1、2 0 1 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 1 页 共 9 页 循 环 小 数 循 环 小 数 循 环 小 数 循 环 小 数 本 讲 要点 1 1 1 1 判 断分 数转 化为 小数 后的 类型 ； 2 2 2 2 循 环小 数与 分数 的互 化； 3 3 3 3 循 环小 数之 间简 单的 四则 运算 竞赛考点 1 . 1 . 1 . 1 . 小 数计 算中 结合 循环 小数 ； 2 . 2 . 2 . 2 . 周 期性 问题 与循 环小 数的 结合 ； 3 . 3 . 3 . 3 . 循 环小 数和 复杂 小数 的化 简 1 1 1 1 小数的分类 （ 1
2、 ） 按整 数部 分： 纯、 带 （ 2 ） 按小 数部 分： 无限不循环小数： 混循环小数 纯循环小数 无限循环小数： 无限小数 有限小数 2 2 2 2 分数化小数的类别判断： （ 1 1 1 1 ） 将 分数 化简 （ 2 2 2 2 ）将 分母 分解 质因 数 ， 看分 母的 质因 数 只 有质 因子 2 2 2 2 或 5 5 5 5 ： 有限 小数 ； 没 有因 子 2 2 2 2 和 5 5 5 5 ： 纯循 环小 数； 即 有质 因子 2 2 2 2 或 5 5 5 5 ， 又有 其它 质因 子： 混循 环小 数。 3 3 3 3 循环小数化分数 纯 循环 小数 ： 0 . 9
3、 = a a ； 0 . 9 9 a b a b = ； 混 循环 小数 ： 1 0 . 0 9 9 1 0 9 9 0 a b a b a b = = ； 0. 990 abc a a b c = 4 4 4 4 循环小数的四则运算 （1 1 1 1 ） 加减 法： 对齐 循环 位， 直接 计算 （2 2 2 2 ） 四则 运算 ：循 环小 数化 为分 数 5 5 5 5 9 9 9 9 循环进位为 1 1 1 1 0 1 . 0 9 0 0 . 0 ; 1 9 . 0 = = 6 6 6 6 1 4 2 8 5 7 7 与 a 1 0 . 1 4 2 8 5 7 7 = ， 2 0 . 2
4、 8 5 7 1 4 7 = ， 3 0 . 4 2 8 5 7 1 7 = , , , , , , , , 6 0 . 8 5 7 1 4 2 7 =2 0 1 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 2 页 共 9 页 知识点与例题详解 1 1 1 1 小数的分类 （ 1 1 1 1 ）按整数部分分类 纯 小数 ： 整 数部 分为 0 的 小数 。如 0 . 9 8 ， 一般 来说 ，纯 小数 都小 于 1 带 小数 ： 整 数部 分不 为 0 的 小数 。如 2 . 3 ， 一般 来说 ，带 小数 都大 于 1 （ 2 2 2 2 ）按小数部分分类 无限不循环小数
5、： 混循环小数 纯循环小数 无限循环小数： 无限小数 有限小数 有 限小 数： 小 数部 分位 数有 限的 小数 ，如 0 . 6 7 8 。 无 限小 数： 小 数部 分位 数无 限的 小数 ，如 0 . 3 3 无 限小 数又 分为 ： 无 限不 循环 小数 （ 如 ） 和 无 限循 环小 数 循 环小 数一 定是 无限 小数 、无 限小 数不 一定 时循 环小 数 循 环小 数 ： 从 某一 位起 ， 都 是由 一个 或几 个数 字依 次不 断地 重复 出现 ， 这 样的 小数 叫做 “ 无 限循 环小 数 ” ， 简 称 “ 循 环小 数 ” 。 重 复出 现的 一个 或几 个数 字
6、， 叫 做 “ “ “ “ 循 环节 ” ” ” ” 。 记 数时 ， 在 第一 个循 环节 的第 一个 数字 和最 末 一个 数字 上分 别记 上一 个圆 点（ 循环 节只 有一 个数 字的 只记 一个 圆点 ） “ ” 表 示这 个循 环小 数的 这几 个（ 或 一 个） 数字 重复 出现 。这 样的 圆点 叫做 “ “ “ “ 循 环点 ” ” ” ” 。 在 无 限 循 环 小 数 中 ， 循 环 节 从 小 数 部 分 第 一 位 开 始 的 ， 叫 做 “ “ “ “ 纯 循 环 小 数 ” ” ” ” ； 循 环 节 不 是 从 小 数 部 分 第 一 位 开始 的叫 做 “ “
