1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程【入门向导】 详释二分法关于这个问题的回答，我们不妨先来看一段 CCTV2 幸运 52 的一个片段：主持人李咏(以下简称李)说道“猜一猜这件商品的价格” 甲：2 000！ 李：高了！ 甲：1 000！ 李：低了！甲：1 700！ 李：高了！ 甲：1 400！ 李：低了！甲：1 500！ 李：低了！ 甲：1 550！ 李：低了！甲：1 580！ 李：高了！ 甲：1 570！ 李：低了！甲：1 578！ 李：低了！ 甲：1 579!李：这件商品归你了下一件有一位老师和他的三位学生做了如下问答：老师：如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？钱立恒：先初步估算一个价格
2、，如果高了再每隔十元降低报价方仕俊：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔 100 元降低报价如果低了，每隔 50 元上涨；如果再高了，每隔 20 元降低报价；如果低了，每隔 10 元上升报价侯素敏：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价侯素敏的回答是一个比较准确的结果，所采用的方法就是二分法的思维方式区间逼近法函数零点求解三法我们知道，如果函数 yf( x)在 xa 处的函数值等于零，即 f(a)0，则称 a 为函数的零点本文现介绍函数
3、零点求解三法一、代数法例 1 求函数 f(x)x 22x 3 的零点解 令 x22x30，2 24(3) 160，方程有两个不相等实数根方法一 因式分解法或试根法x22x3(x 3)(x1)或由 f(x)x 22x3，试一试 f(1)1 22130，f(3)(3) 22(3)30.所以 f(x)的零点为 x11，x 2 3.方法二 配方法x22x3(x 1)240，所以 x12.所以零点 x1 1，x 23.方法三 公式法x1,2 . b b2 4ac2a 242所以零点 x11，x 23.点评 本题用了由求函数 f(x)的零点转化为求方程 f(x)0 的实数根的办法运用因式分解法或试根法、配
4、方法、公式法，以上统称为代数法二、图象法例 2 f(x)log 3(x3)4x 的零点情况是( )A有两个正零点 B有两个负零点C仅有一个零点 D有一个正零点和一个负零点解析 设 g(x)log 3(x3)，h(x)4x，在同一坐标系内作出它们的图象(如右图) 由图易知，两图象有两个交点且分别在 y 轴两侧，所以函数有一个正零点和一个负零点故选D.答案 D点评 求函数 yg( x)h( x)的零点，实际上是求曲线 yg(x)与 yh(x)的交点的横坐标，即求方程 g(x)h(x )0 的实数解三、用二分法求函数近似零点例 3 用二分法求函数 f(x)x 33 的一个正零点(精确到 0.01)解
5、 由于 f(1)20，因此区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：端点(中点)坐标 计算中点函数值 取值区间f(1)20 1,2x1 1.51 22f(x1)0.3750 1,1.5x21 1.521.25f(x2)1.0470 1.437 5，1.468 75x61.437 5 1.468 7521.453 125f(x6)0 1.437 5，1.453 125x71.445 312 5 f(x7)0 1.437 5，1.445 312 5因为 1.445 312 51.437 50.007 812 50，则有结论：函数 yf(x) 在区间(a，b )上不存在零点判断该命题是
6、否正确错解 正确剖析 对区间(a，b)上的连续函数 yf (x)，若 f(a)f(b)0，而在区间( 1,1)上显然存在零点故该命题不正确点评 (1)函数 yf(x )的图象在区间(a，b) 上连续且有 f(a)f(b)1 时恰有一实根错解 将已知函数图象向上平移001 个单位(如图所示)，即得 f(x)x(x1)(x1)0.01 的图象故选 B 项剖析 肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼” 正解 f(2)0，f(2) f(1)0，C 项错误而 f(0.5)0，f(x)0 在区间(0,1) 上有两个实根，则 D 项错误，E 项也错，并且由此可知 A 项正确故选 A、B 两项点评 应用
7、数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数 yf (x)(如果 yax 2bxc 可以写成 f(x)ax 2bxc，即 yf(x
8、)的形式) ，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数式yf (x)看作二元方程 yf(x) 0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例一、判断方程解的存在性例 1 已知函数 f(x)3x 32x 21，判断方程 f(x)0 在区间1,0 内有没有实数解？分析 可通过研究函数 f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解解 因为 f(1)3( 1) 32(1) 2140，所以 f(1)f(0)1，f(6)1，f(6)0 时 g(x)单调递增；当 a2 时，f( x)0，因此 a0，b3ab0 或 k0
9、或 k0，1x1 时，|f(x)|1 且 g(x)的最大值为 2，求 f(x)解 a0，g(x)axb 在1,1上是增函数又 g(x)在1,1上的最大值为 2，g(1)2，即 ab2.于是 f(1)f(0)2.由题设有1f(0)f(1) 2121，f(0)1，从而 c1.又由题设知 f(x)1f(0)，二次函数 f(x)的对称轴为 x0，于是 0，得 b0，将其代入，得 a2.b2af(x)2x 21.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺” ，特别是面对一些综合题更是如此分析时“条条是道” ，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的当
