1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十一)椭圆方程及性质的应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.已知直线 l 过点(3，-1)，且椭圆 C： + =1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为 ( )A.1 B.1 或 2 C.2 D.0【解析】选 C.因为直线过定点(3，-1)且 + C.-2b0)，则点 P 在椭圆外 + 1；点 P 在椭圆上 + =1；点 P 在椭圆内 + b0)的左、右焦点分别为F1，F 2，右顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆
2、 C 的中心到直线 AB 的距离为|F1F2|，则椭圆 C 的离心率 e= ( )A. B. C. D.【解析】选 A.设椭圆 C 的焦距为 2c(cb0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且 AM，BM 与两坐标轴均不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM 的斜率，则 kAMkBM= ( )A.- B.- C.- D.-【解析】选 B.设 A(x1，y 1)，M(x 0，y 0)，则 B(-x1，-y 1)，kAMkBM= = =- .【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取 A(a，0)，B(-a，0)，M(0，b)，可得 kAMkBM=- .【补偿训练】(2015衡水高二
3、检测)如果 AB 是椭圆 + =1(ab0)的任意一条与 x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为 AB 的中点，则 kABkOM的值为 ( )A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2【解析】选 C.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，中点 M(x0，y 0)，则 + =1， + =1，两式作差得=所以 kABkOM= = = =e2-1.5.AB 为过椭圆 + =1(ab0)中心的弦，F 1(c，0)为椭圆的右焦点，则AF 1B面积的最大值是 ( )A.b2 B.ab C.ac D.bc【解析】选 D.如图， = + =2 .又因为|OF 1|=c
4、为定值，所以点 A 与(0，b)重合时，OF 1边上的高最大，此时 的面积最大为 bc.所以 的最大值为 bc.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_.【解析】将椭圆与直线方程联立：解得交点 A(0，-2)，B .设右焦点为 F，来源:学优高考网 gkstk则 SOAB = |OF|y1-y2|= 1| +2|= .答案：7.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M，N 两点，原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的斜率为 ，则 的值是_.【解析】由 消去 y
5、，得(m+n)x 2-2nx+n-1=0.则 MN 的中点 P 的坐标为 .所以 kOP= = .答案：8.(2015宁波高二检测)已知 F1，F 2是椭圆的两个焦点，满足 =0的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.来源:学优高考网 gkstk【解析】由 =0，得以 F1F2为直径的圆在椭圆内，于是 bc，于是a2-c2c2，所以 0b0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 .直线y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.(1)求椭圆 C 的方程.(2)当AMN 的面积为 时，求 k 的值.【解析】(1)由题意得 解得 b= .所以椭圆 C 的方程为 + =1.(2)
6、由得(1+2k 2)x2-4k2x+2k2-4=0.=24k 2+160.设点 M，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y1=k(x1-1)，y 2=k(x2-1)，x 1+x2= ，x1x2= ，所以|MN|= .又因为点 A(2，0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= ，所以AMN 的面积为 |MN|d= .由 = ，解得 k=1.(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m0)，如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( )A.2 B.2 C.
7、8 D.2【解析】选 B.根据已知条件 c= ，则点 在椭圆 + =1(m0)上，所以 + =1，可得 m=2 .2.(2015福建高考)已知椭圆 E： + =1(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x-4y=0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF|+|BF|=4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是 ( )A. B.C. D.【解析】选 A.不妨设左焦点为 F2，连接 AF2，BF 2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形 AFBF2为平行四边形，所以 + =+ =2a=4，所以 a=2，设 M(0，b)，所
8、以 d= b b1，所以 e= = = ，又 e(0，1)，所以 e .【补偿训练】过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦 MN 的长为 ( )A. B. C. D.【解题指南】求出过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦 MN 的长.【解析】选 A.设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，因为椭圆 +y2=1 右焦点坐标为( ，0)，所以过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ，代入椭圆 +y2=1，可得 +(x- )2=1，即 5x2-8 x+8=0，所以x1+x2=
9、 ，x 1x2= ，所以|MN|= = = .二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.(2015济南高二检测)已知对 kR，直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围是_.【解析】因为直线 y-kx-1=0 过定点(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即 + 1，整理，得 1，解得 m1.又方程 + =1 表示椭圆，所以 m0 且 m5，综上 m 的取值范围为 m1 且 m5.答案：m1 且 m54.(2015无锡高二检测)若倾斜角为 的直线交椭圆 +y2=1 于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的轨迹方程是_.【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为 y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得 x+4y=0，由 0，得- b ，故- x .答案：x+4y=0(- x )【补偿训练】(2015沈阳高二检测)已知椭圆： +x2=1，过点 P 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为( )A.9x-y-4=0 B.9x+y-5=0
