1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十三)直线与平面垂直的判定(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.m,n 是空间两条不同直线, 是空间两个不同平面,下面有四种说法:m,n,mn;mn,mn;mn,mn;m,mn,n.其中正确说法的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.正确,因为 n,所以在 内有与 n 平行的直线,又 m,则 mn;错误,mm,因为 mn,则可能 n;错误,因为 mn,m,则可能 n 且 m;正确,m,得 m,因为
2、 mn,则 n.2.(2015烟台高一检测)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA平面 ABCD,且 PA= ,则 PC 与平面 ABCD 所成角的大小是 ( )A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选 C.因为 PA平面 ABCD,连接 AC,所以PCA 即为 PC与平面 ABCD 所成的角,由 ABCD 是边长为 1 的正方形,所以 AC=,在 RtPAC 中,tanPCA= = = ,所以PCA=60.3.如图所示,如果 MC菱形 ABCD 所在的平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是 ( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直
3、【解析】选 C.因为 ABCD 为菱形,所以 DBAC,又 MC平面 ABCD,所以 MCBD.又 ACMC=C,所以 BD平面 ACM.又 AM平面 AMC,所以 BDAM,又 BD 与 AM 不共面 ,所以 MA 与 BD 垂直但不相交.来源:学优高考网 gkstk【延伸探究】本题若将条件“菱形 ABCD”改为“平行四边形 ABCD”,加上条件“MABD”,判断平行四边形 ABCD 的形状.【解析】因为 MC平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 MCBD,又 BDMA,MAMC=M,所以 BD平面 MAC,又 AC平面 MAC,所以 BDAC,故四边形 ABCD 为菱形.4.(2015
4、包头高一检测)在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 AA1底面 ABC,底面是以来源:gkstk.ComABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB 1=3a,D 是 A1C1的中点,点 F 在线段AA1上,CF平面 B1DF,则 AF= ( )A.a B.2a C. a D.a 或 2a【解析】选 D.由题意知,B 1D平面 ACC1A1,所以 B1DCF,又 CF平面 B1DF,所以CFDF,设 AF=x,则 A1F=3a-x.由 RtCAFRtFA 1D,得 = ,即 = ,得 x2-3ax+2a2=0,所以 x=a 或 x=2a.5.已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,侧棱
5、 AA1平面 ABCD,且底面 ABCD 为正方形,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.如图,设 AB=a,则 AA1=2a,三棱锥 C-BDC1的高为 h,CD 与平面 BDC1所成的角为.因为 = -BDC,1CBDV即 a ah= a22a,解得 h= a.所以 sin= = .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.如图,三棱柱 ABC -A1B1C1中,AA 1底面 ABC,ABC=90,M 为线段 BB1上的一动点,则直线 AM 与直线 BC 的位置关系为_.【解析】因为 AA1平面 ABC,BC平面 AB
6、C,所以 BCAA 1,因为ABC=90,所以 BCAB,又 ABAA 1=A,所以 BC平面 AA1B1B,又 AM平面 AA1B1B,所以 AMBC.答案:垂直7.如图,ABCD-A 1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是_.(填序号)BD平面 CB1D1;AC 1BD;AC 1平面 CB1D1;异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60.【解析】由于 BDB 1D1,BD平面 CB1D1,B1D1平面 CB1D1,则 BD平面 CB1D1,所以正确;由 BDAC,BDCC 1,ACCC 1=C,所以 BD平面 ACC1,所以 AC1BD,所以正确;可证 AC1B 1D1,AC1B 1C
7、,所以 AC1平面 CB1D1,正确,由于 ADBC,则BCB 1=45是异面直线 AD 与 CB1所成的角,故错误.答案:8.(2015青岛高一检测)正方体 ABCD-A1B1C1D1中,面对角线 A1B 与对角面BB1D1D 所成的角为_.【解析】连接 A1C1交 B1D1于点 O,连接 BO,因为 A1C1B 1D1,A1C1BB 1,故 A1C1平面 BB1D1D,所以 A1B 在平面 BB1D1D 内射影为 OB,所以A 1BO 即为 A1B与平面 BB1D1D 所成角.设正方体棱长为 a,则 A1B= a,A1O= A1C1= a,所以 sinA 1BO= = = ,所以A 1BO
8、=30.答案:30三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2014广东高考改编)四边形 ABCD 为正方形,PD平面 ABCD,AFPC 于点 F.证明:CF平面 ADF.【解题指南】证 AD平面 PCDCFAD,又 CFAFCF平面 ADF.【证明】因为四边形 ABCD 为正方形,所以 ADDC.又 PD平面 ABCD,AD平面 ABCD,所以 PDAD,DCPD=D,所以 AD平面 PCD.又 CF平面 PCD,所以 CFAD,而 AFPC,即 AFFC,又 ADAF=A,来源:学优高考网 gkstk所以 CF平面 ADF.10.(2014湖北高考)如图,在正方体 ABCD-A1