10、我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数 f(x)ax 2bxc (a0)，x 10，则函数 y1ax 2bxc 的图象开口向上而 y2 f(x1)f( x2)的图象呢？是一条平行于 x 轴的直线此直线与二次函数图象有两12个不同的交点吗？由于 f(x1)与 f(x2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f(x 1)与 f(x2)是函数 f(x)ax 2bxc 分别在 x1，x 2 处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于 f(x1)f(x 2)，说明 f(x1)f(x 2)一定比最小值大；若 y2 的值就是最1
11、2小值，此时，直线与二次函数图象相切于顶点，而 f(x1)f (x2)大于最小值，则 y2 f(x1)12 12f( x2)与二次函数图象一定有两个不同的交点又因为 minf(x1)，f(x 2) f(x1)f(x 2)maxf (x1)，f (x2)，故必有一根属于(x 1，x 2)12分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程 f(x) f(x1)f (x2)的“b 24ac” ，然后，12再结合函数零点的存在定理方法二 由 f(x) f(x1)f(x 2)，得122ax22bx2c f( x1)f( x2) 0.那么 (2b)24(2a)2 cf(x 1)f(x 2)4b 24ac 2af
12、(x1)2af(x 2)此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！分析细节 在上式中存在 f(x1)与 f(x2)，可否将其替换呢？于是4b 24ac2a(ax bx 1c) 2a(ax bx 2c)21 22(4a 2x 4abx 1b 2)2(4 a2x 4abx 2b 2)21 22(2ax 1b) 22(2ax 2b) 20.又 x10，因此方程有两个不等的实根又设 g(x)f(x) f(x1)f(x 2)，12则 g(x1)g(x2)f(x 1) f(x1)f(x 2)f(x2) f(x1)f(x 2) f(x1)f(x 2)20 (bR)恒成立于是 (4
13、a)216a0 ，解得 0a1.故当 bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，a 的取值范围 0a1.点评 本题中的新情境不动点，它的实质就是方程 f(x)x 的根考 点 二 方 程 转 化 为 函 数2(聊城模拟)若关于 x 的方程 x23xa0 两根中有一根在(0,1)之间，求实数 a 的取值范围分析 本问题可转化为函数 yx 23x a 有两个零点，其中有一个在 (0,1)内那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m ，n)内有零点的条件 f(m)f(n)0，求 a 的取值范围解 根据题意，函数 yx 23x a 有两个零点，其中有一个在 (0,1)内，作函数yx 23xa 的大致图象
14、，如图所示，则可得Error! 解得 0a2.故 a 的取值范围是(0,2)点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件需从三个方面考虑：判别式；对称轴直线 x 与区间端点的关系；b2a区间端点函数值的正负考 点 三 函 数 与 方 程 的 循 环 转 化3(浙江高考)若 f(x)和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数，且方程 xfg(x )0 有实数解，则 gf(x)不可能是( )Ax 2x Bx 2x15 15Cx 2 Dx 215 15分析 由于本题未知函数 f(x)、g(x) 的类型，试图用待定系数法去解决比较困难故可采用较灵活的方法逐一验证法解析 若 gf
15、(x)x 2x ，不妨设 f(x)x 2x ，g(x)x，由方程 xfg(x )0 即15 15得 x2 0，显然，x 2 0 有解故函数 gf(x)有可能为 x2x .15 15 15若 gf(x)x 2x ，不妨设 f(x)x 2x ，g(x)x，由方程 xfg(x )0，即得 x215 150.显然，x 2 0 无解故函数 gf(x)不可能为 x2x .15 15 15对于 C、D 两答案，同理可得可能为 gf(x)答案 B点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性考 点 四 创 新 题4设函数 yf( x)
16、的定义域为实数集 R，如果存在实数 x0，使得 x0f(x 0)，那么 x0 为函数 yf( x)的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )分析 函数的零点即为函数值为 0 时对应方程的解因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去解析 使 x0f( x0)的解即为 yf (x)的图象和 yx 的交点的个数问题观察图象易得结论答案 B5关于 x 的方程( x21) 2|x 21| k0，给出下列四个论断：存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根其中正确的个数是( )A0 B4 C2 D3分析 本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理解析 据题意可令 x21t( t1) ，则方程化为|t| 2|t|k 0，即 k|t| |t| 2.作出 y1|t| |t| 2 的图象如右图，平移 y2k 这一直线，结合函数的图象可知：
