1、专题:黑白染色问题1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有 36 个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的 16 个点表示 16 个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线?4.下图是由 4 个小方格组成的“L”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个 4n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“
2、日”字,另不考虑“别马腿”的情况). 6.能否用一个田字和 15 个 41 矩形覆盖 88 棋盘?7.能否用 1 个田字和 15 个 T 字纸片,拼成一个 88 的正方形棋盘?8.在 88 棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从 44 的正方形分别剪去两个 11 的小方格得到的,问可否把它们分别剪成 12 的七个小矩形?(1) (2) (3) 10.把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到 4 个同色小方格,处于某个矩形的 4 个角上(如图)红 红 红 红1
3、1.17 个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论 3 个问题,而任意两个科学家之间仅讨论 1 个问题.证明:至少有 3 个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批 124 的长方体木块,能不能把一个容积为 666 的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个 2727 的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子,它们被罢成一个 99 的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.1212 的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至 34
4、 矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?123OO答 案1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有 7 个黑色房间和 5 个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完 36 个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能.对这 16 个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有 9 个,另一种颜色有 7 个.而要不重复地走遍
5、这 16 个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对 4n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一 L 形纸片所占的方格只有两类:第一类占 3 黑 1 白,第二类占 3 白 1 黑.设第一类有 a 个,第二类有 b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即 a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4 的倍数,总数是 8 的倍数,从而 n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为 45,故可在 45 个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一
6、个田字形盖住 1 个或 3 个白格,而一个41 的矩形盖住 2 个白格.这样一来一个田字和 15 个 41 的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和 15 个 41 的矩形不能复盖 88 的棋盘.n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住 2 个白格,一个 T 字形盖住 3个或 1 个白格.故 1 个田字和 15 个 T 字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和 15 个 T 字形不能盖住 88 的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有 32 个白格与 32 个黑格,故马可能
7、跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.56 41 58 35 50 39 60 3347 44 55 40 59 34 51 3842 57 46 49 36 53 32 6145 48 43 54 31 62 37 5220 5 30 63 22 11 16 1329 64 21 4 17 14 25 106 19 2 27 8 23 12 151 28 7 18 3 26 9 249. 先对 44 的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问 7 个12 矩形能否分别复盖剪去 A、B；剪去 A、C；剪去 A、D 的三个棋盘.若 7 个12 矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个 12 矩形均可
8、盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是 7 个.而剪去 A 格和 C 格的棋盘(2)有5 个白格 8 个黑格,剪去 A、D 的棋盘(3)有 5 个白格 8 个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被 7 个 12 矩形复盖,也就不能剪成 7 个 12 的矩形.ABCD棋盘(1)可以被 7 个 12 的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A 1 1 27 7 B 26 5 4 36 5 4 310. 在第一行的 7 格中必有 4 格同色,不妨设这 4 格位于前 4 个位置,且均为红色.然后考虑前 4 列构成的 34 矩形.若第二行和第 3 行中出现 2 个或 2 个以上的红色格子.则
9、该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个 4 角同为红色格子的矩形.若不然,则第 2、3 行中都至少有 3 个蓝格在前 4 列中,不妨设第 2 行前 3 格为蓝色,显然第三行中的前 3 格中至少有 2 个蓝格，故在二、三行的前 4 列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将 17 个科学家用 17 个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给 17 个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从 A 向其他 16 点 A1,A2,A16共可连成 16 条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,
10、必有 6 条线段同色.设这 6 条线段为AA1,AA2,AA6且同为红色 .考虑 A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线 ,若有一条为红色 ,(如 A1A2为红色) ,则三角形 AA1A2为红色的同色三角形 .若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从 A1引出的五条线段 A1A2 A1A3 A1A4 A1A5 A1A6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为 A1A2 A1A3 A1A4,且同为蓝色.若三角形 A2A3A4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形 A2A3A4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色
11、三角形.12. 把正方体木箱分成 27 个小正方体,每个小正方体的体积为 222=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色 222 的正方体有 14 个,白色222 小正方体有 13 个.每一个这样的正方体相当于 8 个 111 的小正方体.将 124 的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住 8 个边长为1 的单位正方体,其中有 4 个黑色的,4 个白色的.木箱共含 666=216 个单位正方体,26 个长方体木块共盖住 826=208 个单位正方体,其中黑白各占 104 个,余下 216-208=8 个单位正方体是黑色的.但是第 27 个 124 长方体木块不管怎样AA1 A
12、2A3A4A5A6A1A2A3A4放,也无法盖住这 8 个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81 枚棋子摆成一个 99 的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第 3,4,5 及 8,9,10 这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.
