1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)自主学习知识梳理1函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个_，使得当 x 取定义域内的_时，都有_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 _2正弦函数、余弦函数的周期性由 sin(x2k)_，cos(x2k)_知 ysin x 与 ycos x 都是_函数，_都是它们的周期，且它们的最小正周期都是_3正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数 ysin x 与余弦函数 ycos x 的定义域都是_，定义域关于_对称(2)由
2、 sin(x)_知正弦函数 ysin x 是 R 上的_函数，它的图象关于_对称(3)由 cos(x) _知余弦函数 ycos x 是 R 上的_函数，它的图象关于_对称自主探究函数 f(x)Asin(x) (A 0) 是否是周期函数，它的最小正周期是多少？函数 f(x)Acos(x )呢？对点讲练知识点一 求三角函数的周期例 1 求下列函数的周期(1)ysin (xR)；(2) y|sin x| (xR) (2x 3)回顾归纳 对于形如函数 yAsin(x )，0 时的周期求法常直接利用 T 来求2|解，对于 y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解易知 y|Asin x|的周期是 y
3、Asin x 周期的 .12变式训练 1 求下列函数的周期(1)ysin ；(2) y|cos x|.( 12x 3)知识点二 判断三角函数的奇偶性例 2 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin ；( 12x 2)(2)f(x)lg(1 sin x)lg(1sin x)；(3)f(x) .1 sin x cos2x1 sin x回顾归纳 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件然后再判断 f(x)与 f(x)之间的关系变式训练 2 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos x 2sin x；(32 2x)(2)f(x) .1 2
4、cos x 2cos x 1知识点三 函数周期性与奇偶性的综合运用例 3 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 ，且当 x 时，f(x )sin x，求 f 的值0，2 (53)回顾归纳 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量 x 的值转化到可求值区间内变式训练 3 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f 1，求 f 的值2 (3) ( 56)1求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x T)f( x)成立的 T.(2)图象法，即作出 yf(x )的图象，观察图
5、象可求出 T.如 y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数 yAsin(x ) (其中 A、 为常数，A0，0，xR)的周期 T .22判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称. 课时作业一、选择题1设函数 f(x)sin ，xR，则 f(x)是( )(2x 2)A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数2D最小正周期为 的偶函数22下列函数中，周期为 的是( )2Aysin By sin 2x Cy cos Dycos 4xx2 x43下列函数中，不是周期函数的是( )Ay|cos x| By cos|x|Cy |sin
6、x| Dysin| x|4函数 ysin(x ) (00)，它们的周期之和为 ，(kx 3) (2kx 3) 32且 f g ， f g 1，求 k，a，b.(2) (2) (4) 3 (4)1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)答案知识梳理1(1)非零常数 T 每一个值 f(xT) f (x)(2)最小正周期2sin x cos x 周期 2k (kZ 且 k0) 23(1)R y 轴 (2) sin x 奇 原点(3)cos x 偶 y 轴自主探究解 由诱导公式知Asin(x)2A sin(x)也就是 Asin A sin(x)(x 2) 即 f f(x )(x 2)所以函数 f(x)
7、Asin(x) (0)是周期函数， 就是它的一个周期， 是它的最小2 2|正周期同理，函数 f(x)Acos (0)也是周期函数，最小正周期也是 .(x )2|对点讲练例 1 解 (1)f(x)sin 的周期为 .(2x 3) 22(2)作出 y|sin x|的图象由图象可知，y|sin x|的周期为 .变式训练 1 解 (1)T 4.2| 12|(2)函数 y|cos x|的图象如图所示：根据图象可知：T.例 2 解 (1)显然 xR，f( x)cos x，12f(x)cos cos x f(x)，( 12x) 12f(x)是偶函数(2)由Error!，得10，f(x)sin(x)sin x，f(x )f(x) ，x0.1 sin2xf(x )ln(sin x )1 sin2xln( sin x )ln( sin x)11 sin2x 1 sin2xln(sin x )f(x)，1 sin2xf(x)为奇函数10解 k0， ，2k 22k 3k 32k2，f(x)asin ，(2x 3)g(x)bcos ，(4x 3)f asin a，(2) ( 3) 32g bcos b，(2) (2 3) 12g bcos b，(4) ( 3) 12f asin a.(4) (2 3) 12由题意，a，b 满足方程组Error!， Error!.k2，a ，b .12 32
