1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.若直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆(x-a) 2+(y-b)2=r2(r0)的圆心位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选 B.由于直线通过第一、二、四象限,所以 a0,故圆心位于第二象限.2.(2014济宁高一检测)直线 2x-y=0 与圆 C:(x-2)2+(y+1)2=9 交于 A,B 两点,则ABC(C 为圆心)的面积等于
2、( )A.2 B.2 C.4 D.4【解析】选 A.因为圆心到直线的距离 d= = ,所以 =2 =4,所以ABC 的面积为4 =2 .3.点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2内,则直线 x0x+y0y=r2和已知圆的公共点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.无法确定【解析】选 A.因为 + r,故直线与圆相离,选 A.【举一反三】若将本题改为“点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2外”,其余条件不变,又如何求解?【解析】选 C.因为 + r2,圆心到直线 x0x+y0y=r2的距离 d = 0),将 A(a,-3)代入方程,求得 a= .所以,水面下降 1m 后,水面宽为 2a
3、=2 (m).答案:29.(2013蚌埠高一检测)设有一个半径为 3km 的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东,而乙向北前进,甲出村后不久,改变前进方向.沿着相切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇,设甲、乙两人的速度都一定,其比为 31,二人相遇时乙向北走了 km.【解析】如图,以村落中心为坐标原点,以东西方向为 x 轴,南北方向为 y 轴建立直角坐标系.设甲向东走到 D 转向到 C 恰好与乙相遇.设 D,C 两点的坐标分别为(a,0),(0,b),其中 a3,b3,则 CD 方程为 + =1.设乙的速度为 v,则甲的速度为 3v.依题意,得 =3 且 = ,解得a=5,b=
4、,所以乙向北走 km 时两人相遇.答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)10.等边ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上且 = , = ,AD,BE相交于点 P.求证:APCP.【解题指南】要证 APCP,可转化为直线 AP,CP 的斜率之积等于-1 即可,由此以 B 为原点,BC 边所在直线为 x 轴,线段 BC 长的 为单位长,建立平面直角坐标系.【证明】以 B 为原点,BC 边所在直线为 x 轴,线段 BC 长的 为单位长,建立平面直角坐标系.则 A(3,3 ),B(0,0),C(6,0).由已知,得 D(2,0),E(5, ).直线 AD 的方程为y=3 (x-2
5、).直线 BE 的方程为 y= (x-5)+ .解以上两方程联立成的方程组,得 x= ,y= .所以,点 P 的坐标是 .直线 PC 的斜率 kPC=- ,因为 kAPkPC=3 =-1,所以,APCP.11.(2014徐州高一检测)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=4 和直线 l:x+2y+2=0,直线n 经过圆 C 外定点 A(1,0).若直线 n 与圆 C 相交于 P,Q 两点,与 l 交于 N 点,且线段 PQ 的中点为 M,求证:|AM|AN|为定值.【解析】方法一:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),又由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线 n 的方程为
6、 kx-y-k=0,由 得 N .再由 得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以 x1+x2= 得M .所以|AM|AN|= =6 为定值.方法二:由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线 n 的方程为kx-y-k=0,由 得 N ,又直线 CM 与 n 垂直,由 得 M .所以|AM|AN|=|y M-0| |yN-0|=|yMyN|= =6,为定值.一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.由 y= 和圆 x2+y2=4 所围成的较小扇形的面积是 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.由题意知围成的较小扇形的面积为圆面积的 ,所以 S
7、= r 2=,故选 B.2.(2014汕头高一检测)过直线 x=2 上一点 M 向圆 + =1 作切线,则M 到切点的最小距离为 ( )A.4 B.4 C.6 D.3【解析】选 A.因为切线长、直线上的点与圆心连线长及半径构成直角三角形的三边长,所以直线上的点与圆心的距离最小时,切线长最小,先求圆心到直线的距离 d=2+5=7,再求 M 到切点的最小距离为 =4 .3.(2014襄阳高一检测)如图所示,已知直线 l 的解析式是 y= x-4,并且与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点.一个半径为 1.5 的圆 C,圆心 C 从点(0,1.5)开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运
8、动,当圆 C 与直线 l 相切时,该圆运动的时间为 ( )A.6s B.6s 或 16sC.16s D.8s 或 16s【解析】选 B.设运动的时间为 ts,则 ts 后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C 与直线 l:y= x-4 相切,所以 =1.5.解得 t=6 或 16.即该圆运动的时间为 6s 或 16s.4.(2014潍坊高一检测)与圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x2+y2-4x+3=0,则 a= ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解题指南】两圆关于直线对称,则圆的半径不变,已知圆与对称圆的圆心坐标关于直线对称.【解析
9、】选 C.x2+y2-4x+3=0 化为标准形式为(x-2) 2+y2=1,圆心为(2,0),因为(2,0)关于直线 x-y-1=0 对称的点为(1,1),所以 x2+y2-ax-2y+1=0 的圆心为(1,1).故 =1,a=2.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.若点 P(x,y)满足 x2+y2=25,则 x+y 的最大值是 .【解析】令 x+y=z,则 =5,所以 z=5 ,即-5 x+y5 ,所以 x+y 的最大值是 5 .答案:5【拓展延伸】数形结合思想在解题中的运用利用数形结合求解问题时,关键是抓住“数”中的某些结构特征,联想到解析几何中的某些方程、公式,从而挖掘出“数
10、”的几何意义,实现“数”向“形”的转化,如本题由 x+y 联想直线的截距.6.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC,BD,则四边形 ABCD 的面积为 .【解析】圆心坐标是(3,4),半径是 5,圆心到点(3,5)的距离为 1,根据题意最短弦 BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,故最短弦的长为 2 =4 ,所以四边形 ABCD 的面积为 ACBD= 104 =20 .答案:20三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)7.(2014南昌高一检测)中国南海某岛驻岛部队的地面雷达搜索半径为 200 海里,外国一海洋测量船正在在该海岛正东
11、250 海里处以每小时 20 海里的速度沿西北方向航行,问该海岛雷达能否发现该外国测量船,如能,求能观测到该测量船的时间长.【解析】以该岛为原点,正东、正北方向分别为 x,y 轴,建立直角坐标系.则雷达最大观测范围是一个圆,其方程为:x 2+y2=2002,外国测量船的航行路线所在的直线方程为:x+y=250,海岛到外国测量船的航行路线距离为:d= 来源:学优高考网=125 176.77200,故能被观测到.航行路线被圆截得的弦|BC|=2=50 187.1 所以能观测到的时间为 t= =9.355(小时).【变式训练】如图,某海面上有 O,A,B 三个小岛(面积大小忽略不计),A 岛在 O
12、岛的东北方向 20 km 处,B 岛在 O 岛的正东方向 10km 处.(1)以 O 为坐标原点,O 的正东方向为 x 轴正方向,1km 为单位长度,建立平面直角坐标系,试写出 A,B 的坐标,并求 A,B 两岛之间的距离.(2)已知在经过 O,A,B 三个点的圆形区域内有未知暗礁,现有一船在 O 岛的南偏西 30方向距 O 岛 20km 处,正沿东北方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?【解析】(1)因为 A 在 O 的东北方向 20 km,B 在 O 的正东方向 10km,所以A(20,20),B(10,0),由两点间的距离公式知|AB|= =10(km).(2)设过 O,A,B 三点所在圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 O(0,0),A(20,20),B(10,0)代入上式得 来源:学优高考网 gkstk解得:D=-10,E=-30,F=0,所以圆的方程为 x2+y2-10x-30y=0,圆心坐标为(5,15),r=5 .
