1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 二十二函数的单调性与导数(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2016广州高二检测)函数 f(x)= x2-lnx 的单调递减区间为 ( )A.(-1,1 B.(0,1C.1,+) D.(0,+)【解析】选 B.由题意知,函数的定义域为(0,+),又由 f(x)=x- 0,解得 00 时,y的符号不确定;B 中,y=e x+xex=(x+1)ex,当 x0 时,y0,故在(0,+)内为增函数;C 中:y=3x 2-1
2、,当 x0 时,y-1;D 中,y= -1,当 x0 时,y-1.3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是 ( )A.y=2-3x2 B.y=lnxC.y= D.y=sinx【解析】选 C.A 中,y=-6x,当-10,当 00 对 x(-1,1)恒成立,所以函数 y=sinx 在(-1,1)上是增函数.4.(2015湖南高考)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是 ( )A.奇函数,且在 上是增函数B.奇函数,且在 上是减函数C.偶函数,且在 上是增函数D.偶函数,且在 上是减函数【解题指南】先判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性.【解析】选 A.显然,f(
3、x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又因为 f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数,因为 f(x)= + = ,在(0,1)上 f(x)0,所以 f(x)在(0,1)上是增函数.5.设 f(x)= x3+ax2+5x+6 在区间1,3上为单调函数,则实数 a 的取值范围为 ( )A.- ,+)B.(-,-3C.(-,-3- ,+)D.- , 【解析】选 C.f(x)=x 2+2ax+5,当 f(x)在1,3上单调递减时,由 得a-3;当 f(x)在1,3上单调递增时,f(x)0 恒成立,则有 =4a 2-450 或 或得 a- ,+).综上 a 的
4、取值范围为(-,-3- ,+).6.(2016烟台高二检测)设函数 f(x)= ax3-x2(a0)在(0,3)内不单调,则实数a 的取值范围是 ( )A.a B.00)在(0,3)内不单调,所以 f(x)在(0,3)内有零点.而 f(x)=ax 2-2x 有零点 0, (a0),所以 0 .7.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4-x),且当 x2 时,导函数 f(x)满足(x-2)f(x)0.若 20 可得 x2 时 f(x)0,所以 f(x)在(2,+)是增函数.因为 24,234-log2a2,所以 f(4-log2a)2f(1)【解题指南】首先对 x
5、分段讨论,解不等式求出 f(x)的符号,判断出 f(x)的单调性,然后利用函数的单调性比较出函数 f(0),f(2)与 f(1)的大小关系,最后利用不等式的性质即可得出所选的答案.【解析】选 C.因为(x-1)f(x)0,所以当 x1 时,f(x)0;当 x0,那么下列不等式成立的是 ( )A.f(1) B.f(2) f(2) D.f(0)e2f(4)【解析】选 A.令 g(x)= f(x),则 g(x)= f(x)+ f(x)= (f(x)+2f(x),因为函数 f(x)满足 f(x)+2f(x)0,所以 g(x)0,所以函数 g(x)在定义域内为增函数,所以 g(1)g(0),所以 f(1
6、)f(0),故 f(1).【补偿训练】已知偶函数 y=f(x)对于任意的 x 满足 f(x)cosx+f(x)sinx0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有 .(1) f f(3)f(0)0,且f(x)cosx+f(x)sinx=f(x)cosx-f(x)(cosx),所以可构造函数 g(x)= ,则 g(x)= 0,所以 g(x)为偶函数且在 上单调递增,所以有 g =g = =2f ,g =g = = f ,g = = f .由函数单调性可知 g g(0)=f(0),所以(3)正确.答案:(2)(3)(4)二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.若函数
7、f(x)=- x3+ x2+2ax 在 上存在单调递增区间,则 a 的取值范围是 .【解析】对 f(x)求导,得 f(x)=-x 2+x+2a=- + +2a.当 x 时,f(x)的最大值为 f = +2a.令 +2a0,解得 a- .答案:10.使 y=sinx+ax 在 R 上是增函数的 a 的取值范围为 .【解析】因为 f(x)=cosx+a0,所以 a-cosx,又-1cosx1,所以 a1.答案:1,+)【误区警示】解答本题易出现以下两种错误一是认为 f(x)0,得出 a1;二是由 a-cosx,得出 a-1 的结论.三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11. (2016北京
8、高考)设函数 f(x)=xea-x+bx，曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4.(1)求 a，b 的值.(2)求 f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)=e a-x-xea-x+b，由切线方程可得 a2febe,1.解得 a=2，b=e.(2)f(x)=xe2-x+ex，f(x)=(1-x)e 2-x+e.令 g(x)=(1-x)e2-x，则 g(x)=-e 2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2).令 g(x)=0 得 x=2.当 x2 时，g(x)0，g(x)单调递减；当 x2 时，g(x)0,g(x)单调递增.所以 x=2 时，g(x)取得极
9、小值-1，也是最小值.所以 f(x)=g(x)+ee-10.所以 f(x)的增区间为(-,+)，无减区间.12.(2016天津高二检测)已知函数 f(x)=x3-ax-1.(1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围.(2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,得 f(x)=3x 2-a.因为 f(x)在(-,+)上是单调增函数,所以 f(x)=3x 2-a0 在(-,+)上恒成立,即 a3x 2对 x(-,+)恒成立.因为 3x20,所以只需 a0.又 a=0 时,f(x)=3x
10、 20,f(x)在实数集 R 上单调递增,所以 a0.(2)假设 f(x)=3x 2-a0 在(-1,1)上恒成立,则 a3x 2在 x(-1,1)时恒成立.因为-10,函数 f(x)单调递增.故当 a=-1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).(2)因为 f(x)=lnx-ax+ -1,所以 f(x)= -a+ =- ,x(0,+).令 g(x)=ax2-x+1-a,x(0,+).当 a=0 时,g(x)=-x+1,x(0,+),当 x(0,1)时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增.当 010,所以当 x(0,1)时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增;x 时,g(x)0,此时 f(x)0(或 f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.(2)含参的函数:讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,
