1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点自主学习1能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数2理解函数的零点与方程根的关系3掌握函数零点的存在性的判定方法1对于函数 yf( x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x) 的_2函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的_，也就是函数 yf(x) 的图象与 x轴的交点的_3方程 f(x)0 有实数根函数 yf (x)的图象与 x 轴有_函数 yf(x) 有_4函数零点的存在性的判定方法如果函数 yf(x )在a ，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)_0，那么 y
2、f( x)在区间( a，b) 内有零点，即存在 c( a，b)，使得 f(c)_0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根对点讲练求函数的零点【例 1】 求下列函数的零点：(1)f(x)x 22x3； (2)f(x)x 41； (3)f(x)x 34x.规律方法 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解变式迁移 1 若函数 f(x)x 2axb 的零点是 2 和4，求 a，b 的值判断函数在某个区间内是否有零点【例 2】 (1)函数 f(x)ln x 的零点所在的大致区间是( )2xA(
3、1,2) B(2,3) C. 和(3,4) D(e，)(1，1e)(2)f(x)ln x 在 x0 上共有 _个零点2x规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性变式迁移 2 方程 x23x 10 在区间(2,3)内根的个数为( )A0 B1 C2 D不确定已知函数零点的特征，求参数范围【例 3】 若函数 f(x)ax 2x1 仅有一个零点，求实数 a 的取值范围变式迁移 3 已知在函数 f(x)mx 23x1
4、 的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的范围1函数 f(x)的零点就是方程 f(x)0 的根，但不能将它们完全等同如函数 f(x)x 24x4 只有一个零点，但方程 f(x)0 有两个相等实根2并不是所有的函数都有零点，即使在区间a，b 上有 f(a)f(b)0，也不能说明函数yf (x)在区间 (a，b)上无零点，如二次函数 yx 23x2 在0,3 上满足 f(0)f(3)0，但函数f(x)在区间(0,3) 上有零点 1 和 2.3函数的零点是实数而不是坐标轴上的点课时作业一、选择题1若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4) ，(1,5)内，那么下列说法中错误的是
5、( )A函数 f(x)在(1,2)或2,3)内有零点B函数 f(x)在 (3,5)内无零点C函数 f(x)在 (2,5)内有零点D函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点2函数 f(x)log 3x82x 的零点一定位于区间( )A(5,6) B(3,4) C(2,3) D(1,2)3函数 f(x)ax 2bx c ，若 f(1)0，f(2)0，f(2)f(3)0 上是增函数，且 f(2)f(3)0， f(x)的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当94m0 即可，解得 00.又 f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)3C 若 a0，则 f(x)bxc
6、是一次函数，由 f(1)f(2)0，与已知矛盾故 f(x)在(1,2) 上有且仅有一个零点4D 因为 f(x)是奇函数，则 f(0)0，又在(0，)内的零点有 1 003 个，所以 f(x)在( ， 0)内的零点有 1 003 个因此 f(x)的零点共有 1 0031 00312 007 个5D 考查下列各种图象上面各种函数 yf( x)在(0,4)内仅有一个零点，但是(1)中，f(0)f(4)0，(2)中 f(0)f(4)0 ，方程 ax2bxc0 有两个不等实根，即函数 f(x)有 2 个零点70，12解析 由 2ab0，得 b2a，g(x) bx 2ax2ax 2ax，令 g(x)0，得
7、 x0 或 x ，12g(x)bx 2ax 的零点为 0， .128(1，)解析 令 f(x)2ax 2x 1， a0 时不符合题意；a0 且 0 时，解得 a ，18此时方程为 x2x 10，也不合题意；14只能 f(0)f(1)1.9解 (1)方法一 f (1)200，f(1)f(8)0，f(1) f(2)log 2210，f(3)log 2(32)3log 2830，f(1)f(3)0.故 f(x)log 2(x 2)x 在1,3 上存在零点10解 (1)1 和3 是函数 f(x)的两个零点，1 和3 是方程 x2( k2)xk 23k50 的两个实数根则Error!解得 k2.(2)若函数的两个零点为 和 ，则 和 是方程 x2( k 2)xk 23k50 的两根，Error!则Error! 2 2 在区间 上的最大值是 18，最小值是 ， 4， 43 509即 2 2 的取值范围为 .509，18
