1、图形的变图形的旋转 2一选择题(共 9小题)1下面图形中,是中心对称图形的是( )A B C D2在下列图案中,是中心对称图形的是( )A B C D3将两个全等的直角三角形纸片构成如图的四个图形,其中属于中心对称图形的是( )A B C D4在平面直角坐标系内,点 P(2,3)关于原点的对称点 Q的坐标为( )A (2,3) B (2,3) C (3,2) D (2,3)5将点 P(2,3)向右平移 3个单位得到点 P1,点 P2与点 P1关于原点对称,则 P2的坐标是( )A (5,3) B (1,3) C (1,3) D (5,3)6在平面直角坐标系中,P 点关于原点的对称点为 P1(3
2、, ) ,P 点关于 x轴的对称点为 P2(a,b) ,则=( )A2 B2 C4 D47下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A B C D8如图,AOB 为等腰三角形,顶点 A的坐标(2, ) ,底边 OB在 x轴上将AOB 绕点 B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB,点 A的对应点 A在 x轴上,则点 O的坐标为( )A ( , ) B ( , ) C ( , ) D ( ,4 )9如图所示,边长为 2的正三角形 ABO的边 OB在 x轴上,将ABO 绕原点 O逆时针旋转 30得到三角形 OA1B1,则点 A1的坐标为( )A ( ,1) B ( ,1) C (1,
3、) D (2,1)二填空题(共 8小题)10如图,ABC 绕点 A顺时针旋转 80得到AEF,若B=100,F=50,则 的度数是 _ 11如图,在 RtABC 中,ACB=90,A=30,BC=2将ABC 绕点 C旋转得到EDC,使点 D在 AB边上,斜边 DE交 AC边于点 F,则图中CDF 的面积为 _ 12如图,将两块全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 叠放在一起,其中ACB=E=90,BC=DE=6,AC=FE=8,如图,将DEF 绕点 D旋转,点 D与 AB的中点重合,DE,DF 分别交 AC于点 M,N,使 DM=MN,则重叠部分(DMN)的面积为 _ 13在 RtABC 中,
4、C=90, ,把这个直角三角形绕顶点 C旋转后得到 RtABC,其中点 B正好落在 AB上,AB与 AC相交于点 D,那么 = _ 14如图,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,点 D是 AC上的点,如果ABC 绕点 A逆时针旋转后与ADE 重合,那么旋转角是 _ 度15如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=4,BC=3,点 D为 AB的中点,将ACD 绕着点 C逆时针旋转,使点 A落在 CB的延长线 A处,点 D落在点 D处,则 DB 长为 _ 16如图,在矩形 ABCD中,AD=4,DC=3,将ADC 绕点 A按逆时针方向旋转到AEF(点 A、B、E 在同一直线上) ,则 AC在
5、运动过程中所扫过的面积为 _ 17如图,将ABC 绕点 A逆时针方向旋转到ADE 的位置,点 B落在 AC边上的点 D处,设旋转角为 (090) 若B=125,E=30,则= _ 三解答题(共 7小题)18如图,将ABC 绕点 B逆时针旋转 得到DBE,DE 的延长线与 AC相交于点 F,连接DA、BF,ABC=60,BF=AF(1)求证:DABC;(2)猜想线段 DF、AF 的数量关系,并证明你的猜想19如图,在矩形 ABCD中,AB=4,BC=3,将矩形绕点 C按顺时针方向旋转,使点 B落在线段 AC上,得矩形CEFG,边 CD与 EF交于点 H,连接 DG(1)CH= _ (2)求 DG
6、的长20如图,ABC 是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点) (1)将ABC 绕点 C逆时针旋转 90,得到CDE写出点 B对应点 D和点 A对应点 E的坐标(2)若以格点 P、A、B 为顶点的三角形与CDE 相似但不全等,请写出符合条件格点 P的坐标21如图所示的直面直角坐标系中,OAB 的三个顶点坐标分别为 O(0,0) ,A(1,3)B(3,2) (1)将OAB 绕原点 O逆时针旋转 90画出旋转后的OAB;(2)求出点 B到点 B所走过的路径的长22 (1)如图,CA=CD,1=2,BC=EC求证:AB=DE(2)如图,已知点 A(3,4) ,B(3,0) ,将OAB 绕原