7、 “ “ 混 循环 小数 ” ” ” ” 。 2 2 2 2 分数转化成小数的类别判断： 学案 1 1 1 1 【 尖】 下列 分数 化为 小数 后， 哪些 是有 限小 数， 哪些 是纯 循环 小数 ，哪 些是 混循 环小 数： 7 7 1 3 7 5 2 5 1 1 5 9 5 5 3 7 , , , , , , , 2 5 1 2 8 1 7 9 6 7 4 1 1 1 1 6 2 5 2 6 6 2 2 5 分 析： 通过 最 简分 数的 分母 判 断是 有限 小数 、纯 循环 小数 、混 循环 小数 。 分 母只 有质 因子 2 2 2 2 或 5 5 5 5 时 能化 为有 限小 数
8、； 分 母没 有因 子 2 2 2 2 和 5 5 5 5 时 能化 为纯 循环 小数 ； 分 母里 即有 质因 子 2 2 2 2 或 5 5 5 5 ， 又有 其它 质因 子时 能化 为混 循环 小数 。 有 限小 数： 7 7 1 5 9 , , 2 5 1 2 8 6 2 5 纯 循环 小数 ： 3 7 1 1 , 1 7 9 1 1 1 1 混 循环 小数 ： 5 2 5 5 5 3 7 , , 6 7 4 2 6 6 2 2 5 结 论的 推导 ： 数 时，分数可化为有限小 或 只当分母可分解为 、循环与否只需看 化成小数的有限与无限 将分数看成：分子 5 2 5 2 1 0 1
9、0 1 1 0 1 1 , 1 = = n n n n n a a a a2 0 1 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 3 页 共 9 页 3 3 3 3 循环小数化分数 推 导以 下算 式 1 0 . 1 9 = ； 1 2 4 0 . 1 2 9 9 3 3 = = ； 1 2 3 4 1 0 . 1 2 3 9 9 9 3 3 3 = = ； 1 2 3 4 0 . 1 2 3 4 9 9 9 9 = ； 1 2 1 1 1 0 . 1 2 9 0 9 0 = = ； 1 2 3 1 2 3 7 0 . 1 2 3 9 0 0 3 0 0 = = ； 1 2
10、 3 4 1 2 3 1 1 1 1 0 . 1 2 3 4 9 0 0 0 9 0 0 0 = = ； 1 2 3 4 1 2 6 1 1 0 . 1 2 3 4 9 9 0 0 4 9 5 0 = = ； 1 2 3 4 1 1 3 7 0 . 1 2 3 4 9 9 9 0 1 1 1 0 = = 以 0.1234 为 例， 推导 1 2 3 4 1 2 6 1 1 0 . 1 2 3 4 9 9 0 0 4 9 5 0 = = 设 0.1234 A = ， 将等 式两 边都 乘以 1 0 0 ， 得： 100 12.34 A = ； 再 将原 等式 两边 都乘 以 1 0 0 0 0
11、， 得： 10000 1234.34 A = ， 两 式相 减得 ： 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 4 1 2 A A = ， 所以 1 2 3 4 1 2 6 1 1 9 9 0 0 4 9 5 0 A = = 循 环小 数化 分数 结论 纯 循环 小数 混 循环 小数 分 子 循 环节 中的 数字 所组 成的 数 循 环小 数去 掉小 数点 后的 数字 所组 成的 数 与 不循 环部 分数 字所 组成 的数 的差 分 母 n 个 9 ， 其 中 n 等 于循 环节 所含 的数 字个 数 按 循环 位数 添 9 ， 不 循环 位数 添 0 ， 组 成分 母 ， 其 中 9 在
12、0 的 左侧 纯 循环 小数 ： 0 . 9 = a a ； 0 . 9 9 a b a b = ； 混 循环 小数 ： 1 0 . 0 9 9 1 0 9 9 0 a b a b a b = = ； 0. 990 abc a a b c = 例 1 1 1 1 分 析： 法一 ： 用 错位 相减 法将 循环 小数 化为 分数 。 1 5 0 5 3 6 3 3 5 . 6 3 3 3 3 4 3 2 0 1 . 3 1 5 0 5 3 3 3 5 . 0 9 9 9 3 - 3 1 0 2 2 0 1 . 3 9 0 0 3 5 3 5 3 3 3 5 . 0 2 0 1 . 3 9 9 9
