1、第 26 讲 圆的有关计算考纲要求 命题趋势1会计算圆的弧长和扇形的面积2会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积3了解正多边形的概念及正多边形与圆的 关系.能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是中考考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.知识梳理一、弧长、扇形面积的计算1如果弧长为 l，圆心角的度数为 n，圆的半径为 r，那么弧长的计算公式为l_.2由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形若扇形的圆心角为n，所在圆半径为 r，弧长为 l，面积为 S，
2、则 S_或 S lr；扇形的周长122r l .二、圆柱和圆锥1圆柱的侧面展开图是_，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的_，宽等于圆柱的_如果圆柱的底面半径是 r，则 S 侧 2rh，S 全 2r 22 rh.2圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形圆锥的侧面展开图是一个_，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的_，扇形的半径等于圆锥的_因此圆锥的侧面积：S 侧 l2r rl(l 为母线长， r 为底面圆半径) ；圆锥的12全面积：S 全 S 侧 S 底 rl r2.三、正多边形和圆1正多边形：各边_、各角_的多边形叫做正多边形2多边形的外接圆：经过多边形_的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的
3、内接多边形3正多边形的_的圆心叫做正多边形的中心，_的半径叫做正多边形的半径 4中心到正多边形的一边的_叫做正多边形的边心距5正多边形每一边所对的_的圆心角叫做正多边形的中心角，正 n 边形的每个中心角都等于_温馨提示 (1)正多边形的各边、各角都相等(2)正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n边形的中心(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心(4)边数相同的正多边形相似它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方四、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求
4、的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积常用的方法有：1直接用公式求解2将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解3将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解4将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形 移位后，组成规则图形求解5将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解自主测试1已知圆柱的底面半径为 2 cm，高为 5 cm，则圆柱的侧面积是( )A20 cm 2 B20 cm2 C10 cm 2 D5 cm 22如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A1 B C D34 12 133已知扇形的圆心角为 150，它所对应的
5、弧长为 20 cm，则此扇形的半径是_cm，面积是_cm 2.(结果保留 )4如图，已知 AB 是O 的直径， CDAB，垂足为 E，AOC60 ，OC2.(1)求 OE 和 CD 的长；(2)求图中阴影部分的面积考点一、弧长、扇形的面积【例 1】如图，在ABC 中，B90，A30，AC4 cm，将ABC 绕顶点 C 顺时针方向旋转至ABC 的位置，且 A，C，B 三点在同一条直线上，则点 A 所经过的最短路线的长为( )A4 cm B8 cm C cm D cm3163 83解析：点 A 所经过的最短路线是以点 C 为圆心、CA 为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解求解过程如下：B90 ，
6、A30，A，C，B三点在同一条直线上，ACA 120. 又 AC4， 的长 l (cm)故选 D.1204180 83答案：D方法总结 当已知半径 r 和圆心角的度数求扇形面积时，应选用 S 扇 ，当已知半nr2360径 r 和弧长求扇形的面积时，应选用公式 S 扇 lr，当已知半径 r 和圆心角的度数求弧长12时，应选用公式 l .nr180触类旁通 1 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长为 9，贴纸部分的宽 BD 为 6，则贴纸部分面积( 贴纸部分为两面 )是( )A24 B36 C48 D72考点二、圆柱和圆锥【例 2】一圆锥的侧面展开图
7、是半径为 2 的半圆，则该圆锥的全面积是( )A5 B4 C 3 D2解析：侧面积是： 222. 底面的周长是 2.则底面圆半径是 1，面积是 .则该圆12锥的全面积是：2 3.故选 C.答案：C方法总结 圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键触类旁通 2 如图，把一个半径为 12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是_cm.考点三、阴影面积的计算【例 3】如图
8、，AB 是O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，C 为垂足，弦 DF 与半径OB 相交于点 P，连接 EF， EO，若 DE2 ，DPA 45.3(1)求O 的半径；(2)求图中阴 影部分的面积解：(1)直径 ABDE，CE DE .12 3DE 平分 AO，CO AO OE.12 12又OCE90，CEO30. 在 RtCOE 中，OE 2.O 的半CEcos 30 332径为 2.(2)连接 OF，如图所示在 Rt DCP 中， DPC 45，D9045 45.EOF2D 90.S 扇形 OEF 22， SOEF OEOF 222.90360 12 12S 阴影 S 扇形 OEFS O
