1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十九)导数的几何意义(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.曲线 y=x3-3x 在点(2,2)的切线斜率是 ( )A.9 B.6 C.-3 D.-1【解析】选 A.y=(2+x) 3-3(2+x)-2 3+6=9x+6(x) 2+(x) 3,=9+6x+(x) 2,= (9+6x+(x) 2)=9,由导数的几何意义可知,曲线 y=x3-3x 在点(2,2)处的切线斜率是 9.2.曲线 f(x)=3x+x2在点(1,f(
2、1)处的切线方程为 ( )来源:学优高考网A.y=5x-1 B.y=-5x+1C.y= x+1 D.y=- x-1【解析】选 A.k= =5.f(1)=4.由点斜式得 y-4=5(x-1),即 y=5x-1.3.下面说法正确的是 ( )A.若 f(x 0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处没有切线B.若曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处有切线,则 f(x 0)必存在C.若 f(x 0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处的切线斜率不存在D.若曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处没有切线,则 f(x 0)有可能存在【解析】选 C.f(x 0
3、)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处切线的斜率,当切线垂直于 x 轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.【补偿训练】曲线 y= x3-2 在点 处切线的倾斜角为 ( )A.30 B.45 C.135 D.60【解析】选 B.y= (-1+x) 3-2- (-1)3+2=x-(x) 2+ (x) 3,=1-x+ (x) 2,= =1,来源:学优高考网所以曲线 y= x3-2 在点 处切线的斜率是 1,倾斜角为 45.4.(2015武汉高二检测)已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 ,则直线 l 的方程为 ( )A.4x-y+9=0B.4x-y+9
4、=0 或 4x-y+25=0C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0D.以上均不对【解析】选 C.y= =-4,所以 k=-4,所以切线方程为 y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,设 l:4x+y+c=0(c-8),由题意 = ,所以 c=9 或-25.5.(2015丽水高二检测)已知曲线 y= x2-2 上一点 P ,则在点 P 处的切线的倾斜角为 ( )A.30 B.45 C.135 D.150【解析】选 B.在点 P 处的切线的斜率 k=f(1)= = = =1.设切线的倾斜角为 ,则 tan=1,又 0180,所以 =45.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.若抛
5、物线 y=x2与直线 2x+y+m=0 相切,则 m=_.【解析】设切点为 P(x0,y0),易知,y=2x.由 得 即 P(-1,1).又 P(-1,1)在直线 2x+y+m=0 上,故 2(-1)+1+m=0,即 m=1.答案:17.曲线 y=x2-3x 的一条切线的斜率为 1,则切点坐标为_.来源:学优高考网【解析】设 f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x 0,y0),f(x 0)= = =2x0-3=1,故 x0=2,y0= -3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).答案:(2,-2)8.(2015惠州高二检测)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-
6、x+8,则 f(5)+f(5)=_.【解析】因为点 P 在切线上,所以 f(5)=-5+8=3,又因为 f(5)=k=-1,所以 f(5)+f(5)=3-1=2.答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.在曲线 E:y=x2上求出满足下列条件的点 P 的坐标.(1)在点 P 处与曲线 E 相切的直线平行于直线 y=4x-5.(2)在点 P 处与曲线 E 相切的直线与 x 轴成 135的倾斜角.【解析】f(x)= =2x,设 P(x0,y0)为所求的点.(1)因为切线与直线 y=4x-5 平行,所以 2x0=4,x0=2,y0=4,即 P(2,4).(2)因为切线与 x 轴成 13
7、5的倾斜角,所以其斜率为-1,即 2x0=-1,得 x0=- ,即 y0= ,即 P .10.(2015天水高二检测)已知曲线 C:y= 经过点 P(2,-1),求(1)曲线在点 P 处的切线的斜率.(2)曲线在点 P 处的切线的方程.(3)过点 O(0,0)的曲线 C 的切线方程.【解析】(1)将 P(2,-1)代入 y= 中得 t=1,所以 y= .所以 = = = ,所以 = ,所以曲线在点 P(2,-1)处切线的斜率为 k= =1.(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y+1=x-2,即 x-y-3=0.(3)因为点 O(0,0)不在曲线 C 上,设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C
8、 相切于点M(x0,y0),则切线斜率 k= = ,由于 y0= ,所以 x0= ,所以切点 M ,切线斜率 k=4,切线方程为 y-2=4,即 y=4x.【补偿训练】试求过点 P(1,-3)且与曲线 y=x2相切的直线的斜率.来源:学优高考网 gkstk【解析】设切点坐标为(x 0,y0),则有 y0= .因为 y= 了 = =2x.所以 k=2x0.所以切线方程为 y- =2x0(x-x0),将点(1,-3)代入,得:-3- =2x0-2 ,所以 -2x0-3=0,所以 x0=-1 或 x0=3.当 x0=-1 时,k=-2;当 x0=3 时,k=6.所以所求直线的斜率为-2 或 6.(2
