1、2.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1幂函数定义：形如 yx 的函数叫幂函数( 为常数)重点掌握 1,2,3，1 时的幂函数122图象：当 1,2,3，1 时的图象如右图123性质(1)当 0 时，幂函数图象都过(0,0) 点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当 01 时，曲线下凹：1 时为过(0,0)点和 (1,1)点的直线(2)当 0)y22log 2x(x0)y2log 2x2(x0)yx 2(x0)作出幂函数 yx 2(x0)的图象，如图所示，即为函数 y4log 2x 的图象三、思维片面例 5 幂函数 f(x)(m 2m1) xm22m 1 在区间(0，)上是增函数，求实数
2、 m 的取值集合错解 由幂函数的定义，可知 f(x)可以写成 f(x)x 的形式，所以 m2m11，解得 m1 或 m2.剖析 求得 m 的值后，未检验是否符合题意正解 由幂函数的定义，可知 f(x)可以写成 f(x)x 的形式，所以 m2m11，解得 m1，或 m2.当 m1 时，f(x)x 2 在(0 ，)上是增函数；当 m2 时，f(x)x 1 在(0 ，)上不是增函数，舍去故所求实数 m 的取值集合为 1四、单调性理解不透彻例 6 若(a1) 1 32a，解得 a .23故实数 a 的取值范围是( ， ) 23剖析 函数 f(x)x 1 在( ，0) 和(0，)上均为减函数，但在(，0
3、)(0， ) 上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误正解 考查幂函数 f(x)x 1 ，由于该函数在(，0) 及(0 ，)上均为减函数，所以由(a1) 1 32a0 ，或 32a|3 2a| ， 1，则 1mp.答案 nm p点评 以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例 5 若(a1) x ，求 x 的取值范围13解 x 2 与 x 有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数 yx (其中 2， )，13 13所以同一坐标系内
4、作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为 x 的取值范围，如图所示，可得 x 的取值范围是 x1.点评 数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然三、转化的数学思想例 7 指出函数 f(x) 的单调区间，并比较 f()与 f( )的大小x2 4x 5x2 4x 4 22解 因为 f(x)x2 4x 4 1x2 4x 41 1(x 2) 2 ，1x 22所以其图象可由幂函数 yx 2 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到，如图所示所以 f(x)在(2，)上是减函数，在(，2) 上是增函数，且图象关于直线x2 对称又因为2(
5、)2， (2) 2 ，22 22所以 2 f( )22点评 通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题联想加分析“联想”加“分析”是正确求解数学问题的关键有时面对一道题，从该题的某个条件上看出某一类问题的“影子” ，于是“联想”便展开了很快有了基本思路，再运用“分析”使思路严谨化，解题过程就诞生了，请看下面两例：例 8 若(a2) 1 (4a) 1 ，求实数 a 的取值范围联想 这是一道涉及幂函数 yx 1 的应用问题，我们知道此函数在( ，0)及(0， )上均为减函数，故Error! 或Error!由Error! 24 时不等式也成立；于是本题
6、的正确求解要分三种情况正确的结果是实数 a 的取值范围为(2,1) (4，) 例 9 若函数 f(x)0 且满足 f(xy)f(x)f(y)，若 x1 时，f(x)1，求使 f(x3)0 且 f(xy)f(x) f(y)”，于是想到这是一道与幂函数有关的抽象函数问题令 xy1 得 f(1)1.又 f(1)f(x )f(x)f( )，1x 1x所以 f( ) .1x 1fx则 f( )f(x )f(x) f( ) .xy 1y 1y fxfy设 01.x2x1由已知得 f( )1，即 1.x2x1 fx2fx1故 f(x2)f(x1)所以 f(x)在(0 ，) 上单调递增因此，由 f(x 3)3