13、 3 - 3 1 0 2 3 3 5 . 0 9 0 0 3 5 3 5 3 2 0 1 . 3 9 9 9 2 0 1 . 3 - 2 0 1 . 3 1 0 2 3 3 5 . 0 9 0 0 1 0 0 3 3 5 . 0 - 1 0 0 0 3 3 5 . 0 2 0 1 . 3 9 9 9 2 0 1 . 3 - 1 0 0 0 2 0 1 . 3 = = = = = = = = = = 法 二： 公式 2 3 4 ( 1 ) , 3 3 3 3 3 ； 7 1 5 3 ( 2 ) , 6 3 3 0 1 5 0 4 4 4 4 循环小数的四则运算 （1 1 1 1 ） 加减 法：
14、改写 循环 位， 使循 环位 对齐 ；直 接进 行计 算 （ 也可 列竖 式） （2 2 2 2 ） 乘 除法 ： 主要 方法 是把 循环 小数 化为 分数 ；根 据题 目， 再将 结果 化为 循环 小数 。2 0 1 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 4 页 共 9 页 例 3 3 3 3 分 析： 加 减法 ：直 接进 行计 算 ； 乘除 法 ： 循环 小数 化为 分数 ； ）原式 （ 7 8 5 . 5 3 3 1 . 3 4 5 4 . 2 1 = + = 7 6 28 . 1 2 3 32 . 1 - 9 9 60 . 2 2 = = ）原式 （ 27
15、286 9 22 3 13 9 4 2 3 1 4 3 = = = ）原式 （ 1 1 4 1 3 3 3 4 1 3 1 3 3 8 1 4 = = = ）原式 （ 例 2 2 2 2 分 析： 加 减法 ：直 接进 行计 算 ； 乘除 法 ： 循环 小数 化为 分数 9 728 9 8 80 8 . 80 8 8 . 80 8 0 . 0 8 . 80 = = = = + 99 8 13 11 7 1 9 13 7 8 13 11 7 1 9 728 13 11 7 8 0 . 0 8 . 80 = = = + 例 4 4 4 4 分 析： 由 题意 得： 1.23 a - 1 . 2 3
16、 a = 0 . 3 即 ： 0.003 a = 0 . 3 ， 3 3 900 10 a = ， 解得 a = 9 0 正 确的 结果 1.23 a = 1.23 9 0 = 1 23 2 90 9 0 = 111 90 9 0 = 1 1 1 例 5 5 5 5 分 析： C A B A B C C A B A B C C A B A B C B A C C B A = = = 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 0 0 8 2 5 1 7 5 3 2 . 0 0 8 1 0 0 0 1 2 5 3 7 5 = = = m a x 7 5 3 A B C = 5 5 5 5
17、 9 9 9 9 循环进位为 1 1 1 1 01 . 0 9 00 . 0 ; 1 9 . 0 . . = = 例 6 6 6 6 分 析 ： “ 9 9 9 9 循 环进 位为 1 1 1 1 ” 分 母 2 0 0 9 , 2 8 7 都 没有 因子 2 和 5 ， 因此 两个 分数 都能 化为 纯循 环小 数 又 2 0 0 2 2 8 6 2 0 0 9 2 8 7 = ， 9 . 0 1 287 1 287 286 = = + 所 以它 们化 成循 环小 数后 每一 位上 的数 字之 和均 为 9 ， 第 1 0 0 位 上的 数字 和也 为 9 。 6 6 6 6 真分数 142
18、857 7 与 a 1 0 . 1 4 2 8 5 7 7 = ， 2 0 . 2 8 5 7 1 4 7 = ， 3 0 . 4 2 8 5 7 1 7 = , , , , , , , , 6 0 . 8 5 7 1 4 2 7 = 作业 4 4 4 4 分 析：2 0 1 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 5 页 共 9 页 家庭作业 1 1 1 1 分 析： 直接 应用 公式 9 9 8 0 0 8 . 0 9 9 9 4 1 5 3 5 1 4 . 3 9 0 2 9 9 0 3 - 3 2 2 3 . 0 9 0 0 4 5 1 9 0 0 5 0 -