9、B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N 分别是棱 AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线 BC1平面 EFPQ.(2)直线 AC1平面 PQMN.【解题指南】(1)通过证明 FPAD 1,得到 BC1FP,根据线面平行的判定定理即可得证.(2)证明 BD平面 ACC1,得出 BDAC 1,进而得 MNAC 1,同理可证 PNAC 1,根据线面垂直的判定定理即可得出直线 AC1平面 PQMN.【证明】(1)连接 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1是正方体,知 AD1BC 1,因为 F,P 分别是 AD,DD1的中点,所以 FPAD 1.从而 BC1FP.而 F
10、P平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图,连接 AC,BD,则 ACBD.由 CC1平面 ABCD,BD平面 ABCD,可得 CC1BD.又 ACCC 1=C,所以 BD平面 ACC1.而 AC1平面 ACC1,所以 BDAC 1.因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1的中点,所以 MNBD,从而 MNAC 1.同理可证 PNAC 1.又 PNMN=N,所以直线 AC1平面 PQMN.(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.已知 m 是平面 的一条斜线,点 A,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出现的是 (
11、 )A.lm,l B.lm,lC.lm,l D.lm,l来源:学优高考网【解析】选 C.设 m 在平面 内的射影为 n,当 ln 且与 无公共点时,lm,l.2.(2015温州高一检测)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD底面 ABCD,则下列结论中不正确的是 ( )A.ACSBB.AB平面 SCDC.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角D.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角【解析】选 C.因为 SD底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,所以连接 BD,则 BDAC,又ACSD,可得 ACSB,故 A 正确;因为 ABCD,AB
12、平面 SCD,CD平面 SCD,所以AB平面 SCD,故 B 正确;因为 ABCD,所以SCD 为 AB 与 SC 所成角,SAB 为SA 与 DC 所成角,显然SCDSAB,故 C 不正确.由 AC平面 SBD,记 AC 与 BD交于 O,连接 SO,则ASO 为 SA 与平面 SBD 所成角,CSO 为 SC 与平面 SBD 所成角,显然ASO=CSO.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.(2015广州高一检测)如图,在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a0),PA平面 AC,且 PA=1,若 BC 边上存在点 Q,使得 PQQD,则 a 的取值范围是_.【解析】因为 PA
13、平面 AC,QD平面 AC,所以 PAQD,又 PQQD,PAPQ=P,所以 QD平面 PAQ,所以 AQQD.当 02 时,以 AD 为直径的圆与 BC 交于 Q1,Q2两点,此时AQ 1D=AQ 2D=90,故 BC 上存在两点 Q 使 PQQD.综上,a2.答案:2,+)4.(2015合肥高二检测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,Q 是 CC1的中点,F 是侧面 BCC1B1内的动点且 A1F平面 D1AQ,则 A1F 与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围为_.【解析】延长 D1Q 交 DC 延长线于 P,连 AP 与 BC 交于点 G,连接 QG,则 G 为 BC 的中点
14、,分别取 B1B,B1C1的中点 M,N,连接 A1M,MN,A1N,则因为 A1MD 1Q,A1M平面 D1AQ,D1Q平面 D1AQ,所以 A1M平面 D1AQ.同理可得 MN平面 D1AQ,因为 A1M,MN 是平面 A1MN 内的相交直线,所以平面 A1MN平面 D1AQ,由此结合 A1F平面 D1AQ,可得直线 A1F平面 A1MN,即点 F 是线段 MN 上的动点.设直线 A1F 与平面 BCC1B1所成角为 ,运动点 F 并加以观察,可得:当 F 与 M(或 N)重合时,A1F 与平面 BCC1B1所成角等于A 1MB1,此时所成角 达到最小值,满足 tan= =2;当 F 与
15、MN 中点重合时,A 1F 与平面 BCC1B1所成角达到最大值,满足 tan=2 ,所以 A1F 与平面 BCC1B1所成角的正切值取值范围为2,2 .答案:2,2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)5.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 AA1底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,B 1A1C1=90,D 为 BB1的中点.求证:AD平面 A1DC1.【证明】因为 AA1平面 ABC,平面 ABC平面 A1B1C1,所以 AA1平面 A1B1C1,所以 A1C1AA 1,又B 1A1C1=90,A1C1A 1B1,A1B1AA 1=A1,所以 A1C1平面 AA1B1B,又 AD平面 AA1B1B,
