1、1.2 函数及其表示【入门向导】 “f”的自述我是“f”，同学们对我一定都很熟悉了，别看我只是一个普通的小写英文字母，在数学王国里我的作用可大了在数学王国里，我代表一种对应关系，如果两个集合之间要形成一种特殊的对应映射的话，他们就必须请我来帮忙，你瞧， “f：A B”就是我帮忙搞定的集合 A 到集合 B的映射我还是一个了不起的魔术师呢，我拿一个篮子( )往里装一个实数，就可以按我所代表的对应关系变出一个新的数来，如果我代表减 2，就把实数 x 变成 x2，即 f(x)x2；如果我代表先加绝对值，再加 2，最后再变为相反数，那么我会把2 变为 f(2)(| 2|2) 4.我出生于英国，来自于“f
2、unction” ， “function”的中文意思是“函数” ，所以人们经常用我来表示函数，对我的理解可从以下几方面考虑：(1)可以把我看成是一种“对应关系” ，也就是一种算法的体现，这里 f(x)表示的意思是对“x”施行算法 “f”之后的结果 f(x)x1 就表示对“x”施行变换或算法“f”，使 x 变成x1.但要注意， “x”不只是单独的字母、数，还可以是代数式、函数等(2)yf(x) 也可以看成是关于 x，y 的一个方程，在这里“ f”变成了一个关系的模式如f(x) x22x3，则 yf( x2)可表示为 yx 42x 23，也可表示为方程 x42x 2y30.(3)通过我自身所表示的
3、对应关系，把两个量或数联系起来，可以表示函数yf( x)表示 x 的函数，x 是自变量，y 为函数，f 表示从 x 到 y 的对应关系(4)函数符号“yf(x )”是“y 是 x 的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积” ，f(x )也不一定是解析式符号 f(a)与 f(x)既有区别又有联系，f(a) 表示当自变量 x a 时函数 f(x)的值，而 f(x)是自变量 x 的函数一般情况下，f(x) 是一个变量，f(a)是 f(x)的一个特殊值同学们，我说了这么多，你是否对我又有了更深刻的了解呢？在数学王国里，我们会经常见面的，希望我们能成为好朋友帮你理解函数
4、的概念函数的定义：一般地，设 A，B 是非空的数集，如果按某种确定的对应关系 f，使得对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有惟一确定的元素 y 与之对应，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数，记为 yf (x)，x A.由所有的自变量 x 组成的集合 A 叫做函数 yf(x) 的定义域，由所有的函数值 y 组成的集合 C 称为函数的值域解析式 yf(x) 表示对于集合 A 中的任意一个 x，在对应关系 f 的作用下，可得到 y，因此 f 是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系 x 与 y 的纽带，从而是函数的核心，f 可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等
5、其他方式表示“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三都不能深刻理解这一概念原因在于这一概念的抽象性如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用(1)函数是个“信使”“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清函数也是这样，每个自变量 x 都要按一定的对应关系与确定的 y 一一对应自变量 x 就是“一封信” ，它被对应关系这个“信使”送到确定的“收信人”y 手里(2)函数是个“产品加工厂”工厂里把原料按规格加工成不同的产品函数就是把自变量 x 按“规格”对应关系“加工”成不
6、同产品y.它也像“数字发生器” ，把“原料”自变量 x 投入到不同的“数字发生器”对应关系中就会得到不同的“产物”因变量 y.(3)函数是“封建社会的婚姻”在封建社会，流传着“好女不嫁二夫” ，但“一夫可多妻” 同样函数中多个自变量 x可对应一个函数 y，即“一夫多妻” ，但是一个“妇女”自变量 x 不能找多个“婆家”y 值有了上面的解释，你对函数这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了函数概念常见题型函数概念主要围绕其三要素(定义域、值域、对应关系) 进行考查，常见题型有以下几类：一、判断一个 x，y 的关系式能否表示成 y 为 x
7、的函数例 1 下列各式是否表示 y 为 x 的函数？若是，写出函数的解析式(1)xy3( x0)；(2)x2y 21( x(1,0) ；(3)x3y 31.解 要能表示成 y 为 x 的函数，则必须对于定义域内任意一个 x，均有惟一的 y 值与之对应(1)满足要求，可表示成 y 为 x 的函数y (x0) 3x(2)不满足，因为对于(1,0内任一 x 值，均有两个 y 值与之对应，因此不能表示成 y为 x 的函数(3)满足要求，可表示为 y .31 x3二、判断两函数是否表示同一函数例 2 判断下列各组函数是否表示同一函数，并说明理由(1)f(x) ，g(x)x 0；xx(2)f(x) ，g(
8、x ) .x 1 x 1 x2 1解 (1)中 f(x) 1(x0)， g(x)x 01(x0)，其定义域均为 x|x0 且对应关系也相xx同，故是同一函数(2)中 f(x)的定义域为 1，) ，而 g(x)的定义域为(，11，) ，其定义域不同，故不是同一函数三、根据条件求 f(a)或 fg(x)的表达式例 3 已知 f(x)Error!求 ff(1) 及 f(x21)分析 已知函数为分段函数，要根据变量的取值，正确选择相应的解析式，所以在研究分段函数时，要特别注意定义域的制约作用解 f(1) (1)12，则 ff(1)f(2)2 215.因为 x210，则 f(x2 1)(x 21) 21
