1、1.3 函数的基本性质【入门向导】 数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近 150 年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来 100 年能源结构的变化趋势作出预测由图象可以看出近 150 年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到 1940 年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从 1880 年左右开始消耗石油，到 1990 年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从 1900 年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从 1980 年左右开始被应用，所占比例逐渐增大太阳能呢？从图象可以看出 100 年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占
2、比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1这个区间可以是整个定义域如 yx 在整个定义域( ，)上是单调递增的，yx 在整个定义域(，)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质2这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如yx 22x1 在整个定义域 (，)上不具有单调性，但是在(，1 上是减函数，在(1， ) 上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质3有的函数无单调性如函数 yError!它的定义域是(，)，但无单调性可言，又如 yx 21，x 0,1
3、,2 ，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法严格按照单调性定义进行证明主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中 x1，x 2 的选取，选取 x1，x 2 时必须注意如下三点：x 1，x 2 取值的任意性，即“任意取 x1，x 2”中， “任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代 x1，x 2；x 1 与 x2 有大小，一般规定 x10.12 342f(x 1)f(x 2)0 时，x 0，f(x)(x) 22(x) 3(x 22x3)f( x)所以 f(x)是奇函数剖析 尽管对于定义域内的每一个不为零的 x
4、，都有 f(x) f (x)成立，但当 x0 时，f(0)3f(0)，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 .断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例 1 证明：函数 f(x) 在定义域上是减函数x证明 f(x) 的定义域为0，) ，x设 0x 10，且 f(x2)f(x 1)( )( ) x2 x1 x1 x2 ，x1 x2x1 x2x1 x2 x1 x2x1 x2x 1x 20，x1 x2f(x 2)f(x 1)0，判断 f(x)在(0，) 上的单调性分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用解 设 x1，x 2(0，)且 x10.x1x2 x1x2f(x
5、 1)f(x2)f(x)在(0，)上是减函数二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性例 3 求函数 f(x) (a0)的单调区间 x2 ax分析 此函数可化为 f(x)x ，可根据 y 的单调性判断ax 1x解 f(x ) x . x2 ax axa0，y 的单调递减区间是(，0) 和(0，) ，axyx 在 R 上单调递减，f(x) (a0)的单调区间是( ，0)和(0，) x2 ax点评 运用已知的结论，直接得到函数的单调性如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：函数 yf(x )与函数 yf(x) 在相对应的区间上的单调性相
6、反当 f(x)恒为正或恒为负时，函数 y 与 yf (x)在相对应的区间上的单调性相反1fx在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等三、图象法例 4 求函数 yx 22|x|3 的单调区间分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出解 当 x0 时，y x 22x3(x1) 24；当 x0，函数 f(x)x 3ax 是区间1，) 上的单调函数，求实数 a 的取值范围解 任取 x1，x 21，)，且 x10.y f(x2)f( x1)(x ax 2)( x ax 1)32 31(x 2 x1)(x x 1x2x a)21 21x 13.21 2显然不存在常数 a，使(x
7、x 1x2x a) 恒为负值21 2又 f(x)在1，)上是单调函数，必有一个常数 a，使 x x 1x2x a 恒为正数，21 2即 x x 1x2x a.21 2当 x1，x 21，)时，x x 1x2x 3，21 2a3.此时， x x2x 10，y 0，即函数 f(x)在1，)上是增函数，a 的取值范围是(0,3四、利用函数单调性求函数的最值例 8 已知函数 f(x) ，x1，) x2 2x ax(1)当 a4 时，求 f(x)的最小值；(2)当 a 时，求 f(x)的最小值；12(3)若 a 为正常数，求 f(x)的最小值解 (1)当 a4 时，f (x)x 2，易知，f(x)在1,