19、5 0 1 1 5 0 . 0 3 3 3 4 1 9 9 9 1 2 3 3 2 1 . 0 = = = = = = = = 9 9 9 2 1 9 2 9 . 1 9 3 3 3 4 2 9 9 9 1 2 2 2 1 0 . 2 9 9 2 5 4 5 2 . 4 = = = = 2 2 2 2 分 析： 方法 一： 原 式 0 . 7 3 6 1 0 . 7 3 6 0 . 5 + 0 . 1 2 5 + 1 0 . 1 1 1 9 0 . 4 9 9 + 0 . 1 2 5 + 1 0 . 1 1 1 6 0 . 1 6 6 + 3 0 . 3 3 3 + 0 . 1 2 5 + 1
20、 0 . 1 1 1 = = = = 方 法二 ：循 环小 数化 成分 数 1 1 3 15 9 8 9 90 11 1 18 8 53 72 0.7361 0.736 = + + + = + = = 3 3 3 3 分 析： 法一 ：分 组， 利用 “ “ “ “ 9 循 环进 位为 1 1 1 1 ” ” ” ” 1 . 4 9 . 0 8 . 0 8 . 0 8 . 0 8 . 0 9 8 . 0 9 7 . 0 9 7 . 0 9 7 . 0 9 7 . 0 9 8 . 0 5 4 . 0 4 3 . 0 6 5 . 0 3 2 . 0 7 6 . 0 2 1 . 0 8 7 . 0
21、1 0 . 0 = + + + + = + + + + + = + + + + + + + + = ） （ ） （ ） （ ） （ 原式 法 二： 等差 数列 ，公 差为 1 1 . 0 1 . 4 2 9 90 82 2 9 1 9 . 0 2 9 9 . 0 1 0 . 0 2 9 9 8 . 0 1 0 . 0 = = = + = + = ） （ ） （ 原式 5 5 5 5 分 析： 原式 2 2 4 1 9 1 1 1 2 3 1 9 2 0 1 1 9 9 9 2 7 9 9 9 2 7 9 = + = + = 6 6 6 6 分 析： 同例 6 6 6 6 ， 和为 9 9 9
22、92 0 1 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 6 页 共 9 页 学案 . . . . 基础班 1 1 1 1 把 下列 分数 转化 为小 数 3 1 7 4 7 5 3 1 , , , 4 2 5 9 1 1 6 9 0 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 2 2 2 2 （ 第 三届 华杯 赛初 赛） 请将 算式 0.1 0.01 0.001 + + 的 结果 写成 最简 分数 3 3 3 3 将 算式 ： 6 . 0 3 . 0 6 . 0 3 . 0 6 . 0 3 . 0 + + 的 结果 用循 环小 数表 示是 多少 ？ 4 4 4 4 （ 2008
23、 年 中环 杯五 年级 决赛 ） 0 . 3 0 . 0 3 0 . 0 0 3 2 0 0 9 + + + = （ ） 。 学案 . . . . 提高班 1 计 算 11 0.1 5 0.21 8 0. 3 111 + 2 2 2 2 ( ) 2.234 0.98 11 ( ( ( ( 结 果表 示成 循环 小数 ) ) ) ) 3 3 3 3 冬 冬 将 1 2 3 . 0 乘 以 一 个 数 a a a a 时 ， 看 丢 了 一 个 循 环 点 ， 使 得 乘 积 比 正 确 结 果 减 少 了 3 0 . 0 ， 正 确 结 果 应 该 是 多 少？2 0 1 1 年 秋 季 五 年
24、级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 7 页 共 9 页 4 4 4 4 划 去 0 . 5 7 3 8 3 6 7 9 8 1 0 . 5 7 3 8 3 6 7 9 8 1 0 . 5 7 3 8 3 6 7 9 8 1 0 . 5 7 3 8 3 6 7 9 8 1 的 小 数 点 后 的 六 个 数 字 ， 再 添 上 表 示 循 环 节 的 两 个 圆 点 ， 可 以 得 到 一 个 循 环 小 数 。 这 样 的小 数中 最大 的数 是多 少？ 最小 的数 是多 少？ 学案 . . . . 尖子班 1 1 1 1 下 列分 数化 为小 数后 ，哪 些是 有限 小数 ，哪 些是