7、点 O顺时针旋转 90,得到OA 1B1画出OA 1B1,并直接写出点 A1、B 1的坐标;求出旋转过程中点 A所经过的路径长(结果保留 ) 23推理证明:如图 1,在正方形 ABCD和正方形 CGFE中,连结 DE、BG,设DCE 的面积为 S1,BCG 的面积为S2,求证:S 1=S2猜想论证:如图 2,将矩形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转后得到矩形 FECG,连结 DE、BG,设DCE 的面积为S1,BCG 的面积为 S2,猜想 S1、S 2的数量关系,并加以证明拓展探究:如图 3,在ABC 中,AB=AC=10cm,B=30,把ABC 沿 AC翻折到ACE,过点 A作 ADCE 交
8、 BC于点 D,在线段 CE上存在点 P,使ABP 的面积等于ACD 的面积,请你直接写出 CP的长24如图 1,正方形 ABCD与正方形 AEFG的边 AB、AE(ABAE)在一条直线上,正方形 AEFG以点 A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为 在旋转过程中,两个正方形只有点 A重合,其它顶点均不重合,连接 BE、DG(1)当正方形 AEFG旋转至如图 2所示的位置时,求证:BE=DG;(2)当点 C在直线 BE上时,连接 FC,直接写出FCD 的度数;(3)如图 3,如果 =45,AB=2,AE= ,求点 G到 BE的距离图形的变图形的旋转 2参考答案与试题解析一选择题(共 9小题)1下面
9、图形中,是中心对称图形的是( )A B C D考点: 中心对称图形分析: 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解解答: 解:A、不是中心对称图形,故本选项错误;B、不是中心对称图形,故本选项错误;C、是中心对称图形,故本选项正确;D、不是中心对称图形,故本选项错误故选:C点评: 本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180度后两部分重合2在下列图案中,是中心对称图形的是( )A B C D考点: 中心对称图形分析: 根据中心对称图形的概念求解解答: 解:A、不是中心对称图形故 A选项错误;B、不是中心对称图形故 B选项错误;C、是中心对称图形故 C选项
10、正确;D、不是中心对称图形故 D选项错误故选:C点评: 本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180度后与原图重合3将两个全等的直角三角形纸片构成如图的四个图形,其中属于中心对称图形的是( )A B C D考点: 中心对称图形专题: 常规题型分析: 根据中心对称图形的概念求解解答: 解:A、不是中心对称图形,故 A选项错误;B、不是中心对称图形,故 B选项错误;C、是中心对称图形,故 C选项正确;D、不是中心对称图形,故 D选项错误;故选:C点评: 此题主要考查了中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180度后两部分重合4在平面直角坐标系内,点 P(2,
11、3)关于原点的对称点 Q的坐标为( )A (2,3) B (2,3) C (3,2) D (2,3)考点: 关于原点对称的点的坐标专题: 常规题型分析: 平面直角坐标系中任意一点 P(x,y) ,关于原点的对称点是(x,y) 解答: 解:根据中心对称的性质,得点 P(2,3)关于原点对称点 P的坐标是(2,3) 故选:A点评: 关于原点对称的点坐标的关系,是需要识记的基本问题记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆5将点 P(2,3)向右平移 3个单位得到点 P1,点 P2与点 P1关于原点对称,则 P2的坐标是( )A (5,3) B (1,3) C (1,3) D (5,3)考点: 关于原点
12、对称的点的坐标;坐标与图形变化-平移分析: 首先利用平移变化规律得出 P1(1,3) ,进而利用关于原点对称点的坐标性质得出 P2的坐标解答: 解:点 P(2,3)向右平移 3个单位得到点 P1,P 1(1,3) ,点 P2与点 P1关于原点对称,P 2的坐标是:(1,3) 故选;C点评: 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律,正确把握坐标变化性质是解题关键6在平面直角坐标系中,P 点关于原点的对称点为 P1(3, ) ,P 点关于 x轴的对称点为 P2(a,b) ,则=( )A 2 B2 C 4 D 4考点: 关于原点对称的点的坐标;立方根;关于 x轴、y 轴对称的点的坐标专题
