【课堂设计】高二数学人教a版必修5课时训练：2.4.2 等比数列的性质 .doc

1、课时训练 12 等比数列的性质一、等比数列性质的应用1.若a n是等比数列,那么( )A.数列 是等比数列 B.数列 是等比数列C.数列 是等比数列 D.数列 nan是等比数列答案:A解析:由等比数列的定义判断即可 .2.在等比数列a n中,a 2 013=8a2 010,则公比 q 的值为( )A.2 B.3 C.4 D.8答案:A解析: a2 013=8a2 010, a2 010q3=8a2 010. q3=8. q=2.3.已知项数相同的等比数列a n和b n,公比分别为 q1,q2(q1,q21),则数列 3an; ; ; 2an-3bn; 2an3bn中等比数列的个数是( )A.1

2、 B.2 C.3 D.4答案:C解析:在 中, =q1,是等比数列 ;在 中, ,是等比数列;在 中,令 an=2n-1,则数列 为 3,32,34,因为 ,故不是等比数列;在 中,数列的项可能为零 ,故不一定是等比数列; 在 中,=q1q2,是等比数列.4.(2015 山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列 an,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( )A.5 B.7 C.6 D.4答案:A解析:a 1a2a3=5 =5;a7a8a9=10 =10.=a2a8, =50, a4a5a6= =5 .故选 A.5.(2015 河南郑州高二期末,10)已知各项为正的

3、等比数列a n中,a 4 与 a14 的等比中项为 2 ,则2a7+a11 的最小值为( )A.16 B.8 C.2 D.4答案:B解析: 各项为正的等比数列 an中,a 4 与 a14 的等比中项为 2 , a4a14=(2 )2=8, a7a11=8, a70,a110, 2a7+a112 =2 =8.故选 B.二、等差、等比数列的综合问题6.等差数列a n的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则a n的前 n 项和 Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.答案:A解析:因为 a2,a4,a8 成等比数列 ,所以 =a2a8,所以(a 1+6)2=(a1+2)(

4、a1+14),解得 a1=2.所以 Sn=na1+d=n(n+1).7.数列a n是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列 ,则 q= . 答案:1解析:设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a 1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1,故q= =1.8.已知 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b 1,b2,b3,4 成等比数列,则 的值为 . 答案:2.5解析: a1+a2=1+4=5,=14=4,且 b2 与 1,4 同号, b2=2, =2.5.9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个

5、成等比数列,积为 8 000.求此四个数.解:设前三个数分别为 a-d,a,a+d,(a-d)+a+(a+d)=48,即 a=16.再设后三个数分别为 ,b,bq,则有 bbq=b3=8 000,即 b=20. 四个数分别为 m,16,20,n. m=216-20=12,n= =25,即这四个数分别为 12,16,20,25.10.已知等差数列a n的公差和等比数列b n的公比都是 d(d1),且 a1=b1,a4=b4,a10=b10.(1)求 a1 和 d 的值;(2)b16 是不是数列a n中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.解:(1)由题意得所以两式相除,得 3= =d6+

6、d3+1,解得 d3=-2 或 d3=1(舍去).所以 d=- ,代入得 a1=-d= .(2)b16=a1d15= (- )15=-32 ,an=a1+(n-1)d= +(n-1)(- )=- n+2 .令 an=-32 ,得- n+2 =-32 ,解得 n=34N *,故 b16 是数列a n中的第 34 项.(建议用时:30 分钟 )1.在等比数列a n中,a 3a4a5=3,a6a7a8=24,则 a9a10a11 的值为( )A.48 B.72 C.144 D.192答案:D解析: =q9=8(q 为公比), a9a10a11=a6a7a8q9=248=192.2.公比为 2 的等比

7、数列a n的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=( )A.1 B.2 C.4 D.8答案:A解析: a3a11= =16,且 an0, a7=4.又 a7=a5q2=4a5, a5=1.3.已知等比数列a n满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 a3+a4+a5 等于( )A.33 B.84 C.72 D.189答案:B解析:由条件得,4a 1+(a1q2)=2(2a1q),即(q-2) 2=0, q=2. a3+a4+a5=3(22+23+24)=84.4.等比数列a n中,已知 a9=-2,则此数列的前 17 项之积为( )A.216 B.-216 C.217

8、 D.-217答案:D解析: 数列a n为等比数列, a1a2a3a17= .又 a9=-2, a1a2a3a17=(-2)17=-217.5.已知 11,且 a1+a6=8,a3a4=12,则 = . 答案:3解析:由已知 a3a4=12 得 a1a6=12,又 a1+a6=8.当 q1 时,解得 a1=2,a6=6.又 a1a11= , =3.7.在等比数列a n中,若 an0,a1a100=100,则 lg a1+lg a2+lg a3+lg a100= . 答案:100解析:由等比数列性质知:a 1a100=a2a99=a50a51=100. lg a1+lg a2+lg a3+lg

9、a100=lg(a1a2a3a100)=lg(a1a100)50=lg 10050=lg 10100=100.8.公差不为零的等差数列a n中,2a 3- +2a11=0,数列b n是等比数列 ,且 b7=a7,则 b6b8= . 答案:16解析: 2a3- +2a11=2(a3+a11)- =4a7- =0, b7=a70, b7=a7=4. b6b8= =16.9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为 12,求这三个数.解:设这三个数为 a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d) =12,所以 a=4.所以这三个数可以表示为 4-d,4

10、,4+d. 若 4-d 为等比中项,则有(4-d) 2=4(4+d),解得 d=12,或 d=0(舍去).此时,这三个数是-8,4,16. 若 4+d 为等比中项,则有(4+d) 2=4(4-d),解得 d=-12,或 d=0(舍去) .此时,这三个数是 16,4,-8. 若 4 为等比中项,则有 42=(4-d)(4+d),解得 d=0(舍去),综上所述,这三个数是-8,4,16 或 16,4,-8.10.已知两个等比数列a n,bn,满足 a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若 a=1,求数列 an的通项公式 ;(2)若数列a n唯一,求 a 的值.解:(1)设a n的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由 b1,b2,b3 成等比数列,得(2+q) 2=2(3+q2),即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ ,q2=2- . an的通项公式为 an=(2+ )n-1 或 an=(2- )n-1.(2)设a n的公比为 q,则由(2+aq) 2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0(*).由 a0 得 =4a2+4a0,故方程(*) 有两个不同的实根.由a n唯一,知方程(*) 必有一根为 0,代入(*)得 a= .