8、2上是减函数，在2，) 上是增4x函数，f(x) minf(2)6.(2)当 a 时，f (x)x 2.12 12x易知，f(x) 在1，)上为增函数f(x) minf(1) .72(3)函数 f(x)x 2 在(0， 上是减函数，ax a在 ，) 上是增函数a若 1，即 a1 时，f(x )在区间1，) 上先减后增，af(x) minf( )2 2.a a若 1，即 0c.求证： .a1 a b1 b c1 c证明 设 f(x) (x0)，x1 x设 0c，f(ab)f(c )，即 .a b1 a b c1 c又 f(a)f(b) a1 a b1 b a1 a b b1 a b ，a b1
9、a b .a1 a b1 b c1 c点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式判断函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考一、定义法首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用 f(x)f( x)(符合为偶函数)或 f(x )f (x)(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数例 10 判断函数 f(x) 的奇偶性4 x2|x 3| 3解 要使函数有意义，则Error!解得2x2 且 x0，此函数的定义域2,0)(0,2关于原点
10、对称，且满足 x 30，则函数 f(x) ，4 x2|x 3| 3 4 x2xf(x) f(x)，4 x2 x 4 x2x故函数 f(x) 是奇函数4 x2|x 3| 3点评 判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件二、等价转化法利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助 f(x)f(x) 0 来解决，方法比较简便三、图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称例 11 判断函数 f(x)|x 2|x2| 的奇偶性解 f(x )|x2| x2|Error!其图象(如图) 关于 y 轴对称，该函数为偶函数点评 利用图象法(数形结合
11、法 )解题，形象直观、清晰可见同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会一道课本习题的拓展证明：(1)若 f(x)axb，则 f( ) ；x1 x22 fx1 fx22(2)若 f(x)x 2axb，则 f( ) .x1 x22 fx1 fx22探究 为自变量 x1、x 2 中点， 对应的函数值 f( )为“中点的纵坐标”x1 x22 x1 x22 x1 x22而 f(x1)f(x 2)为 x1、x 2 对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点” f(x)12axb 的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点” ，即有 f( )x1 x22.而 f(x)x 2ax
12、 b 的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到fx1 fx22“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点” ，即有 f( ) .x1 x22 fx1 fx22拓展 在给定区间内，若函数 f(x)的图象向上凸出，则函数 f(x)在该区间上为凸函数，结合图象易得到 f( ) ；在给定区间内，若函数 f(x)的图象向下凹进，则函x1 x22 fx1 fx22数 f(x)在该区间上为凹函数，结合图象易得到 f( ) .这一性质，可以称为x1 x22 fx1 fx22函数的凹凸性活用函数的基本性质掌握函数与方程的互化，构造函数求值某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘隐含因素
13、，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决例 12 已知实数 x，y 满足(x )(y )1，求 xy 的值x2 1 y2 1解 由已知条件可得x y .x2 1 y2 1构造函数 f(t)t .t2 1显然 f(t)t 是 R 上递增函数t2 1因为 f(x)f(y )，所以 xy，即 xy0.例 13 已知(x2y) 5x 52x2y0，求 xy 的值解 已知方程化为(x2y) 5( x2y) (x 5x)由式的结构，构造函数 f(t)t 5t.显然，f(t) 是奇函数，且在 R 上单调递增由于式可写成 f(x2y )f (x
14、)f (x)，所以有 x2yx ，即 xy0.三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例 14 设奇函数 f(x)的定义域为5,5若当 x0,5时，f(x) 的图象如图所示，则不等式 f(x)1 时，区间 t，t1在对称轴的右侧，f(x) 在此区间上是增函数所以此时 g(t) f(t)t 22t2.综上得 g(t)Error!三、动函数在定区间上的最值例 19 函数 f(x)x 2ax 3 在区间 2,2上的最大值为 g(a)，求 g(a)的表达式解 f(x )(x )23 ，a2 a24其对称轴为 x .a2当对称轴 x 在区间2,2的右侧，a2即 2，a4 时，f(x )在此区间上是减函数a2所以此时 g(a)f( 2)72a.当对称轴 x 在区间2,2内时，如果2 0，a2 a2即 0a4 时，x2 距离对称轴较远，所以此时 f(x)在 x2 时取到最大值，为 g(a)f(2)72a；