9、x 4 2x22.四、求函数的定义域与值域例 4 求函数 y 的定义域x 2|x| 3分析 我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形：偶次根式的被开方数为非负数；分式的分母不能为零；幂指数为零时，底数不能为零；自变量本身的实际意义等解 根据题意得Error!解之得 x2 且 x3.所以函数的定义域为x| x2 且 x3 例 5 已知 y f(x1)的定义域为1,2，求下列函数的定义域： (1)f(x)；(2) f(x3)；(3)f(x2)分析 本题为根据题中的已知条件求函数的定义域，应根据自变量的特点求解解 (1)f(x1)的定义域为1,2，即 1x2，2x13，即 f(x)的定义域为2,3
10、(2)f(x) 的定义域为 2,3，2x33.5x 6.即 f(x 3)的定义域为5,6(3)f(x) 的定义域为 2,3，2x 23， x 或 x ，2 3 3 2即 f(x2)的定义域为 ， ， 3 2 2 3点评 (1)若 yf(x )的定义域为a，b ，则 f(g(x)的定义域是 ag( x)b 的解集；(2)已知 f(g(x)的定义域为a，b，则当 xa ，b时 g(x)的函数值的取值集合就是 f(x)的定义域例 6 下列函数中，值域为(0， ) 的是( )Ay x2 3x 1By 2x1(x 0)Cy x2x1Dy1x2分析 求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值
11、域即可解析 A由于 x23x1(x )2 ，32 54 54所以 y 的值域为0 ，)；x2 3x 1By 2x1 函数值 y 随着 x 增大而增大，所以 y2x1(x 0)值域为(1，) ；Cy x2x1(x )2 ，12 34 34则 yx 2x1 的值域为 ， )；34Dy ，x0，x 20，则 y0.1x2故只有选项 D 正确答案 D学习“函数的表示方法”应注意的几个细节函数有三种常用的表示法：列表法、图象法和解析法，三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系，我认为学好本节内容应从以下几个细节入手：(1)要学会用不同的方式表示函数，并能将其相互转化，转化时应注意式子要恒等变形，
12、否则定义域及值域都可能发生变化(2)已知函数类型，求函数解析式最常用方法是待定系数法，解题关键在于简略地列出方程组求解系数，但在很多求解析式的问题中，不确定给出哪一种类型的函数，此时就要另寻捷径(3)换元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法，但要注意引入“元”的范围，即定义域问题(4)学习分段函数时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数这一细节，分段函数具有很强的抽象性，在解决有关分段函数的有关问题时，不要被其表面形式所迷惑(5)解决抽象函数的有关问题的基本方法是：给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数解析式的目的至于给变量赋予怎样的特殊值，
13、则应根据题目的结构特征来确定(6)理解映射的定义，进一步理解函数的实质两个非空数集间的一种映射认识我的“三古怪”映射我叫映射，是两个集合间元素与元素的对应关系我本身由三部分构成，即“原象的集合 A”、 “象的集合 B”和“从集合 A 到集合 B 的对应关系 f”我的脾气有点古怪，下面介绍一下我自己 古 怪 之 一 我 十 分 偏 爱 “原 象 ”：表 现 在 我 要 保 证 任 何 原 象 都 有 且 仅 有 唯 一 的 象 和 它 对 应例 7 判断下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射(1)已知集合 A1,2,3,4，且集合 B3,4,5,6,7,8,9，对应关系为 f：x2x 1；(
14、2)集合 AZ，B N *，对应关系 f：ab(a1) 2；(3)已知集合 A0,1,2,4，集合 B1,4,9,25，f ：ab( a1) 2.分析 判断对应是否是集合 A 到集合 B 的映射，首先应看集合 A 的原象是否都在集合B 内有且仅有唯一的象解 (1)A1,2,3,4的元素在对应关系 f：x 2x1 的作用下在 B3,4,5,6,7,8,9 中都能找到唯一的象，故此对应为映射同理可知(3)也是映射 (2)中集合 AZ 的元素“1”在集合 BN *中找不到象，故不是映射点评 同学们在判断两个集合间的对应关系是不是映射时，首先得看清原象集合中的元素，在对应关系 f 的作用下是否都有象，
15、再看原象所对应的象是否唯一古 怪 之 二 我 有 点 纵 容 “象 ”：表 现 在 集 合 中 的 象 可 以 有 原 象 ，也 可 以 没 有 原 象 ，顺 其 自 然例 8 判断下列对应是否是映射，有没有对应关系，并说明理由分析 这是一道图表信息题要判断对应是不是映射，先要弄清图中传达的信息解 图(1)中元素 b 有两个象，故不是映射；图(2)中元素 d 没有象，故不是映射；而图(3)中元素 d 是象，它可以没有原象，故是映射图(3)给出的对应有对应关系，对应关系是用图形表示出来的点评 在判断图表信息给出的对应关系是否是映射时，由于对应关系不明显，元素间的对应关系是通过图象反映出来的，做题前应先弄清哪一个是原象的集合，哪一个是象的集合，再进行合理判断 古 怪 之 三 我 严 把 函 数 入 口 关 ：表 现 在 要 成 为 函 数 必 须 得 先 过 我 这 一 关例 9 集合 Mx |0x2，N y|0y0)在定义域为实数集时适用正解 yx 22x ( x1) 21，x1,2由图象知，当1x ，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总H2 V02水量的一半A 中 V ，C、D 中 V ，故排除 A、C 、D ，选 B.V02 V02答案 B
