1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 十椭圆的简单几何性质(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.椭圆(m+1)x 2+my2=1 的长轴长是 ( )A. B.C. D.-【解析】选 C.椭圆方程可简化为 + =1,由题意知 m0,所以b0)，右焦点 F(c,0)，2xyab则直线 l 的方程为 =1，即 bx+cy-bc=0，由题意可知 b，xycb 2c1又 a2=b2+c2，得 b2c2= b2a2，所以 e=14c1.a27.(2016衡水高二检测)
2、已知 F1,F2是椭圆的两个焦点,满足 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )A.(0,1) B.C. D.【解析】选 C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a,b,c,因为 =0,所以 M 点的轨迹是以原点 O 为圆心,半焦距 c 为半径的圆.又 M 点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即 cb0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 M 上任一点,且 的最大值的取值范围是c 2,3c2,其中 c= ,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围是 ( )A. B.C. D.【解析】选 B.设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则 =(-c-x,-
3、y),=(c-x,-y), =x2+y2-c2.又 x2+y2可看作 P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x 2+y2)max=a2,所以( )max=b2,所以 c2b 2=a2-c23c 2,即 e 2 ,所以 e .二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2016台州高二检测)若椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),点 P 在椭圆上,且PF 1F2的最大面积是 12,则椭圆的短半轴长为_.【解析】设 P 点到 x 轴的距离为 h,则 = |F1F2|h,当 P 点在 y 轴上时,h 最大,此时 最大.因为|F 1F2|=2c=8,所以 h=3,即 b=3.答案:31
4、0.(2016嘉兴高二检测)已知椭圆 + =1 的左顶点为 A1,右焦点为F2,点 P 为该椭圆上一动点,则当 取最小值时| + |的取值为_.【解析】由已知得 a=2,b= ,c=1,所以 F2(1,0),A1(-2,0),设 P(x,y),则 =(1-x,-y)(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点 P(x,y)在椭圆上,所以 y2=3- x2,代入上式,得 = x2+x+1= (x+2)2.又 x-2,2,所以当 x=-2 时, 取得最小值.所以 P(-2,0),求得| + |=3.答案:3三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.已知 F1,F2是椭圆的两个焦点
5、,P 为椭圆上一点,F 1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F 1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)不妨设椭圆方程为 + =1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a.在PF 1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a 2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当 m=n 时取等号).所以 ,即 e .又 00,所以 b=c,结合 b2=1-c2得 b2= ,所以椭圆的方程为 x2+ =1,即 x2+2y2=1.【能力挑战题】设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= ,已知点
6、P 到这个椭圆上的点的最远距离为 ,求这个椭圆方程.【解题指南】先设出椭圆的标准方程,根据离心率得到 a,b 的关系,再设 M(x,y)为椭圆上的点,用两点间距离表示出|PM|,最后利用二次函数知识求解椭圆的标准方程.【解析】设椭圆方程为 + =1(ab0),M(x,y)为椭圆上的点,由 =得 a=2b,|PM|2=x2+ =-3 +4b2+3(-byb),若 0 ,故矛盾.若 b ,则当 y=- 时,4b 2+3=7,b2=1,从而 a2=4.所求方程为 +y2=1.【补偿训练】已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是 2 .(1)求椭圆 C 的方程.(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当| |最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆 C 的方程为 + =1.(2)设 P(x0,y0),且 + =1,所以| |2=(x0-m)2+= -2mx0+m2+12 = -2mx0+m2+12= (x0-4m)2-3m2+12.所以| |2为关于 x0的二次函数,开口向上,对称轴为 x0=4m.由题意知,当 x0=4 时,| |2最小,所以 4m4,所以 m1.又点 M(m,0)在椭圆长轴上,所以 1m4.关闭 Word 文档返回原板块
