1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十五)抛物线及其标准方程(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2014安徽高考)抛物线 y= x2的准线方程是 ( )A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2【解题指南】将抛物线化为标准形式即可得出.【解析】选 A.由 y= x2得 x2=4y,所以抛物线的准线方程是 y=-1.【补偿训练】(2014陕西高考)抛物线 y2=4x 的准线方程为 .【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线 y2=4x 的准线方
2、程为 x=-1.答案:x=-12.(2015陕西高考)已知抛物线 y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为 ( )A.(-1,0) B.(1,0)C.(0,-1) D.(0,1)【解题指南】利用抛物线 y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),求得 =1,即可求出抛物线焦点坐标.【解析】选 B.因为抛物线 y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),所以 =1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).3.(2015长沙高二检测)过点 F(0,3)且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ( )A.y2=12x B.y2=-12xC.x2=12y D.x2=-12
3、y【解析】选 C.由题意知动圆圆心到点 F(0,3)的距离等于到定直线 y=-3 的距离,故动圆圆心的轨迹是以点 F 为焦点,直线 y=-3 为准线的抛物线.故动圆圆心的轨迹方程为 x2=12y.【补偿训练】已知动点 P(x,y)满足 = ,则 P点的轨迹是( )A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线【解析】选 D.由题意知,动点 P 到定点(1,2)和定直线 3x+4y-10=0 的距离相等,又点(1,2)不在直线 3x+4y-10=0 上,所以点 P 的轨迹是抛物线.4.抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 ( )A.2 B.3 C.4 D.5【解
4、析】选 D.抛物线的准线为 y=-1,所以点 A 到准线的距离为 5,又因为点 A 到准线的距离与点 A 到焦点的距离相等,所以距离为 5.【一题多解】选 D.因为 y=4,所以 x2=4y=16,所以 x=4,所以取 A(4,4),焦点坐标为(0,1),所以所求距离为 = =5.5.(2015山师附中高二检测)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A. B.2 C. D.【解析】选 A.如图,由抛物线定义知|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,则所求距离之和的最小值转化为求|PA|+|PF|的最小
5、值,则当 A,P,F 三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值.又 A(0,2),F ,所以(|PA|+|PF|) min=|AF|= = .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|a|,则 a 的取值范围是 .【解析】设 Q ,由|PQ|a|得 +t2a 2,t2(t2+16-8a)0,t 2+16-8a0,故 t28a-16 恒成立,则 8a-160,a2,故 a 的取值范围是(-,2.答案:(-,27.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 .【解析】由抛物线的
6、方程得 = =2,再根据抛物线的定义,可知所求距离为4+2=6.答案:68.若点 P 到 F(3,0)的距离比它到直线 x+4=0 的距离小 1,则动点 P 的轨迹方程为 .【解题指南】可以考虑运用直接法,设出 P 点坐标,列等式或考虑抛物线的定义.【解析】由题意知点 P 到 F(3,0)的距离比它到直线 x=-4 的距离小 1,则应有 P到(3,0)的距离与它到直线 x=-3 的距离相等.故 P 的轨迹为抛物线且以 F(3,0)为焦点,所以 =3,p=6,故抛物线方程为 y2=12x.答案:y 2=12x三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的
7、点 M(-3,m)到焦点的距离是 5.(1)求抛物线方程和 m 的值.(2)求抛物线的焦点和准线方程.【解析】(1)设抛物线方程为 y2=-2px(p0),则焦点坐标 F ,准线方程 x= .由抛物线定义知,点 M 到焦点的距离等于 5,即点 M 到准线的距离等于 5,则 3+ =5,所以 p=4,所以抛物线方程为 y2=-8x,又点 M(-3,m)在抛物线上,所以 m2=24,所以 m=2 ,所以所求抛物线方程为 y2=-8x,m=2 .(2)因为 p=4,所以抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程是 x=2.【补偿训练】(2013福建高考)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点
8、 A 的坐标为(10,0),点 C 的坐标为(0,10),分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1,A2,A9和 B1,B2,B9,连接 OBi,过 Ai作 x 轴的垂线与 OBi交于点Pi(iN *,1i9).求证:点 Pi(iN *,1i9)都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程.【解析】依题意,过 Ai(iN *,1i9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x=i,因为 Bi(10,i),所以直线 OBi的方程为 y= x,设 Pi坐标为(x,y),由 得:y= x2,即 x2=10y,所以 Pi(iN *,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线 E 的方程为 x2=10y.1
9、0.(2015长春高二检测)如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米.(1)以抛物线的顶点为原点 O,其对称轴所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.(2)若行车道总宽度 AB 为 7 米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到 0.1 米)?【解析】如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为 x2=-2py(p0),因为点 C(5,-5)在抛物线上,可解得 p= ,所以该抛物线的方程为 x2=-5y.(2)设车辆高 h 米,则|DB|=h
10、+0.5,故 D(3.5,h-6.5),代入方程 x2=-5y,解得 h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0 米.(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到 y 轴的距离为 ( )A. B.1 C. D.【解析】选 C.根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 (|AF|+|BF|)- = - = .【补偿训练】抛物线 y2=-2px(p0)的焦点恰好与椭圆 + =1 的一个焦点重合,则 p= ( )A.1 B.2
11、C.4 D.8【解析】选 C.椭圆中 a2=9,b2=5,所以 c2=a2-b2=4,所以 c=2,所以 F1(-2,0),F2(2,0),抛物线 y2=-2px(p0)的焦点 F 与 F1重合,所以-=-2,所以 p=4.2.(2015浙江高考)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF的面积之比是( )A. B.C. D.【解析】选 A. = = = = .二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.(2015深圳高二检测)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P
12、为抛物线上一点,PAl,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- ,那么|PF|= .【解析】如图所示,AFE=60,又 F(2,0),所以 E(-2,0),所以 =tan60,所以 AE=4 ,所以点 P 的坐标为(6,4 ),所以|PF|=|PA|=6+2=8.答案:84.(2014湖南高考)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则 = .【解题指南】由正方形的边长给出点 C,F 的坐标,代入抛物线方程求解.【解析】由题意可得 C ,F ,则 = +1.答案: +1三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)5.设点 P 是曲线 y2=4
13、x 上的一个动点.(1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值.(2)若 B(3,2),点 F 是抛物线的焦点,求|PB|+|PF|的最小值.【解析】(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,于是,问题转化为在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小.显然,连接 AF 交曲线于 P 点,故最小值为 = .(2)如图,自 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于 P1,此时,|P 1Q|=|P1F
14、|,那么|PB|+|PF|P 1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为 4.6.(2015苏州高二检测)如图所示,花坛的水池中央有一喷泉,水管 OP=1m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下.若最高点距水面 2m,P 距抛物线的对称轴 1m,则水池的直径至少应设计为多少米(精确到 1m)?【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为 x2=-2py(p0).依题意有 P(1,-1)在此抛物线上,代入抛物线方程,得 p= .故得抛物线方程为 x2=-y.因为点 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x= ,即|AB|= ,则|AB|+1= +1,
