1、 第十届华杯赛决赛试题1一、填空（每题 10 分，共 80 分）1下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：公元历 2005 1985 1910希伯莱历 5746伊斯兰历 1332印度历 19272计算： 18.30.25+5.30.4-7.13 = ( ); = ( )。3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“ 位”有两种状态：0 和 1。一个字节由 8 个“ 位”组成，记为 B。常用 KB，MB 等记存储空间的大小，其中 1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将 240MB 的教育软件从网上下载，已经下载了 70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（
2、 ）分钟。 （精确到分钟）4a，b 和 c 都是二位的自然数，a ，b 的个位分别是 7 与 5，c 的十位是 1。如果它们满足等式 ab+c=2005，则 a+b+c=( )。5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图 1 中的阴影部分）和正方体体积的比是（ ） 。6某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是 432，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是 0.9 元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为 0.4 元，一个集装箱可以节省 6.5 元，则集装箱总的表面积是（ ）平方米，体积是（ ）立方
3、米。7一列自然数 0，1，2，3，2005，2004，第一个数是 0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大 1，最后一个是 2024。现在将这列自然数排成以下数表：0 3 8 15 1 2 7 14 4 5 6 13 9 10 11 12 规定横排为行，竖排为列，则 2005 在数表中位于第（ ）行和第（ ）列。8图 2 中，ABCD 是长方形，E，F 分别是 AB，DA 的中点， G 是 BF 和 DE 的交点，四边形 BCDG 的面积是 40 平方厘米，那么 ABCD 的面积是（ ）平方厘米。第十届华杯赛决赛试题2图 2二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题 10 分，共 40 分）9图
4、 3 是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度？10有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 共 10 个自然数，从这 10 个数中选出 7 个数，使这 7 个数中的任何 3 个数都不会两两互质；说明从这 10 个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。11一个直角三角形的三条边的长度是 3、4、5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体。求这三个立体中最大的体积和最小的体积的比。12A 码头在 B 码头的上游， “2005 号”遥控舰模从 A 码头出发，在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟 200 米
5、，水流的速度是每分钟 40 米。出发 20 分钟后，舰模位于 A 码头下游 960 米处，并向 B 码头行驶。求 A 码头和 B 码头之间的距离。三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题 15 分，共 30 分）13已知等式 其中 A，B 是非零自然数，求 A+B 的最大值。14两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图 4） 。如果在平面上画 L 条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是 15、30 、45、60、75、 90之一，问：（1）L 的最大值是多少？（2）当 L 取最大值时，问所有的“夹角” 的和是多少？第十届华杯赛决赛试题答案第十届华杯赛决赛
6、试题3一、填空（每题 10 分，共 80 分）第 1 小题：公元历 2005 1985 1910希伯莱历 5766 5746 5671伊斯兰历 1427 1407 1332印度历 1927 1907 1832第 2-8 小题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 见上表 10.695;1 17 102 13；3 20；45 60【评分参考】第 1 小题，错 1 空，扣 1.5 分；第 2-8 小题中若有两空，每空 5 分。二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题 10 分，共 40 分）9解：如图案所示， ，5 个风筝形拼成一个正 10 边形，所以，=（10-2）18010=818=144
7、 度， 5 =360（度） ， =72（度） 。风筝形是个四边形，内角和是 360 度，并且 （证明省略） ，所以， =（360-144-72）2=72（度） 。答：在风筝形中，有一个是钝角，是 144 度，其它三个角都是 72 度。【说明】在正式出版试题解答时将给出本题 ，5 个风筝形拼成的图形是一个正 10 边形的严格的证明。【评分参考】角度正确，6 分；理由正确，4 分。10解答：这 7 个数是 2，3，4，6，8，9，10；将这 10 个自然数分为三组：偶数 2，4，6，8，10 为第一组；3，9 为第二组；5，7，11为第三组。显然，第一和第二组每组至多只能选出 1 个数，第三组的
