1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 十二双曲线及其标准方程(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.已知 F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点 P 满足|PF 1|-|PF2|=2a,当 a=3 和 a=5 时,P 点的轨迹为 ( )A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线【解析】选 D.当 a=3 时,|PF 1|-|PF2|=60,cossin,所以方程为 + =1,故方程表示焦点在 y 轴上的
2、椭圆.5.与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是 ( )A. -y2=1 B. -y2=1C. - =1 D.x2- =1【解析】选 B.椭圆的焦点 F1(- ,0),F2( ,0),由双曲线定义知 2a=|PF1|-|PF2|=| - |=| - |=2 ,所以 a= ,所以 b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为-y2=1.【补偿训练】椭圆 + =1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 m 的值是 ( )A.1 B.1 C.-1 D.不存在【解析】选 A.验证法:当 m=1 时,m 2=1,对椭圆来说,a 2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说,a 2=1,b2=
3、2,c2=3,故当 m=1 时,它们有相同的焦点.直接法:显然双曲线焦点在 x 轴上,故 4-m2=m2+2.所以 m2=1,即 m=1.6.一动圆 P 过定点 M(-4,0),且与已知圆 N:(x-4)2+y2=16 相切,则动圆圆心 P 的轨迹方程是 ( )A. - =1(x2) B. - =1(x2)C. - =1 D. - =1【解析】选 C.由已知 N(4,0),内切时,定圆 N 在动圆 P 的内部,有|PN|=|PM|-4,外切时,有|PN|=|PM|+4,故|PM|-|PN|=4,因此 2a=4,2c=8,所以 b2=12,点 P 的轨迹是双曲线 - =1.【误区警示】本题易把“
4、相切”理解为外切或内切,错选 A 或 B.7.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M 在双曲线上,且 MF1x轴,则 F1到直线 F2M 的距离为 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.由双曲线的方程知,a= ,b= ,所以 c=3,F1(-3,0),F2(3,0).将 x=-3 代入双曲线的方程得 y2= .不妨设点 M 在 x 轴的上方,则 M .所以|MF 1|= ,|MF2|= .设点 F1到直线 F2M 的距离为 d,则有 |MF1|F1F2|= |MF2|d,所以 d= .8.已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为 F1(- ,0),点 P 位于该双曲线
5、上,线段 PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是 ( )A. -y2=1 B.x2- =1C. - =1 D. - =1【解析】选 B.设双曲线方程为 - =1,因为 c= ,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以 - =1.由于线段 PF1的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( ,4).代入双曲线方程得 - =1,解得 a2=1 或 a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2- =1.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3),则 k 的值为_.【解析】将双曲线方程化为 kx2- y2=1,即 - =1.因为一个
6、焦点是(0,3),所以焦点在 y 轴上,所以 c=3,a2=- ,b2=- ,所以 a2+b2=- - =- =c2=9.所以 k=-1.答案:-110.设 F1,F2是双曲线 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 =0,则|PF1|PF2|=_.【解析】因为|PF 1|-|PF2|=4,又 PF1PF 2,|F1F2|=2 ,所以|PF 1|2+|PF2|2=20,所以(|PF 1|-|PF2|)2=20-2|PF1|PF2|=16,所以|PF 1|PF2|=2.答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1,F2,若双曲线
7、上一点 P 使得F 1PF2=60,求F 1PF2的面积.【解题指南】在PF 1F2中,由余弦定理能得到|F 1F2|,|PF1|,|PF2|三者满足的关系式,再结合双曲线的定义,求出|PF 1|PF2|的值,进而求出F 1PF2的面积.【解析】由 - =1,得 a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF 1|-|PF2|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,所以 102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,所以|PF 1|PF2|=64,所以 = |PF1|PF2|sinF 1PF2= 64 =16 .【拓展延伸】双曲线的定义对
8、于解题的主要作用双曲线的定义对于解题具有双向作用:(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.12.在ABC 中,B(4,0),C(-4,0),动点 A 满足 sinB-sinC= sinA,求动点 A 的轨迹方程.【解析】设 A 点的坐标为(x,y),在ABC 中,由正弦定理,得= = =2R,代入 sinB-sinC= sinA,得 - = ,又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.因此 A 点的轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且 2a=4,2c=8,所以 a=2,c=4,b2=12.所以 A 点的轨迹方程为 - =1(x2).【能力挑战题】当 0180时,方程 x2cos+y 2sin=1 表示的曲线如何变化?【解析】(1)当 =0时,方程为 x2=1,它表示两条平行直线 x=1.(2)当 0 0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆.(3)当 =90时,方程为 y2=1,它表示两条平行直线 y=1.(4)当 90180时,方程为 - =1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线.(5)当 =180时,方程为 x2=-1,它不表示任何曲线.关闭 Word 文档返回原板块
