1、四边形的有关计算与证明四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题(2013昭通)如图，在菱形 ABCD 中，AB2，DAB60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动点(不与点 A 重合)，延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接MD，AN.求证：四边形 AMDN 是平行四边形【思路点拨】 根据菱形的性质可知 ABCD，则要证四边形 AMDN 是平行四边形只需要找到 AMND 即可，这个可通过三角形全等得证【解答】 证明：四边形 ABC
2、D 是菱形，NDAM.NDEMAE，DNEAME.点 E 是 AD 中点，DEAE.NDEMAE(AAS)NDMA.四边形 AMDN 是平行四边形矩形是特殊的平行四边形，判定矩形，可以先判定它是平行四边形，再判定它的一个角是直角即可；又由于矩形的四个内角都是直角，故常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决含 30角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等也是综合考查的热点1(2015黄冈)已知，如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，E，F 为对角线 AC 上两点，且AECF，DFBE.求证：四边形 ABCD 为平行四边形2(2015龙岩)如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，
3、AC 的中点，BE2DE，延长 DE 到点F，使得 EFBE，连接 CF.求证：四边形 BCFE 是菱形3(2015安顺)如图，已知点 D 在ABC 的 BC 边上，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于F.(1)求证：AEDF；(2)若 AD 平分BAC，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由4(2015昆明盘龙区一模)已知，如图，在ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，过点 O 的直线 EF 分别交于 AD、BC 于 E、F 两点，连接 BE，DF.(1)求证：DOEBOF；(2)当DOE 等于多少度时，四边形 BFDE 为菱形？请说明理由5(2015昆明盘龙区二模)如
4、图，在ABCD 中，O 是 CD 的中点，连接 AO 并延长，交 BC的延长线于点 E.(1)求证：AODEOC；证明：四边形 ABCD 是平行四边形，(2)连接 AC，DE，当BAEB_时，四边形 ACED 是正方形，请说明理由6(2015北京)在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DFBE，连接AF，BF.(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；(2)若 CF3，BF4，DF5，求证：AF 平分DAB.7(2014宿迁)如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，AH 是边 BC 上的高(1)求证：四边形 ADEF 是平行四边形；
5、(2)求证：DHFDEF.8(2015兰州)如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABCD，BDAC.(1)求证：ADBC；(2)若 E，F，G，H 分别是 AB，CD，AC，BD 的中点，求证：线段 EF 与线段 GH 互相垂直平分9(2015益阳)如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CABACB，过点 B作 BEAB 交 AC 于点 E.(1)求证：ACBD；(2)若 AB14，cosCAB ，求线段 OE 的长7810(2015金华)如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AFAD，过点 D 作 DEAF，垂足为点 E.(1)求证：DEAB；(2
6、)以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G，若 BFFC1，试求 的长EG 11(2015东营改编)如图，两个全等的ABC 和DEF 重叠在一起，固定ABC，将DEF进行如下变换：图 1 图 2(1)如图 1，DEF 沿直线 CB 向右平移(即点 F 在线段 CB 上移动)，连接 AF、AD、BD，请直接写出 SABC 与 S 四边形 AFBD的关系；(2)如图 2，当点 F 平移到线段 BC 的中点时，若四边形 AFBD 为正方形，那么ABC 应满足什么条件？请给出证明参考答案1证明：ABCD，BAEDCF.BEDF，BEFDFE.AEBCFD.在AEB 和CFD 中， AEBC
7、FD.ABCD.AB 平行且等于 CD.四边 BAE DCF，AE CF， AEB CFD， )形 ABCD 是平行四边形2证明：D、E 是 AB、AC 的中点，DEBC，BC2DE.又BE2DE，EFBE，BCBEEF，EFBC.四边形 BCFE 是菱形3(1)证明：DEAC，DFAB，四边形 AEDF 是平行四边形AEDF. (2)解：若 AD 平分BAC，四边形 AEDF 是菱形证明：DFAB，DAEFDA.AD平分BAC，DAEDAF. DAFFDA.AFDF.平行四边形 AEDF 为菱形 4.(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形ADBC.EDOFBO.O 为对角线 BD 的中点
8、，BOOD.又EODFOB，DOEBOF. (2)当DOE 等于 90 度时，四边形 BFDE 为菱形理由：由(1)得 DE 平行且等于 BF，四边形 BFDE 为平行四边形DOE90，BDEF.平行四边形 BFDE 为菱形 5.(1)ADBC.DDCE.O 是 CD 的中点， ODOC.AODEOC, AODEOC. (2)45 理由：由AODEOC，得 OAOE，ODOC，四边形 ADEC 是平行四边形BAEB45，ABAE.又在平行四边形 ABCD 中，AB 平行且等于CD，CDAE.四边形 ADEC 是矩形ACE90.CAE90AEC904545.CAEAEC. ACCE.矩形 ADE
9、C 是正方形 6.(1)证明：四边形 ABCD 为平行四边形CDAB，即 DFBE.又DFBE.四边形DEBF 为平行四边形又DEAB，即DEB90，四边形 DEBF 为矩形 (2)证明：四边形 DEBF 为矩形，BFC90.CF3，BF4，BC 5.四边形32 42ABCD 是平行四边形，ADBC5，ADDF5.DAFDFA.DFBE，DFAFAB，DAFFAB.即 AF 平分DAB. 7.(1)证明：点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，DE、EF 都是ABC 的中位线EFAB，DEAC.四边形 ADEF 是平行四边形 (2)证明：四边形 ADEF 是平行四边形，DEFBAC.
10、D，F 分别是 AB，CA 的中点，AH 是边 BC 上的高，DHAD，FHAF.DAHDHA，FAHFHA.DAHFAHBAC，DHAFHADHF，DHFBAC.DHFDEF. 8.(1)证明：过点 B 作 BMAC 交 DC 的延长线于点 M.ABCD，四边形 ABMC 为平行四边形ACBMBD，BDCMACD.在ACD 和BDC 中， AC BD， ACD BDC，CD DC， )ACDBDC.ADBC. (2)证明：连接 EH，HF，FG，GE.E，F，G，H 分别是AB，CD，AC，BD 的中点，HEAD，且 HE AD，FGAD，且 FG AD，EGBC 且12 12EG BC，H
11、E 平行且等于 FG.四边形 HFGE 为平行四边形由(1)知，ADBC，HEEG.12平行四边形 HFGE 为菱形EF 与 GH 互相垂直平分 9.(1)证明：CABACB，ABCB.平行四边形 ABCD 是菱形ACBD. (2)在RtAOB 中，cosCAB ，AB14，AO14 .在 RtABE 中，AOAB 78 78 494cosEAB ，AB14，AE AB16.OEAEAO16 . ABAE 78 87 494 15410.(1)证明：DEAF，AED90.又四边形 ABCD 是矩形，ADBC，B90.DAEAFB，AEDB90.又AFDA，ADEFAB(AAS)DEAB. (2)BFFC1，ADBCBFFC2.又ADEFAB，AEBF1.在 RtADE 中，AE AD.ADE30.又12DE ，l . AD2 AE2 22 12 3 EG n R180 30 3180 3611.(1)SABC S 四边形 AFBD. (2)ABC 为等腰直角三角形，即 ABAC，BAC90.理由如下：F 为 BC 的中点，CFBF.CFAD，ADBF.又ADBF，四边形 AFBD 为平行四边形ABAC，F 为 BC 的中点，AFBC.平行四边形 AFBD 为矩形BAC90，F 为 BC 的中点，AF BCBF.四边形 AFBD 为正方形12