9、EF 2.方法总结 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解(2)将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图 形求解(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解1(2012 浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 10 cm，则这个圆锥的侧面积为( )A15 cm 2 B30 cm 2 C60 cm 2 D3 cm2912(2012 浙江衢州)用圆心角为 120，半径为 6 cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽
10、(如图所示) ，则这个纸帽的高是( )A cm B3 cm C4 cm D4 cm2 2 23(2012 四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A120 B180 C240 D3004(2012 山东临沂)如图，AB 是O 的直径，点 E 为 BC 的中点，AB 4，BED120，则图中阴影部分的面积之和为( )(第 4 题图)A1 B C D232 3 35(2012 四川成都)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积( 即表面积)为_( 结果保留 )(第 5 题图)6(2012 湖南长沙)在半径为 1 c m 的圆中，圆心
11、角为 120的扇形的弧长是_cm.7(2012 四川乐山)如图，ABC 内接于O ，直径 BD 交 AC 于 E，过 O 作FGAB，交 AC 于 F，交 AB 于 H，交O 于 G.(第 7 题图)(1)求证：OF DEOE2 OH；(2)若O 的半径为 12，且 OE:OF:OD2:3:6，求阴影部分的面积(结果保留根号)1如图，O 半径是 1，A， B，C 是圆周上的三点，BAC36，则劣弧 ABC的长为( )A B5 25C D35 452已知圆锥底面圆的半径为 6 cm，高为 8 cm，则圆锥的侧面积为( ) A48 cm 2 B48 cm2 C120 cm 2 D60 cm 23如
12、图，圆柱的底面周长为 6 cm，AC 是底面圆的直径，高 BC6 cm，点 P 是母线BC 上一点且 PC BC.一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是( )23A cm B5 cm(4 6)C3 cm D7 cm54如图，如果从半径为 9 cm 的圆形纸片剪去 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一13个圆锥( 接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( )A6 cm B3 cm C8 cm D5 cm5 35如图，在 RtABC 中，C90 ，CACB4，分别以 A，B，C 为圆心，以 AC12为半径画弧，三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是_6如图，A，B，C 两两
13、不相交，且半径都是 2 cm，则图中三个扇形( 即阴影部分)面积之和是_ cm 2.(第 6 题图)7如图，AB 为半圆 O 的直径， C，D ，E，F 是 AB的五等分点，P 是 AB 上的任意一点若 AB4，则图中阴影部分的面积为_ _(第 7 题图)8如图，AB 是O 的直径，弦 BC5，BOC50 ，OEAC ，垂足为 E.(1)求 OE 的长；(2)求劣弧 AC 的长( 结果精确到 0.1)参考答案导学必备知识自主测试1B 2C 324 2404解：(1)在OCE 中，CEO90，EOC60，OC2，OE OC1，CE OC ，12 32 3OACD，CEDE， CD2 .3(2)S
14、 ABC ABCE 4 2 ，12 12 3 3S 阴影 222 2 2 .12 3 3探究考点方法触类旁通 1C S 2 248.12092 32360 723触类旁通 24 因为扇形的弧长为 2128 ，即底面周长为 8，则底面半径为13 4(cm)82品鉴经典 考题1B 因为底面半径为 3 cm，则周长为 6 cm，所以圆锥的侧面积为 6102 30(cm2)2C 由题意知 l 4(cm) ，1206180圆锥的底面半径为 42 2(cm)，这个圆锥形纸帽的高为 4 (cm)62 22 2故选 C.3B 设圆锥的底面半径为 r，母线为 R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 n，则扇形的面积
15、为 2rR rR.由题意得 rR2r 2，n R2360rR，则 R2r，12所以 n 180.4C 如图，连接 AE.AB 是直径，AEB90.又BED120，AED30，AOD 2 AED60.OAOD ， AOD 是等边三角形，OAD60.点 E 为 BC 的中点，AEC90 ，ABAC， ABC 是等边三角形由AOD ，ABC 是等边三角形知DEC，BOE，DOE 也是等边三角形， AB和弦 BE 围成的部分的面积 ADE和弦 DE 围成的部分的面积，阴影部分的面积S EDC 2 .故选 C.12 3 3568 圆锥的母线长是 5，32 42圆锥的侧面积是 8520，12圆柱的侧面积是
16、 8432，几何体的下底面面积是 4216 ，则该几何体的全面积(即表面积 )为 203216 68.故答案是 68.6 扇形的弧长 l (cm)23 1201180 237(1)证明：BD 是直径， DAB 90.FGAB，DA FO，EOFEDA，EFO EAD，FOEADE， ，即 OFDEOE AD.OFAD OEDEO 是 BD 的中点，DA OH，AD 2OH，OFDE OE2OH.(2)解：O 的半径为 12，且 OE:OF:OD2:3:6，OE4，ED8，OF 6，代入(1)结论得 OH6，AD12.在 Rt OBH 中，OB2OH，BOH 60 ，BHBO sin 6012
17、6 ，32 3S 阴影 S 扇形 GOBS OHB 66 2418 .60122360 12 3 3研习预测试题1B 2D 3B4B 留下的扇形的弧长为 2912，(1 13)所以围成一个圆锥的底面圆的周长为 12.则底面圆的半径为 122 r，所以 r6.而圆锥的母线长为 9，所以由勾股定理，得到圆锥的高为 3 (cm)92 62 5582 6.2 7 258解：(1)OEAC，垂足为 E，AEEC .AOBO ，OE BC2.5.12(2)A BOC25 ，12在 Rt AOE 中，sin A ，OA .OEOA 2.5sin 25AOC18050 130，劣弧 AC 的长 13.4.1302.5180sin 25