13、: 计算题分析: 利用关于原点对称点的坐标性质得出 P点坐标,进而利用关于 x轴对称点的坐标性质得出 P2坐标,进而得出答案解答: 解:P 点关于原点的对称点为 P1(3, ) ,P(3, ) ,P 点关于 x轴的对称点为 P2(a,b) ,P 2(3, ) , = =2故选:A点评: 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于 x轴对称点的性质,得出 P点坐标是解题关键7下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A B C D考点: 中心对称图形;轴对称图形;简单几何体的三视图分析: 先判断主视图,再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解答: 解:A、主视图是等腰三角形,是
14、轴对称图形,不是中心对称图形,故错误;B、主视图是等腰三角形,是轴对称图形,不是中心对称图形,故错误;C、主视图是等腰梯形,是轴对称图形,不是中心对称图形,故错误;D、主视图是矩形,是轴对称图形,也是中心对称图形,故正确故选:D点评: 掌握中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180度后与原图重合8如图,AOB 为等腰三角形,顶点 A的坐标(2, ) ,底边 OB在 x轴上将AOB 绕点 B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB,点 A的对应点 A在 x轴上,则点 O的坐标为( )A ( , ) B ( ,
15、 ) C( , ) D ( ,4 )考点: 坐标与图形变化-旋转专题: 计算题;压轴题分析: 过点 A作 ACOB 于 C,过点 O作 ODAB 于 D,根据点 A的坐标求出 OC、AC,再利用勾股定理列式计算求出 OA,根据等腰三角形三线合一的性质求出 OB,根据旋转的性质可得 BO=OB,ABO=ABO,然后解直角三角形求出 OD、BD,再求出 OD,然后写出点 O的坐标即可解答: 解:如图,过点 A作 ACOB 于 C,过点 O作 ODAB 于 D,A(2, ) ,OC=2,AC= ,由勾股定理得,OA= = =3,AOB 为等腰三角形,OB 是底边,OB=2OC=22=4,由旋转的性质
16、得,BO=OB=4,ABO=ABO,OD=4 = ,BD=4 = ,OD=OB+BD=4+ = ,点 O的坐标为( , ) 故选:C点评: 本题考查了坐标与图形变化旋转,主要利用了勾股定理,等腰三角形的性质,解直角三角形,熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键9如图所示,边长为 2的正三角形 ABO的边 OB在 x轴上,将ABO 绕原点 O逆时针旋转 30得到三角形 OA1B1,则点 A1的坐标为( )A ( ,1) B ( ,1) C (1, ) D (2,1)考点: 坐标与图形变化-旋转;等边三角形的性质专题: 几何图形问题分析: 设 A1B1与 x轴相交于 C,根据等边三角形的性
17、质求出 OC、A 1C,然后写出点 A1的坐标即可解答: 解:如图,设 A1B1与 x轴相交于 C,ABO 是等边三角形,旋转角为 30,A 1OC=6030=30,A 1B1x 轴,等边ABO 的边长为 2,OC= 2= ,A1C= 2=1,又A 1在第四象限,点 A1的坐标为( ,1) 故选:B点评: 本题考查了坐标与图形变化旋转,等边三角形的性质,熟记等边三角形的性质是解题的关键二填空题(共 8小题)10如图,ABC 绕点 A顺时针旋转 80得到AEF,若B=100,F=50,则 的度数是 50 考点: 旋转的性质专题: 计算题分析: 由ABC 绕点 A顺时针旋转 80得到AEF,根据旋
18、转的性质得到C=F=50,BAE=80,再根据三角形的内角和定理得到BAC=180BC=18010050=30,由此可得到 的度数解答: 解:ABC 绕点 A顺时针旋转 80得到AEF,C=F=50,BAE=80,而B=100,BAC=180BC=18010050=30,=8030=50故答案为:50点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线的夹角定义旋转角;也考查了三角形的内角和定理11如图,在 RtABC 中,ACB=90,A=30,BC=2将ABC 绕点 C旋转得到EDC,使点 D在 AB边上,斜边 DE交 AC边于点 F,则图中CDF 的面积为 考点:
19、 旋转的性质专题: 计算题分析: 先根据已知条件求出 AC的长及B 的度数,再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出BCD 的形状,进而得出DCF 的度数,由直角三角形的性质可判断出 DF是ABC 的中位线,由三角形的面积公式即可得出结论解答: 解:ABC 是直角三角形,ACB=90,A=30,BC=2,B=60,AC=BCcotA=2 =2 ,AB=2BC=4,EDC 是ABC 旋转而成,BC=CD=BD= AB=2,B=60,BCD 是等边三角形,BCD=60,DCF=BCABCD=30,EDC=B=60,DFC=90,即 DEAC,DEBC,BD= AB=2,DF 是ABC 的中
20、位线,DF= BC= 2=1,CF= AC= 2 = ,S CDF = DFCF= = 故答案为: 点评: 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式,熟知图形旋转的性质是解答此题的关键,即:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等12如图,将两块全等的直角三角形纸片ABC 和DEF 叠放在一起,其中ACB=E=90,BC=DE=6,AC=FE=8,如图,将DEF 绕点 D旋转,点 D与 AB的中点重合,DE,DF 分别交 AC于点 M,N,使 DM=MN,则重叠部分(DMN)的面积为 考点: 旋转的性质分
21、析: 作辅助线,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质,列方程求解解答: 解:如图所示:过点 D作 DKAC 于点 K,则 DKBC,又点 D为 AB中点,DK= BC=3DM=MN,MND=MDN,由MDN=B,MND=B,又DKN=C=90,DKNACB, = ,即 = ,得 KN= 设 DM=MN=x,则 MK=x 在 RtDMK 中,由勾股定理得:MK 2+DK2=MD2,即:(x ) 2+32=x2,解得 x= ,S DMN = MNDK= 3= 故答案为: 点评: 此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的性质和勾股定理等知识,得出(x ) 2+32=x2是解题关键13在 RtA
22、BC 中,C=90, ,把这个直角三角形绕顶点 C旋转后得到 RtABC,其中点 B正好落在 AB上,AB与 AC相交于点 D,那么 = 考点: 旋转的性质专题: 计算题分析: 作 CHAB 于 H,先在 RtABC 中,根据余弦的定义得到 cosB= = ,设 BC=3x,则 AB=5x,再根据勾股定理计算出 AC=4x,在 RtHBC 中,根据余弦的定义可计算出 BH= x,接着根据旋转的性质得CA=CA=4x,CB=CB,A=A,所以根据等腰三角形的性质有 BH=BH= x,则 AB= x,然后证明ADBADC,再利用相似比可计算出 BD 与 DC的比值解答: 解:作 CHAB 于 H,
23、如图,在 RtABC 中,C=90,cosB= = ,设 BC=3x,则 AB=5x,AC= =4x,在 RtHBC 中,cosB= = ,而 BC=3x,BH= x,RtABC 绕顶点 C旋转后得到 RtABC,其中点 B正好落在 AB上,CA=CA=4x,CB=CB,A=A,CHBB,BH=BH= x,AB=ABBHBH= x,ADB=ADC,A=A,ADBADC, = ,即 = , = 故答案为 点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了三角形相似的判定与性质以及锐角三角形函数14如图,ABC 和ADE
24、都是等腰直角三角形,点 D是 AC上的点,如果ABC 绕点 A逆时针旋转后与ADE 重合,那么旋转角是 45 度考点: 旋转的性质分析: 根据等腰直角三角形的性质得到EAD=CAB=45,然后根据旋转的性质得 AE与 AC重合,AD 与AB重合,则DAB 等于旋转角解答: 解:ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,EAD=CAB=45,ABC 绕点 A逆时针旋转后与ADE 重合,AE 与 AC重合,AD 与 AB重合,DAB 等于旋转角,旋转角为 45故答案为 45点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰
25、直角三角形的性质15如图,在 RtABC 中,ACB=90,AC=4,BC=3,点 D为 AB的中点,将ACD 绕着点 C逆时针旋转,使点 A落在 CB的延长线 A处,点 D落在点 D处,则 DB 长为 考点: 旋转的性质分析: 由题意画出图形,过 D作 DEBC,根据勾股定理可求出 DE 的长,根据 BC的长=3,可求出BE的长,再利用勾股定理即可求出 DB 的长解答: 解:在 RtABC 中,ACB=90,AC=4,BC=3,AB=5,点 D为 AB的中点,CD=AD=BD= AB=2.5,过 D作 DEBC,将ACD 绕着点 C逆时针旋转,使点 A落在 CB的延长线 A处,点 D落在点