25、纯循 环小 数， 哪些 是混 循环 小数 ： 7 7 1 3 7 5 2 5 1 1 5 9 5 5 3 7 , , , , , , , 2 5 1 2 8 1 7 9 6 7 4 1 1 1 1 6 2 5 2 6 6 2 2 5 2 2 2 2 有 一 个 算 式 1 . 3 7 2 5 1 1 + + ， 算 式 左 边 的 方 格 中 都 是 整 数 ， 右 边 的 结 果 为 四 舍 五 入 到 百 分 位 后 的 近 似 值 ， 那 么方 格中 填入 的三 个数 分别 是多 少？ 3 3 3 3 将 循 环 小 数 0.027 与 0.179672 相 乘 ， 取 近 似 值 ，
26、要 求 保 留 一 百 位 小 数 ， 那 么 该 近 似 值 的 最 后 一 位 小 数 是 多 少 ? ? ? ? 4 4 4 4 给 小 数 0 . 2 1 3 8 0 4 5 9 7 6 0 . 2 1 3 8 0 4 5 9 7 6 0 . 2 1 3 8 0 4 5 9 7 6 0 . 2 1 3 8 0 4 5 9 7 6 添 加 表 示 循 环 节 的 两 个 圆 点 ， 得 到 一 个 循 环 小 数 。 要 使 得 这 个 循 环 小 数 的 小 数 点 后 第 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 位 数字 是 7 7 7 7 ， 应该 怎么 添加 ？2 0 1
27、 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 8 页 共 9 页 学案 . . . . 答案 基础班 1 1 1 1 分 析 ： （ 1 1 1 1 ） 0 . 7 5 , 0 . 6 8 （ 2 2 2 2 ） 3 6 , 0 . 4 0 . （ 3 3 3 3 ） 4 3 . 0 , 3 8 . 0 2 2 2 2 分 析： 原式 分 析： 原式 分 析： 原式 分 析： 原式 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 3 7 9 9 0 9 0 0 9 0 0 9 0 0 3 0 0 + + = + + = = = . . . . 3 3 3 3 分 析： 循环
28、 小数 化分 数 4 4 4 4 分 析： . 1 0 . 3 0 . 0 3 0 . 0 0 3 0 . 3 3 + + + = = ， 所以 括号 中填 ， 所以 括号 中填 ， 所以 括号 中填 ， 所以 括号 中填 2 0 0 9 3 6 0 2 7 = 提高班 1 1 1 1 分 析： 111 11 3 1 7 3 . 0 = 原式 8 1 1 1 1 1 1 1 3 1 9 9 3 7 = = 2 2 2 2 分 析： 11 1 4 2 . 1 = 原式 3 1 1 . 0 4 9 5 5 6 1 1 1 4 5 5 6 = = = 3 3 3 3 分 析： 1 2 3 . 0 丢
29、 掉一 个循 环点 ，只 能变 为 丢 掉一 个循 环点 ，只 能变 为 丢 掉一 个循 环点 ，只 能变 为 丢 掉一 个循 环点 ，只 能变 为 1 32 . 0 11 4 96 300 990 318 300 1 2 3 . 0 300 9900 33 1 9900 1 33 1 1 0 00 . 0 33 1 ) 1 32 . 0 1 2 3 . 0 ( 3 0 . 0 3 0 . 0 1 32 . 0 - 1 2 3 . 0 = = = = = = = = 正确结果为： a a a2 0 1 1 年 秋 季 五 年级 第 一讲 循 环小 数 周 艳丽 第 9 页 共 9 页 4 4
