1、2.2.2 向量减法运算及其几何意义自主学习知识梳理1相反向量(1)定义：如果两个向量长度_，而方向_，那么称这两个向量是相反向量(2)性质：对于相反向量有：a( a)_.若 a，b 互为相反向量，则 a_，ab_.零向量的相反向量仍是_2.向量的减法(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的_(2)作法：在平面内任取一点 O，作 a， b，则向量 ab_.如图所OA OB 示(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为_，被减向量的终点为_的向量例如： _.OA OB 自主探究我们已经知道向量不等式：|a|b|ab| |a| b|，若以向
2、量b 去替换向量 b 就会得到向量不等式：_.当向量 a、b 共线同向且|a| |b|时，有_；当向量 a，b 共线反向时，有_；当向量 a，b 不共线时，总有_对点讲练知识点一 作两向量的差向量例 1 任意画一对向量 a，b，求作它们的差回顾归纳 需要根据不同的情况分别求解我们首先要考虑向量 a、b 是否共线，如果共线是同向还是反向，(1)当两向量 a、b 共线时，如果它们同向，则 |ab|a| b|(当|a| b|时，为| a| b|；而当|a| b|时，为|b| a|)；如果它们反向，则| ab|a| |b|.(2)当两向量 a、b 不共线时，根据三角形中两边之和总是大于第三边，而两边之
3、差总是小于第三边可得：| a|b|ab|a| b|.变式训练 1 如图所示，在正五边形 ABCDE 中，A m，B n，C p，D q，E r，B C D E A 求作向量 mpn qr.知识点二 向量减法的简单运算例 2 化简：( )( )AB CD AC BD 回顾归纳 方法一是将向量的减法转化为加法进行化简的；方法二是利用了 AB AC ， 进行化简的；方法三是利用 进行化简的，要注意CB DC DB BC MN ON OM ，而不是 .AB AC CB BC 变式训练 2 化简：(1)( )( )；BA BC ED EC (2)( )( )AC BO OA DC DO OB 知识点三
4、向量减法的几何意义及应用例 3 在平行四边形 ABCD 中， a， b，先用 a，b 表示向量 和 ，并回AB AD AC DB 答：当 a，b 分别满足什么条件时，四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形？回顾归纳 向量的表示、向量的加减法的定义都是与图形相联系的，体会|a|，|b| ，| ab|，|ab| 在相应图形中的含义是解题的关键变式训练 3 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， a， b， c，AB BC AC 试作出下列向量并分别求出其长度(1)abc； (2) abc.1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义， 就可以把AB BA 减法转化为加法即：减去一
5、个向量等于加上这个向量的相反向量如 aba(b) 2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数” 解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3以向量 a、 b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量为AB AD ab， ba， ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住. AC BD DB 课时作业一、选择题1. 如图所示，在四边形 ABCD 中，设 a， b， c，则 等于( )AB AD BC DC Aabc Bb(ac)Cabc Dbac2化简 的结果等于 ( )OP QP PS SP A. B. C. D.QP OQ SP SQ 3在平行四
6、边形 ABCD 中， 等于( )AC BD A2 B2 C2 D2AB BA CD DB 4若| |5，| |8，则| |的取值范围是( )AB AC BC A3,8 B(3,8)C3,13 D(3,13)5边长为 1 的正三角形 ABC 中，| |的值为( )AB BC A1 B2C. D.32 3二、填空题6如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 交于 O 点，则 BA BC OA _.OD DA 7. 如图所示，已知 O 到平行四边形的三个顶点 A、B 、C 的向量分别为 a，b，c ，则_.OD 8已知非零向量 a，b 满足|a| 1，|b| 1，且| ab| 4，则