26、D处,CD=AD=AD,DE= =1.5,来源:学优高考网AE=CE=2,BC=3,BE=1,BD= = ,故答案为: 点评: 本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质,题目的综合性较强,正确的画出旋转后的图形是解题的关键16如图,在矩形 ABCD中,AD=4,DC=3,将ADC 绕点 A按逆时针方向旋转到AEF(点 A、B、E 在同一直线上) ,则 AC在运动过程中所扫过的面积为 考点: 旋转的性质;扇形面积的计算分析: 利用勾股定理列式求出 AC,根据旋转的性质可得CAF=BAD=90,然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解来源:学优高考网 gk
27、stk解答: 解:在矩形 ABCD中,AD=4,DC=3,AC= = =5,由旋转的性质得,CAF=BAD=90,AC 在运动过程中所扫过的面积= = 故答案为: 点评: 本题考查了旋转的性质,扇形面积的计算,矩形的性质,熟记性质并求出CAF 的度数是解题的关键17如图,将ABC 绕点 A逆时针方向旋转到ADE 的位置,点 B落在 AC边上的点 D处,设旋转角为 (090) 若B=125,E=30,则= 25 考点: 旋转的性质专题: 计算题分析: 根据旋转的性质得C=E=30,DAB=,然后根据三角形内角和定理计算出CAB=25,从而得到=25解答: 解:ABC 绕点 A逆时针方向旋转到AD
28、E 的位置,点 B落在 AC边上的点 D处,C=E=30,DAB=,CAB+C+B=180,CAB=18030125=25,=25故答案为 25点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角三解答题(共 7小题)18如图,将ABC 绕点 B逆时针旋转 得到DBE,DE 的延长线与 AC相交于点 F,连接DA、BF,ABC=60,BF=AF(1)求证:DABC;(2)猜想线段 DF、AF 的数量关系,并证明你的猜想考点: 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质分析: (1)利用等边三角形的判定与性质得出D
29、AB=ABC,进而得出答案;(2)首先利用旋转的性质以及全等三角形的判定方法得出DBGABF(SAS) ,进而得出BGF 为等边三角形,求出 DF=DG+FG=AF+AF=2AF解答: (1)证明:由旋转的性质可知:DBE=ABC=60,BD=AB,ABD 为等边三角形,DAB=60,DAB=ABC,DABC;(2)猜想:DF=2AF,证明如下:如图,在 DF上截取 DG=AF,连接 BG,由旋转的性质可知,DB=AB,BDG=BAF,在DBG 和ABF 中,DBGABF(SAS) ,BG=BF,DBG=ABF,DBG+GBE=60,GBE+ABF=60,即GBF=60,又BG=BF,BGF
30、为等边三角形,GF=BF,又BF=AF,FG=AF,DF=DG+FG=AF+AF=2AF点评: 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质和等边三角形的判定与性质等知识,熟练掌握等边三角形的判定方法是解题关键19如图,在矩形 ABCD中,AB=4,BC=3,将矩形绕点 C按顺时针方向旋转,使点 B落在线段 AC上,得矩形CEFG,边 CD与 EF交于点 H,连接 DG(1)CH= (2)求 DG的长考点: 旋转的性质;勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质分析: (1)利用勾股定理列式求出 AC,根据旋转的性质可得 CE=BC,然后根据ABC 和CEH 相似,利用相似三角形对应边
31、成比例列式求解即可;(2)过点 G作 GMCD 于 M,然后求出ABC 和GMC 相似,根据相似三角形对应边成比例求出 CM、MG,再求出DM,然后利用勾股定理列式计算即可得到 DG解答: 解:(1)在矩形 ABCD中,AB=4,BC=3,AC= = =5,矩形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转得矩形 CEFG,CE=BC=3,BAC+ACB=90,ECH+ACB=90,BAC=ECH,又B=CEH=90,ABCCEH, = ,即 = ,解得 CH= ;故答案为: ;来源:gkstk.Com(2)如图,过点 G作 GMCD 于 M,ACB+ACD=GCM+ACD=90,ACB=GCM,又B=G
