1、课时训练 17 二元一次不等式( 组)与平面区域一、二元一次不等式(组) 表示的平面区域1.点 A(-2,b)不在平面区域 2x-3y+50 内,则 b 的取值范围是 ( )A.b B.b-9C.b1, b .2.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )A. B.C. D.答案:C解析:取点(0,0)检验即可,或直接依据图象写出不等式组.3.不等式组 表示的平面区域是 ( )A.矩形 B.三角形C.直角梯形 D.等腰梯形答案:D解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形 .4.已知点 P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式 2x+by+10 表示的平面区域内,则 b 的取值范围是
2、. 答案:解析:点 P(1,-2)关于原点的对称点为点 P(-1,2).由题意知解得 0 时,有 点( x,y)在一角形区域内( 含边界);当 y0 时,由对称性得出,点(x,y)也在一角形区域内(含边界),综上,x|y|2x 表示的平面区域如图阴影部分 .二、不等式组表示的平面区域的面积6.若不等式组 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 的值是( )A. B. C. D.答案:A解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 ABC 所示.由 得 A(1,1),又 B(0,4),C , SABC= 1= .设 y=kx+ 与 3x+y=4 的交点为 D,则由 SBC
3、D= SABC= 知 xD= , yD= . =k ,解得 k= .7.不等式组 表示的平面区域的面积是( )A.2 B.4 C.6 D.8答案:B解析:不等式组 等价于 (1)或 (2)分别作出以上两个不等式组表示的区域,可以发现不等式组(1)表示一个点 A,不等式组(2) 表示的平面区域如图阴影部分所示,从而它们的并集为不等式组(2)表示的区域,其中点 A(0,1),B(-2,3),C(-2,-1),于是其面积为 S= 2|3-(-1)|=4.8.在平面直角坐标系中,不等式组 表示的平面区域的面积是 . 答案:4解析:不等式组表示的平面区域是三角形 ,如图所示,则该三角形的面积是 42=4
4、.三、用二元一次不等式组表示实际问题9.某公司从银行贷款不足 250 万元,分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取 20%的利润 ,乙厂可以从投入的金额中获取 25%的利润,如果该公司计划从这笔贷款中至少获利 60 万元,请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.解:设甲、乙两个工厂分配到的贷款金额分别为 x,y(单位:万元),根据题意,可得不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.(建议用时:30 分钟 )1.下面四个点中,在平面区域 内的点是 ( )A.(0,0) B.(0,2) C.(-3,2) D.(-2,0)答案
5、:B解析:可以验证仅有点(0,2)的坐标是不等式组的解,则点(0,2)在该不等式组表示的平面区域内.2.已知点(a,2a-1), 既在直线 y=3x-6 的上方,又在 y 轴的右侧 ,则 a 的取值范围是( )A.(2,+) B.(5,+)C.(0,2) D.(0,5)答案:D解析: (a,2a-1)在直线 y=3x-6 的上方, 3a-6-(2a-1)0. 0a5.3.由直线 y=x,y=-x 及 x=1 围成一个三角形区域,则表示该区域的不等式组是( )A. B.C. D.答案:A解析:由已知三条直线围成的三角形区域如图中阴影部分所示,从而代入 点检验知 A 正确.4.能正确表示满足不等式
6、(x-y)( x+2y-2)0 的点所在的区域的是( )答案:A解析: 点(0,0)在( x-y)(x+2y-2)0 表示的平面区域内, 可排除 C,D.又 点(- 5,0)也在(x-y)( x+2y-2)0 表示的平面区域内, 排除 B.5.直线 y=kx+1 将不等式组 表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实数 k 的值为( )A.1 B.-1C.0 D.-2答案:C解析:不等式组表示的区域如图中阴影部分所示 ,ABC 是等腰直角三角形,且 BCx 轴,点 A(-1,1).直线 y=kx+1 经过点(0,1), 要使直线将 ABC 等分,则 k=0.6.如果点(5,b) 在两条平行直线
7、6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值为 . 答案:4解析:由已知得 解得 b5,又 bZ, b=4.7.不等式组 表示面积为 1 的直角三角形区域,则 n= . 答案:4解析:由已知图形为直角三角形 , k=1.从而区域如图所示,则点 A(1,1),C(1,n-1),B , SABC= (n-2) =1, n=4 或 n=0(舍去) .8.已知 D 是由不等式组 所确定的平面区域,则圆 x2+y2=4 在区域 D 内的弧长为 .答案:解析:作出区域 D 及圆 x2+y2=4,如图所示,图中阴影部分所在圆心角 =+ 所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别为
8、,- ,即 tan = ,tan = ,tan =tan(+)= =1,故 = ,从而弧长l=R= 2= .9.ABC 中,顶点 A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出 ABC 区域所表示的二元一次不等式组.解:如图:AB,BC,CA 三边所在直线的方程分别为 x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为10.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 相交于 P,Q 两点,且 P,Q 关于直线 x+y=0 对称,则不等式组表示的平面区域的面积是多少?解:P,Q 关于直线 x+y=0 对称,故 PQ 与直线 x+y=0 垂直,直线 PQ 即是直线 y=kx+1,故 k=1.又线段 PQ 为圆 x2+y2+kx+my-4=0 的一条弦,故该圆的圆心在线段 PQ 的垂直平分线上,即在直线 x+y=0 上,又圆心在 上, m=-k=-1, 不等式组为它表示的平面区域如图所示,故面积为 .
