1、第六章 圆第 26 课时 与圆有关的位置关系江苏 20132015 中考真题精选命题点 1 点、直线与圆有关的位置关系（近 3 年 39 套卷，2015 年考查 1 次，2014年考查 1 次，2013 年考查 1 次）（2013 常州 6 题 2 分）已知O 的半径是 6，点 O 到直线 l 的距离为 5，则直线 l 与O 的位置关系是 （ ）A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断命题点 2 切线的性质与判定（近 3 年 39 套卷，2015 年考查 9 次，2014 年考查 10 次，2013 年考查 8 次）命题解读 切线的性质与判定近 3 年 39 套试题共考查 27 次，
2、题型以解答题为主，主要结合特殊三角形的性质，勾股定理，相似三角形、全等三角形、锐角三角函数考查切线的判定及相关计算.1. （2015 南京 6 题 2 分）如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=5,AD 、AB、BC 分别与O 相切于 E、F、G 三点 ,过点 D 作O 的切线交 BC 于点 M,切点为 N,则 DM 的长为 （ ）A. B. C. D. 213924135第 1 题图 第 2 题图2. （ 2014 无锡 8 题 3 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为 D，CD 与AB 的延长线交于点 C，A=30，给出下面 3 个结论：AD= CD； BD=BC
3、；AB=2BC，其中正确结论的个数是 （ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 03. （2015 镇江 10 题 2 分）如图， AB 是O 的直径，OA=1,AC 是O 的弦，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D.若 BD -1，则ACD_ .第 3 题图4. （2015 扬州 25 题 10 分）如图，已知O 的直径 AB=12 cm,AC 是O 的弦，过点 C 作O 的切线交 BA 的延长线于点 P，连接 BC.（1）求证：PCA=B; （2）已知P=40，点 Q 在优弧 ABC 上，从点 A 开始逆时针运动到点 C 停止(点 Q 与点C 不重合).当ABQ 与ABC 的面积相等
4、时，求动点 Q 所经过的弧长.第 4 题图5. （2015 泰州 24 题 10 分）如图,在ABC 中,AB=AC ,以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点D,与 CA 的延长线相交于点 E,过点 D 作 DFAC 于点 F.（1）试说明 DF 是O 的切线；（2）若 AC=3AE,求 tanC.第 5 题图6. （2014 扬州 25 题 10 分）如图，O 与 RtABC 的斜边 AB 相切于点 D，与直角边 AC相交于 E、F 两点，连接 DE，已知B30，O 的半径为 12，弧 DE 的长度为 4.（1）求证：DEBC；（2）若 AFCE ，求线段 BC 的长度.第 6 题图7.
5、（ 2013 苏州 27 题 8 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 是边 AB 上一点，以BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长交 BC 的延长线于点 F.（1）证：BD=BF；（2）若 CF=1,cosB= ,求O 的半径.35第 7 题图8. （2014 淮安 26 题 10 分）如图，在 ABC 中，AC=BC，AB 是C 的切线，切点为 D，直线 AC 交C 于点 E、F，且 CF= AC.12（1） 求ACB 的度数；（2）若 AC=8，求 ABF 的面积.第 8 题图9. （2014 镇江 26 题 8 分）如图，O 的直径 AC 与弦 B