32、MC=90,ABCGMC, = = ,即 = = ,解得 CM= ,MG= ,DM=CDCM=4 = ,在 RtDMG 中,DG= = = 点评: 本题考查了旋转的性质,勾股定理,矩形的性质,相似三角形的判定与性质,熟记性质并确定出相似三角形是解题的关键,难点在于(2)作辅助线构造成相似三角形20如图,ABC 是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点) 来源:学优高考网(1)将ABC 绕点 C逆时针旋转 90,得到CDE写出点 B对应点 D和点 A对应点 E的坐标(2)若以格点 P、A、B 为顶点的三角形与CDE 相似但不全等,请写出符合条件格点 P的坐标考点: 作图-旋转变换;相似三
33、角形的性质专题: 作图题分析: (1)找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点,进而顺次连接即可得出答案;(2)可找能使PAB 是直角三角形且 PA=2AB或(PB=2AB)的 P解答: 解:(1)所作图形如下:由图形可得:D(2,3) ,E(2,1) 、(2)所作图形如下:由图形可得:P(3,4)或(1,4) 点评: 本题考查旋转作图及相似三角形的性质,难度不大,在进行旋转作图时一定要明确旋转角度、旋转中心、旋转方向21如图所示的直面直角坐标系中,OAB 的三个顶点坐标分别为 O(0,0) ,A(1,3)B(3,2) (1)将OAB 绕原点 O逆时针旋转 90画出旋转后的OAB;
34、(2)求出点 B到点 B所走过的路径的长考点: 作图-旋转变换;弧长的计算专题: 作图题分析: (1)根据旋转角、旋转方向、旋转在中心找到各点的对应点顺次连接即可;(2)先求出 OB 的长度,然后根据弧长公式即可计算解答: 解:(1)所作图形如下所示:(2)OB= , = = 点评: 本题考查旋转作图,掌握画图的方法和图形的特点是关键;旋转时点经过的路径为一段弧长22 (1)如图,CA=CD,1=2,BC=EC求证:AB=DE(2)如图,已知点 A(3,4) ,B(3,0) ,将OAB 绕原点 O顺时针旋转 90,得到OA 1B1画出OA 1B1,并直接写出点 A1、B 1的坐标;求出旋转过程
35、中点 A所经过的路径长(结果保留 ) 考点: 作图-旋转变换;全等三角形的判定与性质;弧长的计算分析: (1)根据1=2,可得出BCA=ECD,然后利用 SAS证明ABCDEC,继而可得出 AB=DE;(2)分别作出 A、B 绕点 O顺时针旋转 90后的点 A1、B 1,然后顺次连接 A1B1、A 1O、B 1O,并写出点 A1、B 1的坐标;点 A的路径为以 OA为半径的弧长,根据弧长公式计算即可解答: (1)证明:1=2,1+ECA=2+ECA,即ACB=DCE,在ABC 和DEC 中,ABCDEC(SAS) ,AB=DE(2)解:如图所示:A1(4,3) ,B 1(0,3) ;如图,在
36、RtOAB 中,OB 2+AB2=OA2,OA= =5,l= = ,因此点 A所经过的路径长为 点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质以及根据旋转变换作图,解答本题的关键是作出各点旋转后的对应点23推理证明:如图 1,在正方形 ABCD和正方形 CGFE中,连结 DE、BG,设DCE 的面积为 S1,BCG 的面积为S2,求证:S 1=S2猜想论证:如图 2,将矩形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转后得到矩形 FECG,连结 DE、BG,设DCE 的面积为S1,BCG 的面积为 S2,猜想 S1、S 2的数量关系,并加以证明拓展探究:如图 3,在ABC 中,AB=AC=10cm,B=30,把
37、ABC 沿 AC翻折到ACE,过点 A作 ADCE 交 BC于点 D,在线段 CE上存在点 P,使ABP 的面积等于ACD 的面积,请你直接写出 CP的长考点: 几何变换综合题分析: 推理证明:过点 E作 EMDC 于 M点,过点 G作 GNBC 交 BC的延长线于 N点,先证明CMECNG求得 EM=GN,然后根据三角形的面积公式即可证得;猜想论证:,过点 E作 EMDC 于 M,过点 B作 BNGC 交 GC的延长线于点 N,根据旋转的性质得出CE=CB,CG=CD,进而得出1=3,从而得出CMECNB,通过全等得出 EM=BN,然后根据三角形的面积公式即可证得;拓展探究:先根据 ADCE