30、4 4 分 析： 划去 六个 数字 即， 按顺 序选 四个 数字 。 十 个 数 字 里 面 只 有 一 个 数 字 “ “ “ “ 9 9 9 9 ” ” ” ” 。 若 想 得 到 最 大 的 循 环 小 数 ， 9 9 9 9 的 位 置 需 要 尽 量 靠 前 。 因 此 ， “ “ “ “ 9 8 1 9 8 1 9 8 1 9 8 1 ” ” ” ” 必 选， 且为 循环 节。 其它 数中 最大 的是 “ “ “ “ 8 8 8 8 ” ” ” ” ， 所以 最大 的小 数是 ： 1 8 9 8 . 0 。 十 个 数 字 里 面 最 小 的 四 个 数 是 5 , 3 , 3 ,
31、 1 5 , 3 , 3 , 1 5 , 3 , 3 , 1 5 , 3 , 3 , 1 ， 而 要 使 得 到 的 循 环 小 数 最 小 ， 第 一 位 不 能 选 5 5 5 5 ， 应 选 3 , 3 , 6 , 1 3 , 3 , 6 , 1 3 , 3 , 6 , 1 3 , 3 , 6 , 1 ， 1 1 1 1 循 环。 最小 的小 数是 ： 1 336 . 0 。 尖子班 1 1 1 1 分 析： 通过 最 简分 数的 分母 判 断是 有限 小数 、纯 循环 小数 、混 循环 小数 。 分 母只 有质 因子 2 2 2 2 或 5 5 5 5 时 能化 为有 限小 数； 分
32、母没 有因 子 2 2 2 2 和 5 5 5 5 时 能化 为纯 循环 小数 ； 分 母里 即有 质因 子 2 2 2 2 或 5 5 5 5 ， 又有 其它 质因 子时 能化 为混 循环 小数 。 有 限小 数： 7 7 1 5 9 , , 2 5 1 2 8 6 2 5 纯 循环 小数 ： 3 7 1 1 , 1 7 9 1 1 1 1 混 循环 小数 ： 5 2 5 5 5 3 7 , , 6 7 4 2 6 6 2 2 5 2 2 2 2 分 析： 分 母是 2 2 2 2 和 5 5 5 5 的 分数 化成 小数 ，都 是小 数点 后只 有 1 1 1 1 位 的有 限小 数， 后
33、面 的数 位都 由分 母为 1 1 1 1 1 1 1 1 的 分 数引 起 。 那 么可 以确 定 ， ) 5 ( 6 . 0 11 ) 5 ( 7 . 0 11 = = a a a a 或 （ 有 进位 ） 满 足条 件的 仅有 7 2 . 0 11 3 = 。 1 . 1 1 . 1 2 5 2 5 + = + = 1 3 。 所以 三个 数分 别为 1 , 3 , 3 1 , 3 , 3 1 , 3 , 3 1 , 3 , 3 。 3 3 3 3 分 析： 6 0485 0 . 0 999999 4856 999999 4856 37 37 27 27 999999 179672 99
34、9 27 2 7967 1 . 0 7 2 0 . 0 = = = = 循 环 节 有 6 6 6 6 位 ， 那 么 第 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 位 应 该 是 循 环 节 的 第 4 4 4 4 位 ， 为 “ “ “ “ 8 8 8 8 ” ” ” ” ， 而 第 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 位 是 “ “ “ “ 5 5 5 5 ” ” ” ” 要 进 位 ， 因 此 该 近 似值 的最 后一 位小 数是 9 9 9 9 4 4 4 4 分 析： 第 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 位 数字 是 7 7 7 7 ， 则第 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 位 数字 是 6 6 6 6 。 去 掉前 1 0 1 0 1 0 1 0 位 ，后 面第 1 1 1 1 1 1 1 1 位 到第 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 位 这 9 1 9 1 9 1 9 1 个 数构 成了 若干 完整 的循 环节 。 9 1 7 1 3 = ， 循环 节的 位数 不大 于 1 0 1 0 1 0 1 0 ， 于是 循环 节为 7 7 7 7 位 。应 在 “ “ “ “ 8 8 8 8 ” ” ” ” 和 “ “ “ “ 6 6 6 6 ” ” ” ” 上 加圆 点。
