1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十四)双曲线方程及性质的应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.直线 l 过点( ,0)且与双曲线 x2-y2=2 仅有一个公共点,则这样的直线有 ( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条【解题指南】先判断点与曲线的位置关系,再结合题意求解.【解析】选 C.点( ,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故
2、这样的直线只有 3 条.2.(2015温州高二检测)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 ( )A. - =1 B. - =1C. - =1 D. - =1【解题指南】中点弦问题,借助点差法求解.【解析】选 B.由 c=3,设双曲线方程为 - =1,kAB= =1,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 - =1,- =1,-,得 - =0,又 N(-12,-15)为 AB 中点,所以 x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以 = .所以 = =1.所以 a2
3、=4.所以双曲线方程为 - =1.3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 ( )A. B. C.2 D.3【解题指南】用 a,b 表示|AB|,由|AB|=4a 求 a,b 的等量关系,进而求离心率.【解析】选 B.由题意不妨设 l:x=-c,则|AB|= ,又|AB|=22a,故 b2=2a2,所以 e= = = .4.(2015西安高二检测)过双曲线 - =1(a0,b0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B,C.若 = ,则双曲线
4、的离心率是 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.右顶点为 A(a,0),则直线方程为 x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标 B ,C ,则= , = .又 2 = ,所以 2a=b,所以 e= .5.已知 F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( )A.(1,+) B.(1,2 C.(1, D.(1,3【解析】选 D.依题意知|PF 1|-|PF2|=2a, = =4a+|PF2|8a,当且仅当 =|PF2|时等号成立.此时|PF 2|=2a,|PF1|=4a,因为|PF 1|+|PF2|2c
5、.所以 6a2c,即 10)的右焦点,O 为坐标原点,设 P 是双曲线 C 上一点,则POF 的大小不可能是 ( )A.15 B.25 C.60 D.165【解题指南】先求渐近线的夹角,再借助双曲线与渐近线的关系,数形结合求解.【解析】选 C.双曲线的渐近线方程为 y= x,所以渐近线的倾斜角为 30或150,所以POF 不可能等于 60.2.(2015冀州高二检测)过双曲线 - =1(a0)右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为 ( )A.( ,5) B.( , )C.
6、(1, ) D.(5,5 )【解析】选 B.由题意可知, 从而 40,b0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 .【解题指南】先由直接法确定点 P 的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率 e 的不等式进行求解.【解析】设 P(x,y),由题设条件,得动点 P 的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0(x1),即 x2+(y-2)2=1(x1),它是以(0,2)为圆心,1 为半径的圆(A,B 两点除外).又双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为 y= x,即 bxay=0,由题意,可得 1,即 1,所以
7、e= 1,故 1b0)两条渐近线分别交于点 A,B,若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .【解题指南】求出 A,B 的坐标,写出 AB 中点 Q 的坐标,因为|PA|=|PB|,所以 PQ与已知直线垂直,寻找 a 与 c 的关系.【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为 y= x 与 y=- x,分别与 x-3y+m=0(m0)联立方程组,解得A ,B ,设 AB 的中点为 Q,则 Q ,因为|PA|=|PB|,所以 PQ 与已知直线垂直,所以 kPQ=-3,解得 2a2=8b2=8(c2-a2),即 = , = .答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20
8、分)5.已知双曲线 3x2-y2=3,直线 l 过其右焦点 F2,且倾斜角为 45,与双曲线交于 A,B两点,试问 A,B 两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦 AB 的长.【解析】因为直线 l 过点 F2且倾斜角为 45,所以直线 l 的方程为 y=x-2.代入双曲线方程,得 2x2+4x-7=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 x1x2=- 0,所以 A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为 x1+x2=-2,x1x2=- ,所以|AB|= |x1-x2|= = =6.6.(2015北京高二检测)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A,B.(1)求实数 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后,整理得,(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故
