1、第二章平面向量本章教材分析1丰富多彩的背景,引人入胜的内容 .教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.
2、2教学的最佳契机,全新的思维视角 .向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”, 这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的 .反过来, 向量的理论和方法, 又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用, 关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象, 却与图形有着密切的联系 ,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学 ,使得向量不仅生动有趣 ,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物
3、理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比, 特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路 ,再给出解法 .解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点
4、处理某些代数问题.4.本章教学约需 12 课时,具体分配如下 ,仅供参考.标题 课时2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1 课时2.2 向量的线性运算 3 课时2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2 课时2.4 平面向量的数量积 2 课时2.5 平面向量的应用举例 2 课时本章复习 2 课时2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多, 但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数” 和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用 ,可通过几个具体的例
5、子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相
6、等向量和共线向量。2、过程与方法：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。3、情感态度与价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。三、重点难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、教学设想：（一）导入新课思路 1.(情境导入) 如图 1,在同一时刻,老鼠由 A 向西北方向的 C 处逃窜,猫在 B 处向正东方向的 D 处追去, 猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了. 教师适时设问:如何从数学
7、的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图 1思路 2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出 ,各走了相同的路程 ,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日, 象走“田”, 让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.（二）推进新课、新知探究、提出问题在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢? 这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生
8、讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大, 它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小, 又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向, 且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量, 并把那些只有大小,没有方向的量, 如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果:略.我们把既有大小,又有方向的量叫做向量
9、.物理中称为矢量.略.提出问题如何表示向量?有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量 ?满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?有一组向量,它们的方向相同或相反, 这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?数量与向量有什么区别?数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种
10、几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定, 而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图 2,在线段 AB 的两个端点中,规定一个顺序,假设 A 为起点、B 为终点, 我们就说线段 AB 具有方向, 具有方向的线段叫做有向线段, 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB.起点要写在终点的前面.已知 ,线段 AB 的长度也叫做有向线段 的长度,记作 |.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.图 2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1起点是 A,终点是
11、 B 的有向线段 ,对应的向量记作: AB.这里要提醒学生注意 A的方向是由点 A 指向点 B,点 A 是向量的起点.2用字母 a,b,c,表示.( 一定要学生规范书写:印刷用黑体 a,书写用 )3向量 B(或 a)的大小, 就是向量 B(或 a)的长度(或称模), 记作| B|(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0 之分, 可进行运算, 并可比较大小;向量的模是正数或 0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小, 像 ab 就没有意义, 而|a|b|有意义.讨论结果:向量也可用字母 a,b,c,表示( 印刷用粗黑体表示 ),手写用 a
12、 来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如 AB、 CD.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同, 则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图 3长度为 0 的向量叫零向量,长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为 0 的向量叫做零向量 ,记作 0,规定零向量的方向是任意的. 长度等于 1 个单位的向量
13、 ,叫做单位向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定 0 与任一向量平行即 0a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量 a,b,c 平行,记作 ab c.如图 3.图 4又如图 4,a,b,c 是一组平行向量, 任作一条与 a 所在直线 0 平行的直线 l,在 l 上任取一点 O,则可在 l 上分别作出 OAa, B=b, C=c.这就是说, 任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此, 平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.是共线向量,也就是平行向量
14、.但要注意, 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关 ).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.数量只有大小,是一个代数量, 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.（三）应用示例例 1 如图 5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示 A 地至 B、C两地的位移.(精确到 1 km)图 5分析:本例是一个简单的实
15、际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解: AB表示 A 地至 B 地的位移, 且| AB|232 km;(AB 长度8 000 000100 000)C表示 A 地至 C 地的位移,且| |296 km.(AC 长度8 000 000100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图 5,由 A 点确定 B 点、C 点的位置.变式训练一个人从 A 点出发沿东北方向走了 100 m 到达 B 点,然后改变方向,沿南偏东 15方向又走了100 m 到达 C 点 ,求此人从 C 点走回 A 点的位移
16、.图 6解:根据题意画出示意图, 如图 6 所示.| AB|=100 m,| C|=100 m,ABC=45+15=60,ABC 为正三角形 .| |=100 m,即此人从 C 点返回 A 点所走的路程为 100 m.BAC=60,CAD=BAC-BAD=15, 即此人行走的方向为西偏北 15.故此人从 C 点走回 A 点的位移为沿西偏北 15方向 100 m.图 7例 2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1) ABCD 中, AB与 CD是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图 7.因为 AB/CD,所以 .由于上面已经明确, 单位向量只限制了大
17、小 ,方向不确定, 所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为 1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:本题考查基本概念, 对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图 8例 3 如图 8,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 分别写出图中所示向量与 、OCBA相等的量.活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断 OA与 EF, B与 是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向
18、量相等的概念.解: OA=CB=D; = = ; C= = D= .点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量 长度相等的向量有多少个？ (11 个)本例变式二:是否存在与向量 OA长度相等、方向相反的向量？( 存在)例 4 下列命题正确的是( )A.a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量 a 与 b 不共线, 则 a 与 b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正
19、确.由于数学中研究的向量是自由向量 ,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以 B 不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以 D 不正确.对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若 a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线 ,可有 a 与 b 共线,不符合已知条件, 所以有 a 与 b 都是非零向量,即只有 C 正确.答案:C点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一
20、个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？ (平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ( )A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点, 则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点 B.两个点C.一个圆 D.一条线段答案:B（四）课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.（五）作业
