23x80,12 12解得 x1 2,x 28,E(2,0),BE10,S CED DEOC,12S t(10t) t25t,12 12S 与 t 的函数关系式为:S t25t,12S t25t (t5) 2 ,12 12 252当 t5 时,CED 的面积最大,最大面积为 ;252(3)存在,当C
18、ED 的面积最大时,t5,即 BDDE5,此时,要使 SPCD S CED ,CD 为公共边,故只需求出过点 B、E 且平行于CD 的直线即可,如解图第 3 题解图设直线 CD 的解析式为 ykxb,由(2)可知 OC5,OD 3,C (0,5),D(3 ,0),把 C(0,5)、D(3 ,0)代入 ykx b,得 ,530bk解得 ,53kb直线 CD 的解析式为 y x5,53DE DB5,过点 B 且平行于 CD 的直线解析式为 y (x5) 5,53过点 E 且平行于 CD 的直线解析式为 y (x5) 5,53分别与抛物线解析式联立得:方程: x23x 8 (x5)5,12 53解得
19、 x18, x2 ,43方程: x23x 8 (x5)5,12 53解得 x3 ,x 42(舍去),343分别将 x 值代入抛物线解析式,得y10,y 2 ,y 3 ,1009 2009又P 点不与 E 点重合,满足题意的 P 点坐标有 3 个,分别是 P1(8,0) ,P 2( , ),43 1009P3( , )343 20094解:(1)由题意知,A(3 ,3)在二次函数 yx 2bx 的图象上,将 x3,y3 代入得 93b3,解得 b2,二次函数表达式为 yx 22x;(2 分)(2)如解图 所示,过点 P 作 PBQQ 1 于点 B,第 4 题解图PQ 2 ,且在直线 yx 上,2
20、PBQB2 ,(3 分)设 P(a,a),则 Q(a 2,a2),P1(a,a 2 2a),Q 1(a 2,(a2) 22(a2),即 Q1(a2,a 22a) ,四边形 PQQ1P1 的面积为:2 2()()22aaaS2a 22a22(a )2 ,(4 分)12 52当 Q 运动到点 A 时,OPOQ PQ ,a1,2a 的取值范围为 0a1,当 a 时,四边形 PQQ1P1 的面积最大,最大值为 ;(5 分)12 52(3)存在,点 E 的坐标为 E1( , ),E 2( , ),43 43 143 143如解图所示,连接 OM,第 4 题解图点 M 为抛物线顶点,M (1, 1),又O
21、A 所在直线为 yx ,OMOA,即AOM90,在AOF 和 AOM 中,以 OA 为底,当面积相等时,则两三角形 OA 边上的高相等,又OMOA,且 OM ,2可作两条与 OA 互相平行且距离为 的直线,(6 分)2如解图所示,在直线 HD、MC 上的点 F 均满足 SAOF S AOM,只需满足 E 点的对称点 F 在这两条直线上即可如解图,过点 A 作 ACMC 于点 C,易得四边形 OACM 为矩形,AM 为该矩形的一条对角线,取 AM 中点 O,过 O作 AM 垂线,交 OA 于点 E1,交 MC 于点 F1,OA 3 ,2 ,2222()()5AMOAMAO ,5AOE 1AOM,
22、(7分) , 11AEOEOMA ,13255解得 OE1 ,423点 E1 在 yx 上,E 1( , ),(843 43分)同理可得 HF2GE 2 ,423又OG2OA6 ,2OE 26 ,E 2( , )2423 1423 143 143综上所述,符合条件的 E 点的坐标为:E 1( , )、 43 43E2( , )143 143(10 分)拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题针对演练1. (2016 茂名 8 分) 如图,抛物线 yx 2bxc 经过 A(1,0),B(3,0)两点,且与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E,连接 BD
23、.(1)求经过 A,B,C 三点的抛物线的函数表达式;(2)点 P 是线段 BD 上一点,当 PEPC 时,求点 P 的坐标;(3)在(2)的条件下,过点 P 作 PFx 轴于点 F,G 为抛物线上一动点,M 为 x 轴上一动点,N 为直线 PF 上一动点,当以F、M 、N 、 G 为顶点的四边形是正方形时,请求出点 M 的坐标第 1 题图 备用图2. (2016 安顺 14 分) 如图,抛物线经过 A(1,0) ,B(5,0),C(0, )三点52(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使 PA PC 的值最小,求点P 的坐标;(3)点 M 为 x 轴上一动点,在抛物线上
24、是否存在一点 N,使以A、C 、M、 N 四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点 N 的坐标;若不存在,请说明理由第 2 题图3. (2016 南充 10 分)如图,抛物线与 x 轴交于点 A(5,0)和点B(3,0),与 y 轴交于点 C(0,5)有一宽度为 1,长度足够的矩形(阴影部分 )沿 x 轴方向平移,与 y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和 Q,交直线 AC 于点 M 和 N,交 x 轴于点 E 和 F.(1)求抛物线解析式;(2)当点 M 和 N 都在线段 AC 上时,连接 MF,如果 sinAMF ,求点 Q 的坐标;1010(3)在矩形的平移过程中,当以点 P,Q ,M
25、 ,N 为顶点的四边形是平行四边形时,求点 M 的坐标第 3 题图4. (2016 成都 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线ya( x1) 23 与 x 轴交于 A、B 两点( 点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C(0, ),顶点为 D,对称轴与 x 轴交于点 H,过点 H 的83直线 l 交抛物线于 P、Q 两点,点 Q 在 y 轴的右侧(1)求 a 的值及点 A、B 的坐标;(2)当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 37 的两部分时,求直线 l 的函数表达式;(3)当点 P 位于第二象限时,设 PQ 的中点为 M,点 N 在抛物线上,则以 DP 为
26、对角线的四边形 DMPN 能否成为菱形?若能,求出点 N 的坐标;若不能,请说明理由第 4 题图 备用图【答案】1解:(1)抛物线 yx 2bxc 经过 A(1,0),B(3,0) 两点, ,解得 ,1093bc 23bc经过 A,B ,C 三点的抛物线的函数表达式为yx 22x 3;(2 分)(2)如解图 ,连接 PC、PE ,第 1 题解图 ,212()ba当 x1 时, y1 234,点 D 坐标为(1,4) ,设直线 BD 为:ymxn,将点 B、D 坐标分别代入表达式,得,解得 ,304mn 26mny2x6,设点 P 坐标为( x,2 x6),由勾股定理可得 PC2x 2(32x 6) 2,