1、2.3 等差数列的前 n 项和 (一)自主学习知识梳理1把 a1a 2a n叫数列a n的前 n 项和，记做_ 例如 a1a 2a 16 可以记做_；a 1a 2a 3a n1 _ (n 2)2若a n是等差数列，则 Sn可以用首项 a1 和末项 an表示为 Sn_；若首项为 a1，公差为 d，则 Sn可以表示为 Sn_.3写出下列常见等差数列的前 n 项和(1)123n_.(2)135(2n1)_.(3)2462n_.4等差数列前 n 项和的性质(1)若数列a n是公差为 d 的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为Snn_(2)Sm，S 2m，S 3m分别为a n的前 m 项，前 2m
2、项，前 3m 项的和，则Sm，S 2mS m，S 3mS 2m也成_数列(3)设两个等差数列a n、b n的前 n 项和分别为 Sn、T n，则 .anbn S2n 1T2n 1自主探究教材是怎样推导等差数列a n前 n 项和的？试一试写出推导过程对点讲练知识点一 有关等差数列前 n 项和的计算例 1 在等差数列a n中，已知 d2，a n11，S n35，求 a1 和 n.总结 在解决等差数列问题时，如已知 a1，a n，n，d，S n中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型变式训练 1 设a n为等差数列，S n为数列a n的前 n 项和，已知 S77，S 1575，
3、T n为数列 的前 n 项和，求 Tn.Snn知识点二 等差数列前 n 项和性质的应用例 2 (1)等差数列a n的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列 an的前 3m 项的和 S3m；(2)两个等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知 ，求 的值SnTn 7n 2n 3 a5b5总结 等差数列前 n 项和 Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易，事半功倍的效果变式训练 2 已知两个等差数列a n和b n的前 n 项和分别为 An和 Bn，且 ，则使得 为整数的正整数 n 的个数是( )AnBn 7n 45n 3 anbnA2
4、 B3 C4 D5知识点三 等差数列前 n 项和的实际应用例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？总结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n 项和变式训练 3 现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A9 B10 C19 D291
5、求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法2等差数列的两个求和公式中，一共涉及 a1，a n，S n，n，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量在求等差数列的和时，一般地，若已知首项 a1 及末项 an，用公式 Sn 较好，na1 an2若已知首项 a1 及公差 d，用公式 Snna 1 d 较好nn 123等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用. 课时作业一、选择题1等差数列a n中，S 104S 5，则 等于( )a1dA. B2 C. D412 142已知等差数列a n中，a a 2a 3a89，且 an200.n1
6、9 时，剩余钢管根数最少，为 10 根课时作业1A 由题意得：10a1 109d4(5a 1 54d)，12 1210a 145d20a 140d，10a 15d， .a1d 122D 由 a a 2a 3a89 得(a 3a 8)29，23 28a n0.a 3a 4a 2a 522，又 a3a4117，a 3，a 4 是方程 x222x 1170 的两个根又公差 d0，a 3a4，a 39，a 413.Error! ，Error!，a n4n3.(2)由(1)知，S nn1 42n 2n，nn 12b n .b 1 ，b 2 ，b 3 .Snn c 2n2 nn c 11 c 62 c 1
7、53 cb n是等差数列，2b 2b 1b 3，2c 2c0，c (c0 舍去) 1210解 (1)由已知得 a1a1，a 24，a 32a，又 a1 a32a 2，( a1)2a8，即 a3.a 12，公差 da 2a 12.由 Skka 1 d，得 2k 22 550，kk 12 kk 12即 k2k2 5500，解得 k 50 或 k51(舍去) a3，k50.(2)由 Snna 1 d，nn 12得 Sn2n 2n 2n.nn 12b n n1.b n是等差数列Snn则 b3b 7b 11b 4n1 (31) (71) (111)(4n11)2n 22n，b 3b 7b 11b 4n1 2n 22n.
