1、课时训练 11 等比数列一、等比数列中基本量的运算1.已知a n是等比数列,a 2=2,a5= ,则公比 q 等于 ( )A.- B.-2 C.2 D.答案:D解析: =q3= , q= .2.已知等比数列a n中,a 1=32,公比 q=- ,则 a6等于( )A.1 B.-1 C.2 D.答案:B解析:由题知 a6=a1q5=32 =-1,故选 B.3.(2015 福建宁德五校联考,7)已知等比数列a n中, =2,a4=8,则 a6=( )A.31 B.32 C.63 D.64答案:B解析:设等比数列a n的公比为 q,由 =2,a4=8,得 解得 所以 a6=a1q5=25=32.故选
2、 B.4.(2015 山东潍坊四县联考,3)已知等差数列a n的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a2等于( )A.-4 B.-6 C.-8 D.-10答案:B解析: 等差数列a n的公差为 2,a1,a3,a4成等比数列, (a1+4)2=a1(a1+6), a1=-8, a2=-6.故选 B.5.(2015 江西吉安联考,2)已知等比数列a n的公比 q=- ,则 等于( )A.-3 B.- C.3 D.答案:A解析: 等比数列a n的公比 q=- , =-3.故选 A.二、等比中项及应用6.2+ 和 2- 的等比中项是 . 答案: 1解析:设 A 为等比中项,则 A2=(2
3、+ )(2- )=1, A=1.7.已知等比数列a n的各项均为正数,它的前三项依次为 1,a+1,2a+5,则数列a n的通项公式 an= .答案:3 n-1解析:由题意,知(a+1) 2=2a+5, a2=4. an的各项均为正数, a+10 且 2a+50. a=2. a+1=3. q= =3. an=3n-1.三、等比数列的判定8.给出下列数列: 2,2,4,8,16,32,; 在数列a n中, =2, =2; 常数列 c,c,c,c,.其中等比数列的个数为 . 答案:0解析: 不是等比数列,因为 ; 不一定是等比数列,因为不知道 的值,即使 =2,数列a n也未必是等比数列; 不一定
4、是等比数列,当 c=0 时,数列不是等比数列.故填 0.9.设a n是公比为 q 的等比数列,设 q1,证明数列a n+1不是等比数列.证明:假设a n+1是等比数列,则对任意的 kN *,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,因为 a10,所以 2qk=qk-1+qk+1.因为 q0,所以 q2-2q+1=0,解得 q=1,这与已知矛盾.所以假设不成立,故a n+1不是等比数列 .(建议用时:30 分钟 )1.已知在等比数列a n中,a 1+a3=10,a
5、4+a6= ,则该等比数列的公比为( )A. B. C.2 D.8答案:B解析:因为(a 1+a3)q3=a4+a6,所以 q3= ,即 q= ,选 B.2.若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为( )A.3 B.4 C.5 D.6答案:B解析: a1= ,an= ,q= , ,则 n=4.3.已知等比数列a n中,a 1=3,8 =an+1an+2,则 a3= ( )A.48 B.12 C.6 D.2答案:B解析:设数列a n的公比为 q,则由 8 =an+1an+2,得 8 =a2a3,即 8 q3, q=2. a3=a1q2=34=12.4.如果-1,a,b,c,-
6、9 成等比数列, 那么( )A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9答案:B解析: -1,a,b,c,-9 成等比数列, b2=(-1)(-9)=9.又 a2=-1b=-b, b=-3.又 b2=ac, a 与 c 同号. ac=9.5.已知 1 既是 a2与 b2的等比中项,又是 的等差中项,则 的值是( )A.1 或 B.1 或-C.1 或 D.1 或-答案:D解析:由题意得,a 2b2=(ab)2=1, =2,又 , 其值为 1 或- .6.设 a1=2,数列1+2a n是公比为 2 的等比数列,则 a6等于 . 答案:79.5解析:
7、1+2an=(1+2a1)2n-1, 1+2a6=525, a6= =79.5.7.已知等差数列a n的公差 d0,它的第 1,5,17 项顺次成等比数列 ,则这个等比数列的公比是 .答案:3解析:由已知 =a1a17, (a1+4d)2=a1(a1+16d). a1=2d. 公比 q= =3.8.某林场的树木每年以 25%的增长率增长 ,则第 10 年末的树木总量是今年的 倍. 答案:1.25 9解析:设这个林场今年的树木总量是 m,第 n 年末的树木总量为 an,则 an+1=an+an25%=1.25an.则 =1.25.则数列a n是公比 q=1.25 的等比数列 .则 a10=a1q9=1.259m.所以 =1.259.9.等比数列的前三项和为 168,a2-a5=42,求 a5,a7的等比中项.解:由题意知 得 q(1-q)= , q= . a1= =96.又 a6=a1q5, a6=96 =3, a5,a7的等比中项 a6=3.10.已知数列a n满足 a1= ,且 an+1= an+ ,nN *.(1)求证: 是等比数列;(2)求数列a n的通项公式.(1)证明: an+1= an+ , an+1- an+ . . 是首项为 ,公比为 的等比数列.(2)解: an- , an= .
