1、专题复习( 四) 几何探究问题综观近年的安徽中考题,有关几何探究的问题一直是重点考查问题如 2015 年第 23 题,2014 年第 23 题,2013 年第 23 题,2012 年第 22 题,2011 年 22 题等这类问题以基本的几何图形为载体,融入了三角形、四边形、相似形等知识,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力解几何探究题:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形;(2)掌握常规的证题方法和思路;(3) 借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题类型一 结论探究(2014 安徽)如图 1,正六边形 ABCDEF
2、的边长为 a,P 是 BC 边上一动点,过点 P 作 PMAB 交 AF于点 M,作 PNCD 交 DE 于点 N.(1)MPN_;求证:PM PN3a ;(2)如图 2,点 O 是 AD 的中点,连接 OM、ON.求证:OMON;(3)如图 3,点 O 是 AD 的中点,OG 平分MON,判断四边形 OMGN 是否为特殊四边形?并说明理由【思路点拨】 (1)运用MPN180BPMNPC 求解,作 BGAF,CF AB,利用BPG 与CPL 均为正三角形解题;(2)连接 OF,由OFMODN 证明;(3)连接 OF,由OFMODN ,再证出GOF MOA,由ONG 是等边三角形和MOG 是等边
3、三角形求出四边形 MONG 是菱形【解答】 (1)60;过点 B 作 BGAF ,交 PM 于点 G.过点 C 作 CLDE,交 PN 于点 L.则 MGAB a,NLCDa,BPG 与CPL 均是正三角形,PGPL PBPCBCa.PM PNMGNLPGPL 3a.(2)连接 OF.由(1) 知,NDPC ,AM PB,PB PCAMDNAMFMa,FMDN,又 OFOD,OFMODN 60,OFM ODN(SAS),OMON.(3)四边形 OMGN 是菱形理由如下:由(2)中OFMODN,得DONFOM,DONAOM60,MON120.OG 平分MON,MOGNOG60,FOG FOMMO
4、GAOF FOMAOM,FOG AOM,又FOAO,GFO MAO,GOF MOA(ASA) OGOM.OMONOG,OMG 与ONG 均为正三角形OMMG GNNOOG,四边形 OMGN 是菱形本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当地作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段1(2013安徽)我们把有不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形” ,如图 1,四边形 ABCD 即为“准等腰梯形” ,其中BC.(1)在图 1 所示“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(
5、画出一种示意图即可) ;(2)如图 2,在“准等腰梯形”ABCD 中,BC,E 为边 BC 上一点,若 ABDE ,AEDC,求证: ; ABDC BEEC(3)在由不平行于 BC 的直线 AD 截PBC 所得的四边形 ABCD 中,BAD 与ADC 的平分线交于点 E, 若EBEC,请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时( 即图 3 所示情形),四边形 ABCD 是不是“准等腰梯形” ,为什么?若点 E 不在四边形 ABCD 内部时,情况又将如何?写出你的结论(不必说明理由)来源:学优高考网 gkstk2(2015蚌埠六校联考)正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 P
6、在线段 BC 上( 不含点 B),BPE ACB,PE 交 BO 于点 E,过点 B 作 BFPE,垂足为 F,交 AC 于点 G.12(1)当点 P 与点 C 重合时(如图 1)求证:BOG POE;来源:学优高考网 gkstk(2)通过观察、测量、猜想: _,并结合图 2 证明你的猜想;BFPE来源:gkstk.Com来源:gkstk.Com(3)把正方形 ABCD 改为菱形,其他条件不变 (如图 3),若ACB,求 的值(用含 的式子表示)BFPE参考答案1(1)如图所示:(2)证明:AECD,ABED,AEBC,BDEC.ABEDEC. .AECD BEECBC,AEBB.ABAE.
7、.ABDC BEEC(3)当点 E 在四边形 ABCD 内部时,四边形 ABCD 是“准等腰梯形” 理由:过点 E 作 EFAB 于 F,EGAD 于 G,EHCD 于 H,AE 平分BAD,EFEG.ED 平分ADC,EGEH,EFEH.EBEC,RtBFERtCHE(HL)FBEHCE.EBEC,EBCECB.FBEEBCHCEECB,即ABCDCB.AD 不平行于 BC,四边形 ABCD 是“准等腰梯形” 当点 E 不在四边形 ABCD 内部时,有两种情况:当点 E 在边 BC 上时,四边形ABCD 为“准等腰梯形” ;当点 E 在四边形 ABCD 的外部时,四边形 ABCD 为“准等腰
8、梯形” 2.(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,P 与 C 重合,OBOP,BOCBOG90.PFBG,PFB90,GBO90BGO,EPO90BGO.GBOEPO.BOGPOE(AAS)(2) .证明如下:过 P 作 PMAC 交 BG 于 M,交 BO 于 N,BFPE 12来源:学优高考网 gkstkPNEBOC90,BPNOCB.OBCOCB45,NBPNPB.NBNP.MBN90BMN,NPE90BMN,MBNNPE.BMNPEN(ASA)BMPE.BPE ACB,BPNACB.12BPFMPF.PFBM,BFPMFP90.又PFPF,BPFMPF(ASA)BFMF,即 BF BM.12BF PE,即 .(3)过 P 作 PMAC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N.12 BFPE 12BPNACB,PNEBOC90.由(2)同理可得 BF BM,MBNEPN.12BNMPNE90.BMNPEN. .在 RtBNP 中,tan .BMPE BNPN BNPN tan,即 tan.BMPE 2BFPE tan.BFPE 12