6、D 相交于点 F，点 E 是 DB 延长线上的一点，EAB= ADB.（1）求证：EA 是O 的切线；（2）已知点 B 是 EF 的中点，求证：以 A、B、C 为顶点的三角形与AEF 相似；（3）已知 AF=4，CF=2.在（ 2）条件下，求 AE 的长.第 9 题图【答案】命题点 1 点、直线与圆有关的位置关系C【解析】O 的半径为 6，圆心 O 到直线 l 的距离为 5，65，即：dr，直线 l与O 的位置关系是相交.故选 C.命题点 2 切线的性质与判定1. A【解析】连接 OE、OF、OG，根据切线的性质可知：OE AD，OFAB，OGBC，可证四边形 AEOF 和四边形 BFOG 都
7、是正方形，则 OE=OF=OG=AF=BF=AE=BG=2,则DE=CG=3.可设 MN=x，根据切线长定理，得 GM=MN=x， DE=DN=3，所以DM=x+3，CM=3-x .在CDM 中，由 DM2=CD2+CM2 得（3+x） 2=42+(3-x)2，解得 x= ，所43以 DM=3+ = .431第 1 题解图2. A 【解析 】如解图，连接 OD，CD 是O 的切线，CDOD，ODC =90，又A=30，ABD =60， OBD 是等边三角形， DOB=ABD=60，AB=2OB=2OD=2BD.C =BDC=30 ，BD =BC，成立；AB=2BC，成立；A=C 30 ，DA=
8、DC，成立；综上所述，均成立，故答案选：A.s 第 2 题解图 第 3 题解图3. 112.5【解析】本题考查了与圆的切线有关的角度的计算，连接 OC，BC ，CD 是O的切线，OCCD，1+2=90，OC= OB，2=3，AB 是O 的直径，A+3=90，1=A，又D=D ，DCBDAC， ，CD 2=CBDBDA=( -1)( -1+2)=1，CD =1，OC= CD=1，COD =45，2OA= OC， A=OCA=22.5, ACD=90+22.5=112.5.4. （1） 【思路分析】看到圆的切线就得连接过切点的半径，利用同圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角以及同角的余角相等即可证
9、出结论.证明：如解图，连接 OC,PC 是O 的切线，OC 为半径，PCO=90,PCA+ OCA=90.AB 是O 的直径 ,ACB=90.OCB+OCA=90,OCB=PCA.OC=OB , OCB=B.PCA= B.（4 分）第 4 题解图（2） 【思路分析】要求弧长，就得根据面积相等，求出动点变化过程中绕过的圆心角，再根据弧长公式进行计算即可.解：P=40,COP=50，S ABQ=S ABC，再根据圆的对称性，AOQ =50，动点 Q 所经过的弧长 = ，（6 分）506183或AOQ =130，动点 Q 所经过的弧长 = ，（8 分）06183或BOQ =50，且点 Q 在 上，B
10、C动点 Q 所经过的弧长 = .（10 分）2306185. （1） 【思路分析】连接 AD、OD，根据三角形的中位线定理，得出 ODAC，证得ODDF ，从而证得 DF 是O 的切线.证明:如解图,连接 AD,OD,AB 是直径，ADB =90，AB=AC，BD= DC，BO= OA，ODAC，DFAC，DFOD，又OD 为O 的半径.DF 是O 的切线. （5分）第 5 题解图（2） 【思路分析】连接 DA， DE.先证明DEC 是等腰三角形 .设 AE=a，则AC=3a，EC=4a，根据等腰三角形的性质可以计算出 EF=FC=2a，则 AF=a，再根据相似三角形的性质，得 AD= a，根
11、据勾股定理得 CD= = a，然后在 RtADC32ACD6中，即可求得 tanC 的值解：如解图，连接 DE.E=B，又B=C， E=C ，DE =DC，DFAC，EF =FC，设 AE=a，则 AC=3a，EC=4 a，EF=FC=2a， AF=a，易证ADFACD，AD 2=AFAC，则 AD= a,（73分）在 Rt ADC 中， CD= = a,2ACD6tanC= = = .（10 分）D36a6. （ 1） 【思路分析 】要证明 DEBC，可证明EDA =B，由 的长度为 4，可以求得ADEDOE 的度数，再根据切线的性质可求得EDA 的度数，即可证明结论.证明：如解图，连接 O
