1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示自主学习知识梳理1两向量共线的坐标表示设 a(x 1，y 1)， b( x2，y 2)(1)当 a b 时，有_(2)当 a b 且 x2y20 时，有_即两向量的相应坐标成比例2若 ，则 P 与 P1、P 2 三点共线P1P PP2 当 _ 时，P 位于线段 P1P2 的内部，特别地 1 时，P 为线段 P1P2 的中点；当 _ 时，P 位于线段 P1P2 的延长线上；当 _ 时，P 位于线段 P1P2 的反向延长线上自主探究设 P(x，y)为线段 P1P2 上的一点，P 1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)当 (1)时，求 P 点的坐标P1P PP2
2、 对点讲练知识点一 平面向量共线的坐标运算例 1 已知 a(1,2) ，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？回顾归纳 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配变式训练 1 已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断 与 是否共线？如果AB CD 共线，它们的方向相同还是相反？知识点二 平面向量的坐标运算例 2 已知点 A(3，4)与点 B(1,2) ，点 P 在直线 AB 上，且| |2| |，求点 P 的AP PB 坐标回顾归纳 在求有向线段分
3、点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论变式训练 2 已知点 A(1， 2)，若向量 与 a(2,3) 同向，| |2 ，求点 B 的坐AB AB 13标知识点三 利用共线向量求直线的交点例 3 如图，已知点 A(4,0)，B(4,4) ，C (2,6)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标回顾归纳 本例中的两个方法，在充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面给出了已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法而且更为重要的是给我们提供了求直线与直线交点的向量方案变式训练 3 平面上有 A(2,1)，B(1,4)，D (4，3)三点，点 C
4、 在直线 AB 上，且 ，连接 DC，点 E 在 CD 上，且 ，求 E 点坐标AC 12BC CE 14ED 1两个向量共线条件的表示方法已知 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)(1)当 b0，a b.(2)x1y2x 2y1 0.(3)当 x2y20 时， ，即两向量的相应坐标成比例x1x2 y1y22向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意
5、方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.课时作业一、选择题1已知三点 A(1,1) ，B(0,2)，C (2,0)，若 和 是相反向量，则 D 点坐标是( )AB CD A(1,0) B(1,0)C(1，1) D( 1,1)2若三点 P(1,1)，A(2，4)，B(x，9)共线，则 x 的值为( )A1 B3 C. D5923已知向量 m(7,2k )，n( k13，6) ，且 m n，则 k 的值等于( )A1 B2 C16 D1 或164已知 A、B 、C 三点在一条直线上，且 A(3，6)，B(5,2)，若 C 点的横坐标为6，则 C 点的纵坐标为( )A1
6、3 B9 C9 D13二、填空题5设向量 a(1,2)，b(2,3)若向量 ab 与向量 c(4，7) 共线，则_.6已知向量 (k, 12)， (4,5) ， (10，k)，如果 A、B、C 三点共线，则实数OA OB OC k_.7已知点 A( 1，3) ，B(1,1)，直线 AB 与直线 xy50 交于点 C，则点 C 的坐标为_三、解答题8已知点 A(2,3)、B(5,4) 、C(7,10)，若 (R )，试求 为何值时，点 PAP AB AC 在第三象限内？9线段 AB 的端点坐标分别为 A(1,1)， B(2,0)，且| AC| |CB|，当 A、 B、 C 三2点共线时，求 C
7、点的坐标2.3.4 平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1(1)x 1y2x 2y10 (2) x1x2 y1y22(0，) ( ，1) (1,0)自主探究解 OP OP1 P1P OP1 PP2 ( ) OP1 OP2 OP OP1 OP2 OP (x1，y 1) (x2，y 2)OP OP1 OP2 1 11 1 (11 x1，11 y1) ( 1 x2，1 y2) .(x1 x21 ，y1 y21 )P .(x1 x21 ，y1 y21 )对点讲练例 1 解 方法一 kabk(1,2)(3,2)(k3,2 k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10， 4)，当 kab 与 a3b 平行时，
8、存在唯一实数 ，使 kab(a3b)由(k3,2 k2)(10，4)，Error!解得 k .13当 k 时，k ab 与 a3b 平行，13这时 kab ab (a3b) ，13 13 0) ，即(x，y )(2,3)，AB Error! 又| |2 ，AB 13x 2y 252.4 29 252，2 (0)即 (4,6)点 B 的坐标为(5,4)AB 例 3 解 方法一 由 O，P ，B 三点共线，可设 (4，4 )，OP OB 则 (44,4 )，AP OP OA (2,6)，AC OC OA 由 与 共线，得 (44)64(2)0，AP AC 解之得 ， (3,3)，34 OP 34O
9、B P(3,3) 即为所求方法二 设 P(x，y) ，则 (x，y)，OP 且 (4,4)，又 与 共线，所以 xy.OB OP OB 又 (x4，y )， (2,6)， 与 共线，AP AC AP AC 则得(x 4)6y (2)0，解之得 xy3.P 点坐标为 (3,3)变式训练 3 解 ，2 ，AC 12BC AC BC 2 ，AC CA BC CA ，设 C 点坐标为(x，y)AC BA 则(x2 ，y1)( 3，3)，x5，y2.C(5，2)， ，4 CE 14ED CE ED 4 4 5 ，4 5 .CE ED ED CD ED 设 E 点坐标为(x，y) ，则 4(9，1) 5(
10、4 x，3y)Error! ，Error!.E 点坐标为 .( 165， 115)课时作业1C 2.B 3.D4C 设 C 点坐标为(6，y)，则 (8,8)， (3，y 6) AB AC A、B、C 三点共线， ，y9.3 8 y 6852解析 ab (2,23)，c(4，7) ， ，2. 2 4 2 3 762 或 11解析 (k4,7)， (6，k5)BA BC A、B、C 三点共线，(k 4)(k5)670.解得 k2 或 k11.7(2,3)解析 设 (2,4)(2，4)AC AB (21,4 3)OC OA AC 把 C 点坐标(21,4 3)代入直线 xy 50.解得 .C 点坐
11、标为(2,3)328解 设点 P 的坐标为(x，y)，则 (x，y) (2,3) (x 2， y3) ，AP (5,4) (2,3) (7,10)(2,3)AB AC (3,1)(5,7)(35 ，1 7) ，AP AB AC (x2 ，y3)(3 5 ，1 7)Error! 则Error!由点 P 在第三象限内，得Error! 1.当 1 时，点 P 在第三象限内9解 设 C(x，y )，当 C 为内分点时， .AC 2CB (x1 ，y1) (2x，y)2Error! ，Error!C( 3， 1)2 2当 C 为外分点时， .AC 2CB (x1 ，y1) (2 x，y)2Error! ，Error!. C( 3， 1)2 2
