1、3.3.2 简单的线性规划问题 (二)自主学习知识梳理1用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等) 2在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小3线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来自主探究结合下面的具体
2、问题想一想，在什么情况下，目标函数的最优解可能有无数多个？在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数 zxay 取得最小值的最优解有无数个，则 a 的一个可能值为( )A3 B3 C1 D1对点讲练知识点一 实际应用中的最优解问题例 1 某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)
3、怎样安排生产可使所得利润最大？总结 利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证变式训练 1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于 15 吨，已知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨，电力 4 千瓦，劳动力 3 个(按工作日计算 )；生产乙产品 1 吨需煤 4 吨，电力 5 千瓦，劳动力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12 万元；但每天用煤量不得超过 300 吨，电力不得超过 200 千瓦，劳动力只有 300 个，当每天生产甲产品_吨，乙产品_吨时，既能保证完成生产任务，又能使工
4、厂每天的利润最大知识点二 实际应用中的最优整数解问题例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规 模 类 型钢 板 类 型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？总结 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等) 而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，很可
5、能是许多个，应具体情况具体分析变式训练 2 某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件Error!则z10x10y 的最大值是_1解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，未知数 x、y 等是否有限制，如 x、y 为正整数、非负数等；(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范2当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数) ，则它不是最优整数解，此时必须在可行域内该点
6、的附近调整为整点常用调整方法有：(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线 l，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解. 课时作业一、选择题1若实数 x，y 满足Error!则 zx2y 的最小值是( )A0 B. C1 D2122.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) ，若使目标函数 zaxy (a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为( )A. B.14 35C
7、4 D.533某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得230.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A36 万元 B31.2 万元 C30.4 万元 D24 万元4.如图所示，目标函数 zkxy 的可行域为四边形 OABC，仅点 B(3,2)是目标函数的最优解，则 k 的取值范围为( )A.(23，2)B.(1，53)C.( 2， 23)D.( 3， 43)题 号 1 2 3 4答
8、 案二、填空题5某公司租赁甲、乙两种设备生产 A，B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品5 件和 B 类产品 10 件，乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件已知设备甲每天的租赁费为 200 元，设备乙每天的租赁费为 300 元，现该公司至少要生产 A 类产品 50件，B 类产品 140 件，所需租赁费最少为 _元6已知平面区域 D 由以 A(1,3)、B(5,2) 、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成若在区域 D 上有无穷多个点(x，y) 可使目标函数 zxmy 取得最小值，则 m_.三、解答题7某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最
9、大盈利率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为 30%和 10%，投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？8某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料分别为 A、B两种规格的金属板，每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用一张 A 种规格的金属板可造甲种产品3 个，乙种产品 5 个；用一张 B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各 6 个问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？33.2 简单的线性规划问题 (二)自主探
10、究A ，a3.1a 2 14 1 13结论：当目标函数对应的直线经过可行域的一条边界时，最优解可能有无数多个对点讲练例 1 解 由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个) 0.1 2 80书橱(个) 0.2 1 120(1)设只生产书桌 x 个，可获得利润 z 元，则Error!Error!x300.所以当 x300 时，z max80 30024 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，获得利润 24 000 元(2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元，则Error! Error!y450.所以当 y450 时，z max120 4505
11、4 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z 元，则Error!Error!z80x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线 l：80x120y0，即直线 l：2x3y0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，此时 z80x120y取得最大值由Error!解得点 M 的坐标为(100,400)所以当 x100，y400 时，zmax8010012040056 000(元)因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利
12、润最大变式训练 1 20 24解析 设每天生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，总利润为 S 万元，依题意约束条件为：Error!目标函数为 S7x12y从图中可以看出，当直线 S7x12y 经过点 A 时，直线的纵截距最大，所以 S 也取最大值解方程组Error!得 A(20,24)，故当 x20，y 24 时，S max7201224428(万元) 例 2 解 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张Error!.作出可行域(如图)：( 阴影部分)目标函数为 zxy作出一组平行直线 xyt，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x3y27 和直线 2xy15 的交点 A
13、，直线方程为 xy .(185，395) 575由于 和 都不是整数，而最优解(x，y) 中，x，y 必须都是整数，所以可行域内点185 395不是最优解(185，395)经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 xy12，经过的整点是 B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张两种方法都最少要截两种钢板共 12 张变式训练 2 90解析 该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于 x，yN *，计算区域内与点 最近(1
14、12，92)的整点为(5,4)，当 x5，y4 时，z 取得最大值为 90.课时作业1A2B 由 yax z 知当ak AC时，最优解有无穷多个k AC ，a .35 353B 设投资甲项目 x 万元，投资乙项目 y 万元，可获得利润为 z 万元，则Error!z0.4x 0.6y.由图象知，目标函数 z0.4x0.6y 在 A 点取得最大值y max 0.4240.63631.2(万元)4C ykxz.若 k0，则目标函数的最优解是点 A(4,0)或点 C(0，4)，不符合题意k0，则 z 的最小值对应截距的最小值，可知 m1，满足题意；若 m0，当 x4，y 6 时，z 取得最大值答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大8解 设 A、B 两种金属板各取 x 张、y 张，用料面积为 z，则约束条件为Error!目标函数 z2x3y .作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图所示z2x 3y 变为 y x ，得斜率为 ，在 y 轴上的截距为 .23 z3 23 z3当直线 z2x3y 过可行域上的点 M 时，截距最小，z 最小解方程组Error! 得 M 点的坐标为(5,5)此时 zmin253525(m 2)因此，两种金属板各取 5 张时，用料面积最省