9、0 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.设 f(x)为可导函数且满足 =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1)处的切线斜率为( )A.2 B.-1 C.1 D.-2【解析】选 B.= =f(1)=-1.【补偿训练】(2015聊城高二检测)设函数 f(x)满足 =-1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率是 ( )A.2 B.-1 C. D.-2【解析】选 B.因为 = =f(1)=k=-1,所以 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率是-1.2.(2015贵阳高二检测)已知函数 y=f(x)的图象如图,f(x A)与 f(x B)的大小关
10、系是 ( )A.0f(x A)f(x B)B.f(x A)f(x B)0【解析】选 B.f(x A)和 f(x B)分别表示函数图象在点 A,B 处的切线斜率,故f(x A)f(x B)B.f(x A)=f(x B)C.f(x A)kB,根据导数的几何意义有:f(x A)f(x B).二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.函数 y=f(x)= 在 x=1 处的切线方程为_.【解析】f(1)= =1,f(1)= = = =-1,则切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.答案:x+y-2=04.(2015南京高二检测)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f(x
11、),f(0)0,对于任意实数 x,有 f(x)0,则 的最小值为_.【解题指南】由导数的定义,先求出 f(0)的值,从而求出 的表达式,再利用“对于任意实数 x,有 f(x)0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.【解析】由导数的定义,得 f(0)= = a(x)+b=b.又因为对于任意实数 x,有 f(x)0,则 所以 ac ,所以 c0.所以 = =2.答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)5.直线 l:y=x+a(a0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切.(1)求切点的坐标.(2)求 a 的值.【解析】(1)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0)点,则f(x)
12、=3x2-2x.由题意知,k=1,即 3 -2x0=1,解得 x0=- 或 x0=1.于是切点的坐标为 或(1,1).(2)当切点为 时, =- +a,a= ;当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).所以 a 的值为 .【补偿训练】设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a0).若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求 a 的值.【解析】因为 y=f(x 0+x)-f(x 0)=(x0+x) 3+a(x0+x) 2-9(x0+x)-1-( +a -9x0-1)=(3 +2ax0-9)x+(3x 0+a)(x) 2+(x) 3,所以 =3 +2ax0-9+
13、(3x0+a)x+(x) 2.当 x 无限趋近于零时, 无限趋近于 3 +2ax0-9,即 f(x 0)=3 +2ax0-9,所以 f(x 0)=3 -9- .当 x0=- 时,f(x 0)取最小值-9- .因为斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,所以该切线斜率为-12,所以-9- =-12.解得 a=3.又 a0,所以 a=-3.6.(2015厦门高二检测)试求过点 M(1,1)且与曲线 y=x3+1 相切的直线方程.【解析】 = =3xx+3x 2+x 2.=3x2,因此 y=3x 2,设过(1,1)点的切线与 y=x3+1 相切于点 P(x0, +1),据导数的几何意义,函数在点 P
14、 处的切线的斜率为 k=3 ,过(1,1)点的切线的斜率 k= ,所以 3 = ,解得 x0=0 或 x0= ,所以 k=0 或 k= ,因此 y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有两个,分别为 y-1= (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 或 y=1.【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线 y=x3+1 上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】若抛物线 y=4x2上的点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短,求点 P 的坐标.【解题指南】抛物线上到直线 y=4x-5 的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点.解答本题可先求导函数,再求 P 点的坐标.【解析】由点 P 到直线 y=4x-5 的距离最短知,过点 P 的切线方程与直线 y=4x-5平行.设 P(x0,y0),则 y= = = (8x+4x)=8x,由 得故所求的 P 点坐标为 .【拓展延伸】求最值问题的两种方法(1)目标函数法:通过设变量构造目标函数,利用函数求最值.(2)数形结合法:根据问题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值.关闭 Word 文档返回原板块