12、D、OE，AB 是O 的切线，ODAB，ODA 90，又弧 DE 的长度为 4,4= ,1280nn=60,ODE 是等边三角形， （3 分）ODE 60,EDA30，BEDA ，DEBC.（5分）第 6 题解图 第 6 题解图（2） 【思路分析】根据 90的圆周角所对的弦是直径，可以求得 EF 的长度，借用勾股定理求得 AE 与 CF 的长度，进而运用三角函数值列等式，即可得到答案.解：如解图,连接 FD，DEBC，DEFC90,FD 是O 的直径，易得EFD30，FD24，EF12 ，3又EDA30，DE12， （7 分）来源:gkstk.ComAE4 ，来源:学优高考网3又AFCE，AE
13、CF，CAAE+EF+CF20 ，3又tanABC=tan30= = ,ACBBC60.（10 分）7. （1） 【思路分析】连接 OE，由 AC 为O 的切线，利用切线的性质得到 OEAC ，再由BCAC，得到 OE 与 BC 平行，根据 O 为 DB 的中点，得到 E 为 DF 的中点，即 OE 为DBF 的中位线，利用中位线定理得到 OE 为 BF 的一半，再由 OE 为 DB 的一半，等量代换即可得证.证明：如解图，连接 OE，AC 与O 相切，OEAC，BCAC，OEBC，（2 分）又O 为 DB 的中点，E 为 DF 的中点，即 OE 为 DBF 的中位线，OE= BF，12又OE
14、= BD，则 BD=BF.（4 分）第 7 题解图（2） 【思路分析】在 RtABC 中，由 cosB 的值，设 BC=3x，得到 AB=5x，由 BC+CF 表示出 BF，即为 BD 的长，再由 OE 为 BF 的一半，表示出 OE，由 AB-OB 表示出 AO，在RtAOE 中，利用两直线平行同位角相等得到AOE=B，得到 cosAOE=cosB，根据cosB 的值，利用锐角三角函数定义列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可求出圆的半径长.解：设 BC=3x，根据题意得：AB=5x，又CF=1，BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，BD=3x+1，OE= OB= ，OA=
15、AB-OB =5x- = ，3123127OEBF，AOE=B，（6分）cosAOE=cosB，即 = ，即 = ，OEA35127x35解得：x= ，43则O 的半径为 = .（812x分）8. （1） 【思路分析】连接 DC，根据 AB 是C 的切线，所以 CDAB，根据 CD= AC，12得出A=30 ，因为 AC=BC，从而求得ACB 的度数 .解：如解图，连接 CD，AB 是C 的切线，CDAB ，CF= AC，CF= CECD，12CD= AC，（2 分）A=30，AC=BC，A= ABC =30,ACB=120.（5 分）来源:学优高考网 gkstk第 8 题解图（2） 【思路分
16、析】通过ACDBCF 求得AFB =90，已知 AC=8，根据已知求得AF=12，由于A=30,根据三角函数求得 BF 的长，即可求得三角形的面积.解：A=30，AC=BC，ABC=30 ，BCF=60 ，在ACD 与BCF 中,来源:gkstk.Com60ACBDF，ACDBCF（SAS）,ADC=BFC90 ，AC=8，CF= AC.12CF=4，AF=12，AFB =90，A=30，tan30= = ,（8 分）BF3BF=4 ，3ABF 的面积= AFBF= 124 =24 .（10 分）1239. （1）证明：如解图，连接 BC，AC 是O 的直径，ABC90，BAC+ ACB=90.ADB=ACB，来源:学优高考网 gkstk又EAB = ADB，EAB=ACB ，BAC+ EAB =90，即EAC90.又点 A 在O 上，EA 是O 的切线. （3 分）第 9 题解图（2）证明：点 B 是 EF 的中点，EAC90，AB=BE=BF= EF，EAB=AEB，12又EAB = ACB，AEB=ACB ；EAC= ABC=90 ，AEFBCA. （6 分）（3）解：AEFBCA ， ， ，=AFBEC426ABAB=2 ，EF2AB 4 .3在 Rt AEF 中，EAF=90，AE= = =4 .（8 分）24812
