1、1.3.2 奇偶性(一)自主学习1掌握函数的奇偶性的定义和判断方法2理解奇函数和偶函数的图象的特点1阅读课本内容填写下表：奇函数 f(x) 偶函数 g(x)定义域的特点关于原点对称 关于原点对称图象特点关于原点成中心对称图形关于 y 轴成轴对称图形解析式的特点 f(x) f(x ) f(x) f(x )2.(1)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)等于 0.(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明f(x)0，x1,1对点讲练函数奇偶性的判断【例 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x 3x 5； (2)f(x ) ；2x2 2xx 1(3)f(x) ； (4)f(x
2、) .1 x2 x2 14 x2|x 2| 2解 (1)函数的定义域为 R.f(x)(x) 3(x) 5(x 3x 5)f(x) f(x)是奇函数(2)函数的定义域为x |x1，不关于原点对称，函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)由Error!，得 x1，此时 f(x)0，x1,1 f(x)既是奇函数又是偶函数(4)Error!f(x)的定义域为2,0)(0,2，关于原点对称此时 f(x) .4 x2|x 2| 2 4 x2x又 f(x ) f(x)，4 x2 x 4 x2xf(x) 为奇函数4 x2|x 2| 2规律方法 (1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：先求定义域，考查定义域
3、是否关于原点对称；有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找 f(x)与 f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若 f(x)f(x)0，则 f(x)为奇函数；若 f(x )f(x)0，则 f(x)为偶函数(2)奇(偶 )函数的性质f(x)为奇函数，定义域为 D，若 0D，则必有 f(0)0；在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数奇函数偶函数；偶函数偶函数偶函数变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) |x |； (2) f(x) |x1| x1|； (3)f(x) .x2 x 1 1 x解 (1)既是奇函数，又是偶函数f(x)0，
4、f(x )0，f(x )f(x) 且 f(x) f(x)(2)函数的定义域为 R，f(x )|x1| x 1| |x1| |x1|(| x 1|x1|)f(x )，f(x)|x1| x1| 是奇函数(3)由Error!知 x1，函数 f(x)的定义域为1，不关于原点对称故 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数分段函数奇偶性的证明【例 2】 已知函数 f(x)Error!，判断 f(x)的奇偶性解 (1)当 x0，f(x)(x) 22(x) 3x 22x3f(x)(2)当 x0 时，x0 时，f( x)满足 f(x)x 22x3，x 0，f(x)x1( x1) f(x)，另一方面，当 x0 时，x
5、 0 时，x 0，f(x)(x) 22(x 22)f(x)；当 x0 时，f(0)0.故该函数为奇函数(4)函数的定义域为x |xR 且 x1 ，不关于原点对称所以函数 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数x3 x2x 110已知 f(x)是定义在(，) 上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x) 都满足 f(xy)y f(x)xf(y)(1)求 f(1)，f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由解 (1)f(x) 对任意 x，y 都有f(xy)y f(x)xf(y)，令 xy1 时，有 f(11)1f(1)1f(1)，f(1)0.令 xy1 时，有 f(1)(1)(1) f(1)(1) f(1)，f (1)0.(2)f(x) 对任意 x，y 都有f(xy)y f(x)xf(y)，令 xt，y1，有 f(t) f(t )tf(1)将 f(1)0 代入得 f(t)f(t)，函数 f(x)在(，)上为奇函数