7、 |ab|_.7 7三、解答题9. 如图所示， O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，设 a， b，AB DA c，求证：bc a .OC OA 10. 如图所示，O 为ABC 的外心，H 为垂心，求证： .OH OA OB OC 2.2.2 向量减法运算及其几何意义答案知识梳理1(1)相等 相反 (2) 0 b 0 零向量2(1)相反向量 (2) (3)始点 终点 BA BA 自主探究|a| b|ab |a| b| |a b|a| b|a b| |a| b|a| b|ab|a| b|对点讲练例 1 解 (1)当 a、b 共线时，有 a、b 同向和反向两种情况：a、b 共线
8、同向：如图，作 a， b，则 ab；a、b 共线反向：如图，作AB BC AC a， b，则 aba(b) AB BC AC (2)若 a、b 不共线，有两种作法第一种作法：如图甲，在平面内任取一点 O，作a， b，则 ( ) ab，第二种作法如图乙，在OA OB BA BO OA OA OB OA OB 平面内任取一点 O，作 a， b，则 b，则由向量加法的平行四边形法则，OA OB OB 可得 a(b)ab.OC 变式训练 1 解 如图所示，延长 AC 到 Q.使 CQAC ，则 mpnqr(mn) (pqr)A C A C A .C A C Q Q 例 2 解 方法一 ( )( )AB
9、 CD AC BD AB CD AC BD AB DC CA BD ( )( )AB BD DC CA 0.AD DA 方法二 ( )( )AB CD AC BD AB CD AC BD ( )( )AB AC DC DB 0.CB BC 方法三 设 O 为平面内任意一点，则( )( )AB CD AC BD AB CD AC BD ( )( )( )( )OB OA OD OC OC OA OD OB 0.OB OA OD OC OC OA OD OB 变式训练 2 解 (1)( )( )BA BC ED EC .CA CD DA (2)( )( )AC BO OA DC DO OB ( )
10、AC BA DC DO OB AC BA DC DB BC DC DB BC CD DB 0.BC CB 例 3 解 由向量加法的平行四边形法则，得 ab， ab.AC DB AB AD 则有：当 a，b 满足|ab| |ab|时，平行四边形两条对角线相等，四边形 ABCD 为矩形；当 a，b 满足|a |b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形 ABCD 为菱形；当 a，b 满足|a b| |ab|且 |a|b| 时，四边形 ABCD 为正方形变式训练 3 解 (1)由已知得 ab ，AB BC AC 又 c，延长 AC 到 E，AC 使| | | |.CE AC 则 abc ，且| |2
11、.AE AE 2|a b c| 2 .2即 为所求向量，AE 其长度为 2 .2(2)作 ，连接 CF，则 ，BF AC DB BF DF 而 a ab，DB AB AD BC abc 且| |2.DB BF DF DF |a b c| 2.即 为所求向量，其长度为 2.DF 课时作业1A 2.B3A ( )( )AC BD AB BC BA AD ( )( ) AB BC BA BC AB BA 2 .AB AB AB 4C | | |且BC AC AB | | | |A | |.AC AB AC AB C AB 3| |13.AC AB 3| |13.BC 5D 如图所示，延长 CB 到点
12、 D，使 BD1，则 AB BC AB CB .AB BD AD 在ABD 中，AB BD1，ABD120，易求 AD ，3| | .AB BC 36.CA 7abc解析 OD OA AD OA BC ac b abc .OA OC OB 84解析 如图所示设 O a，O b，则|B |ab|.A B A 以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB，则|O |ab|.由于( 1) 2( 1) 24 2.C 7 7故|O |2|O |2| B |2，A B A 所以OAB 是AOB 为 90的直角三角形，从而 OAOB ，所以OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|O |B |4，C A
13、 即|a b |4.9证明 方法一 bc DA OC ，OC CB OB a ，OA OA AB OB bc a，OA 即 bca .OA 方法二 ca ，OC AB OC DC OD b，OD OA AD OA ca b，即 bca .OA OA 10证明 作直径 BD，连接 DA、DC，则 ，OB OD 由题意可知，DAAB ，AH BC，CHAB，CDBC.DACBACACHBAC 90 ，DCABCACAHBCA 90 ，即DACACH，DCACAH，CHDA，AHDC，故四边形 AHCD 是平行四边形 ，又 ，AH DC DC OC OD OC OB .OH OA AH OA DC OA OB OC