7、.故使 f(x3)0 及2x50 的限制，这个是求解时强加的，是片面的，应该这样来解：令 xy1 得 f(1)1，则 f(x )f(x)f(1)f( x)即 f(x)为偶函数于是由 f(x3)0x 即为所求83可以看出：丰富的联想再加上必要的分析是产生正确结论的保障！但愿这两点你都拥有三类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决一、以正比例函数为模型的抽象函数例 10 已知 f(x)的定义域为实数集 R，对任意 x，y R，都有 f(xy)
8、f (x)f(y) ，且x0 时，f( x)0，又 x0 时，f( x)0，且 a1)的抽象函数，从而猜想 f(0)1 且f(x)0.(1)将 y0 代入 f(xy )f( x)f(y)，得 f(x)f(x)f(0) ，于是有 f(x)1f(0)0.若 f(x)0，则对任意 x1x 2，有 f(x1)f (x2)0，这与已知题设矛盾，所以 f(x)0，从而 f(0)1.(2)设 xy0，则 f(2x)f( x)f(x)f(x) 20，又由(1)知 f(x) 0，所以 f(2x)0，由 x 为任意实数，知 f(x)0.故对任意 xR，都有 f(x)0.点评 从已知条件联想到指数函数模型，为问题的
9、解决指出了方向但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由 f(x)1f(0)0，直接得出 f(0)1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方三、以对数函数为模型的抽象函数例 12 设函数 f(x)是定义域(0，) 上的增函数，且 f( )f (x)f(y)xy(1)求 f(1)的值；(2)若 f(6)1，求不等式 f(x 3)f( )2 的解集1x解 由已知猜想 f(x)是对数函数 ylog ax(a0，且 a1)的抽象函数(1)将 xy1 代入 f( )f( x)f (y)，xy得 f(1)f(1)f(1) ，所以 f(1)0.(2)因为 f(6)1，所以 2f(6)f (6)，于是
10、 f(x3)f( )2 等价于 f(x3)f(6)f(6)f ( )，即 f( )f(6x )，1x 1x x 36而函数 f(x)是定义域(0，) 上的增函数，所以Error! ，解得 x ，335因此满足已知条件的不等式解集为 ，) 335点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若 x18 的解集是_分析 性质 f(x1x 2)f( x1)f(x2)类似于指数函数的性质 amn a man，故可以构建指数函数模型解析 设 f(x)a x(a1)，则由 f(2)4 可得 a2，所以 f(x)2 x.由 f(2x 1)8，则 22x1 8，解得 x
11、1.故不等式 f(2x 1)8 的解集是(1，)答案 (1，)例 15 已知函数 f(x)是定义域为 R 的增函数，且值域为(0，) ，则下列函数中为减函数的是( )Af(x)f(x) Bf (x)f (x )Cf(x)f(x) D.f xfx分析 指数函数 ya x(a0，a1)中，在 a1 的情况下，函数满足题设的条件 定义域为 R；增函数；值域为 (0，)解析 不妨设 f(x)2 x，通过观察四个选项，可以得出 ( )x符合题意，故选 D.f xfx 14答案 D幂函数高考考点透视 一 考 情 分 析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识
12、的结合点借助 yx (1,2,3，1)的图象和性质研究多项式函数，分12式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主二 考 题 例 析1(陕西高考)函数 f(x) (xR) 的值域为( )11 x2A0,1 B0,1)C(0,1 D(0,1)解析 1x 21，0 111 x2f(x) 的值域是(0,111 x2答案 C2(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是( )Ayx 3 By |x| 1Cy x21 Dy2 |x |解析 yx 3 在定义域 R 上是奇函数，A 不对yx 21 在定义域 R 上是偶函数，但在(0，) 上是减函数，故 C 不对D 中 y2 |x| ( )|x|虽是偶函数，但在(0 ，)上是减函数，只有 B 对12答案 B3(北京高考)函数 f(x) 的定义域为_x 112 x解析 要使函数 f(x) 有意义，1 x12 x则必须有Error!Error! 即 x 1,2)(2 ，)答案 1,2) (2 ，)4(山东高考)设函数 f1(x)x ，f 2(x)x 1 ，f 3(x)x 2，则 f3(f2(f1(2 007)_.12解析 f 3(f2(f1(2 007)f 3(f2(2 007 )12f 3(2 007 ) 2 0071 .12 12 007答案 12 007