38、 得出DAC=ACE=30,进而得出BAD=90,DM= AD,BNEC,然后通过解直角三角函数求得 AD,从而得出 DM,最后根据三角形面积公式和已知条件得出 PN=DM,即可求得 CP的长;解答: 证明:如图 1,过点 E作 EMDC 于 M点,过点 G作 GNBC 交 BC的延长线于 N点,EMC=N=90,四边形 ABCD和四边形 ECGF为正方形,BCD=DCN=ECG=90,CB=CD,CE=CG,1=902,3=902,1=3在CME 和CNG 中CMECNG(ASA) EM=GN又S 1= CDEM,S 2= CBGN,S 1=S2;猜想论证:猜想:S 1=S2,证明:如图 2
39、,过点 E作 EMDC 于 M,过点 B作 BNGC 交 GC的延长线于点 N,EMC=N=90,矩形 CGFE由矩形 ABCD旋转得到的,CE=CB,CG=CD,ECG=ECN=BCD=90,1=902,3=902,1=3在CME 和CNB 中CMECNB(ASA) EM=BN 又S 1= CDEM,S 2= CGBN,S 1=S2; 拓展探究: cm或 cm证明:如图 3,作 DMAC 于 M,延长 BA,交 EC于 N,AB=AC=10cm,B=30,ACB=ABC=30,来源:学优高考网 gkstkBAC=120,根据对折的性质,ACE=ACB=30,ADCE,DAC=ACE=30,B
40、AD=90,DM= AD,BNEC,AD=tanABDAB,AB=10cm,AD=tan3010= ,DM= = ,S ABP = ABPN,S ADC = ACDM,S ABP =SADC ,AB=AC,PN=DM= ,在 RTANC 中ACN=30,AC=10cm,NC=cosACNAC=cos3010=5 ,在 EC上到 N的距离等于 的点有两个,PC= cm,P C= cm,CP 的长为: cm或 cm点评: 本题考查了正方形的性质,矩形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质,直角三角函数的应用等,找出两个三角形的高的关系是本题的关键24如图 1,正方形 ABCD与正
41、方形 AEFG的边 AB、AE(ABAE)在一条直线上,正方形 AEFG以点 A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为 在旋转过程中,两个正方形只有点 A重合,其它顶点均不重合,连接 BE、DG(1)当正方形 AEFG旋转至如图 2所示的位置时,求证:BE=DG;(2)当点 C在直线 BE上时,连接 FC,直接写出FCD 的度数;(3)如图 3,如果 =45,AB=2,AE= ,求点 G到 BE的距离考点: 几何变换综合题分析: (1)根据正方形的性质可得 AB=AD,AE=AG,BAD=EAG=90,再根据余角的性质,可得BAE=DAG,然后利用“SAS”证明ABEADG,根据全等三角形对应边相等
42、证明即可;(2)分两种情况:E 在 BC的右边,连接 AC,AF,CF,利用点 A,C,E,F 四点共圆求解,E 在 BC的左边,连接 AC,AF,FG,CG,首先确定 DG和 CG在同一条直线上,再利用点 A,C,G,F 四点共圆求解(3)根据平行线的判定,可得 AB与 GE的关系,根据平行线间的距离相等,可得BEG 与AEG 的关系,根据根据勾股定理,可得 AH与 BE的关系,再根据勾股定理,可得 BE的长,根据三角形的面积公式,可得 G到 BE的距离解答: (1)证明:如图 2,四边形 ABCD是正方形,AB=AD,BAE+EAD=90,又四边形 AEFG是正方形,AE=AG,EAD+D
43、AG=90,BAE=DAG在ABE 与ADG 中,ABEADG(SAS) ,BE=DG;(2)解:如图 3,连接 AC,AF,CF,四边形 ABCD与 AEFG是正方形,ACD=AFE=45,DCE=90点 A,C,E,F 四点共圆,AEF 是直角,AF 是直径,ACF=90,ACD=45,FCD=45如图 4,连接 AC,AF,FG,CG由(1)知ABEADG,ABE=ADG=90,DG 和 CG在同一条直线上,AGD=AGC=BAG,四边形 ABCD与 AEFG是正方形,BAC=BAE=45,BAG+GAC=45,BAG+BAF=45,AGD+GAC=45,BAG+BAF+AGD+GAC+AGF=180,点 A,C,G,F 四点共圆,AGF 是直角,AF 是直径,ACF=90,FCD=90+45=135(3)解:如图 5,连接 GB、GE,由已知 =45,可知BAE=45又GE 为正方形 AEFG的对角线,AEG=45ABGE ,AB 与 GE间的距离相等,GE=8, 过点 B作 BHAE 于点 H,AB=2, 设点 G到 BE的距离为 h 即点 G到 BE的距离为 点评: 本题主要考查了几何变换综合题涉及正方形的性质,全等三角形的判定及性质,等积式及四点共圆周的知识,综合性强解题的关键是运用等积式及四点共圆周判定及性质求解