8、3 个自然数两两互质，最多能选 3 个。例如：2、3、5、7、11 就两两互质。所以从 2、3、4、5、6、7、8、9、10和 11 最多可以选出 5 个数，这 5 个自然数两两互质。【评分参考】正确，给 4 分； 答案 5 正确，给 4 分，理由陈述正确，给 2 分。11解： 以长为 3 的直角边分为轴旋转得到的是一个圆锥，体积 ；第十届华杯赛决赛试题4以长为 4 的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，体积 ；以长为 5 的斜边为轴旋转得到的立体是由两个圆锥底面上下叠合在一起组成的纺锥体。设两个圆锥的高为 ,则有 ,设底面的半径是 h，它是直角三角形斜边上的高，由直角三角形面积公式： ，再由圆
9、锥的体积公式计算纺锥体的体积应当是：既然 。答：最大的体积和最小的体积的比是 。【评分参考】每步 2 分。12解： 舰模从 A 码头顺流而下 960 米，航行时间= 分，20-4=16（分） 。因此，舰模出发后第 16 分钟又回到 A 码头。既然舰模出发后第 16 分钟又回到 A 码头，所以，在这 16 分钟中，舰模顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同。设在 16 分钟中，舰模顺流航行的时间为 t,逆流航行的时间 16-t，顺流航行的速度是 200+40=240 米/ 分，逆流航行的速度是 200-40=160 米/分，应当有：240t=160(16-t),t=6.4(分) 。因此，出发 20
10、分钟后舰模的总的航程是：6.4240+(16-6.4)160+960=4032 (米)设两个码头的距离是 L 米，则有，4032=2ml+960, m 是整数，由于，L960。所以，1 ，即 m=1,L=1536 米。答：两个码头的距离是 1536 米。【评分参考】能计算出舰模出发后第 16 分钟又回到 A 码头，2 分；计算出顺流航行的时间，4 分；计算出舰模总的航程，2 分； 计算出两个码头的距离，2 分。三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题 15 分，共 30 分）13解：设 A=ka, B=kb, (a,b)=1, 即有 ，因为（a,b）=1,所以有（a+b,b）=1 和（a,a+
11、b）=1,只能有 a+b 整除 k。设 k=m(a+b)，则有因为上式意味着 m,a,b 必须是 15 的约数。考虑到交换 a 和 b 的取值，不改变 A+B 的值。所以m,a,b 可能的取值和 A+B 的值是：第十届华杯赛决赛试题5m 1 1 3 5 15a 3 1 1 1 1b 5 15 5 3 1A+B 64 256 108 80 60答：A+B 的最大值是 256。【评分参考】答案正确，6 分，推理正确，即能列出 A+B 的 5 种取值，给 9 分。14解答：固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是 15、 30、45、60、75、90、105
12、、120 、135、150、165十一种角度之一，所以，平面上最多有 12 条直线。否则，必有两条直线平行。如右下图，将所有直线做平行移动，使它们交于同一个点，这样的平行移动显然不改变两条直线的“夹角” 。无妨设其中一条直线水平，从水平直线开始，逆时针将 12 条直线分别记为第一条、第二条、和第十二条直线。（1）第二条至第十二条直线与第一条直线的“夹角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540 （度） ；（2）第三条至第十二条直线与第二条直线相交的“夹角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=（540-15） （度） ；（3）第
13、四条至第十二条直线与第三条直线相交的“夹角”和是：15+30+45+60+75+90+75+60+45=（540-15-30） （度） ；（10）第十一条和第十二条直线与第十条直线相交的“夹角”和是（30+15） （度） ，（11）第十二条直线与第十一条直线相交的“夹角”和是：15（度） ；将（2）和（11） 、 （3）和（10） 、 （4）和（9） 、 （5）和（8） 、 （6）和（7）配对，得到所有的“夹角”之和是 6540=3240 （度） 。【评分参考】第 1 问答案正确，给 5 分；第 2 问中，能完成，给 8 分；能求出“夹角的总和，即完成，给 2 分。广东奥林匹学校招生考试将于2
14、011年5月14日举行，历届奥校考试都具相当难度，为协助同学们备考，考出优异成绩，顺利升入省奥校，本校特组织优秀教师，开设各科考前培训班级。详情如下：设有数学、语文、英语三科，每科10课时。全部课程安排在4月17日、24日、30日、5月2日、8日共五天时间。每次每科上2课时。各同学可选择不同时间段上课。A 班 数学（08：3010：10）英语（10：2012：00）语文（14：0015：40）第十届华杯赛决赛试题6B 班 数学（10：2012：00）英语（ 14：0015：40）语文（15：5017：30）C 班 数学（14：0015：40）英语（ 15：5017：30）语文（08：3010：10）D 班 数学（15：5017：30）英语（08：3010：10）语文（10：2012：00）收费标准：数学科600元，英语科500元，语文科500元。教师子女优惠50元（提供教师证原件） ，本中心老学员及军烈属子女优惠100元（提供军烈属证原件） 。
