1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十三)函数的极值与导数(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2015天津高二检测)函数 y=f(x)是定义在 R 上的可导函数,则下列说法不正确的是 ( )A.若函数在 x=x0时取得极值,则 f(x 0)=0B.若 f(x 0)=0,则函数在 x=x0处取得极值C.若在定义域内恒有 f(x)=0,则 y=f(x)是常数函数D.函数 f(x)在 x=x0处的导数是一个常数【解析】选 B.f(x 0)=0 是函数在
2、x=x0处取得极值的必要不充分条件,故 B 错误,A,C,D 均正确.2.设函数 f(x)=xex,则 ( )A.x=1 为 f(x)的极大值点B.x=-1 为 f(x)的极大值点C.x=1 为 f(x)的极小值点D.x=-1 为 f(x)的极小值点【解析】选 D.f(x)=e x+xex,令 f(x)=0 得 x=-1,当 x-1 时,f(x)0,故 x=-1 时取极小值.【补偿训练】设函数 f(x)= +lnx,则 ( )A.x= 为 f(x)的极大值点B.x= 为 f(x)的极小值点C.x=2 为 f(x)的极大值点D.x=2 为 f(x)的极小值点【解析】选 D.f(x)=- + =
3、,令 f(x)=0 得,x=2,当 x2 时,f(x)0,故 x=2 时取极小值.3.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 ( )A.-12 D.a6【解析】选 D.f(x)=3x 2+2ax+a+6,函数 f(x)有极大值和极小值,则f(x)=3x 2+2ax+a+6=0 有两不相等的实数根,即有 =(2a) 2-12(a+6)0,解得 a6.4.(2015济宁高二检测)已知 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0),则f(x)的极值情况是 ( )A.极大值为 f ,极小值为 f(1)B.极大值为 f(1),极小值
4、为 fC.极大值为 f ,没有极小值D.极小值为 f(1),没有极大值【解析】选 A.由函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于点(1,0)得:p+q=1,p2+4q=0.解出 p=2,q=-1,则函数 f(x)=x3-2x2+x,则 f(x)=3x 2-4x+1,令 f(x)=0 得到:x=1 或 x= .当 x1 或 x 时,函数单调递增;当 ln2 时,f(x)0,函数单调递增;故函数的减区间为(-,ln2),增区间为(ln2,+),当 x=ln2 时函数取极小值,极小值 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.5.若 a0,b0,且函数 f(x)=4
5、x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 ( )A.2 B.3 C.6 D.9【解题指南】利用函数在 x=1 处有极值得到 a,b 的关系式,再利用基本不等式求最大值.【解析】选 D.f(x)=12x 2-2ax-2b,因为函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,所以 f(1)=12-2a-2b=0,即 a+b=6,则 ab =9(当且仅当 a=b=3 时,等号成立).二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2在 x=-1 时有极值 0,则 m+n= .【解析】f(x)=3x 2+6mx+n,
6、则代入解得 或当 m=1,n=3 时,f(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)20,函数 f(x)无极值,舍去.故 m=2,n=9,故 m+n=11.答案:117.(2015陕西高考)函数 y=xex在其极值点处的切线方程为 .【解析】依题意得 y=e x+xex,令 y=0,可得 x=-1,所以 y=- .因此函数 y=xex在其极值点处的切线方程为 y=- .答案:y=-8.(2015邢台高二检测)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处取得极值 10,则 f(-1)= .【解析】f(x)=3x 2+2ax+b,由题意得得解得: 或 所以 f(x)=x3-3x2+3x+
7、9 或 f(x)=x3+4x2-11x+16,故 f(-1)=2 或 f(-1)=30.答案:2,30三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2015安徽高考)已知函数 f(x)= (a0,r0),(1)求 f(x)的定义域,并讨论 f(x)的单调性.(2)若 =400,求 f(x)在(0,+)内的极值.【解析】(1)由题意知 x-r,所以定义域为 (-r,+),f(x)= = ,f(x)= = ,所以当 xr 时,f(x)0.因此,f(x)的单调递减区间是 ,(r,+);f(x)的单调递增区间是(-r,r).(2)由(1)可知 f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减
8、,因此,x=r 是 f(x)的极大值点,所以 f(x)在(0,+)内的极大值为 f(r)= = =100.10.设 f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,(1)讨论该函数的单调性.(2)设 g(a)为函数 f(x)的极大值,证明:g(a)0,由 f(x)0,可得 xa,由 f(x)0,可得 x-a,由 f(x)0,函数的单调递增区间为(-,-a),(a,+),单调递减区间为(-a,a);a0,所以 g(a)在(-,0)上为增函数,所以 g(a)0 时,g(a)=g(-a)0 时,解得 x-1,当 f(x)0 时,解得-2x-1,所以函数的单调增区间为(-,-2),(-1,+);单调减区间为(
9、-2,-1).(2)f(x)=(2x+a)e x+(x2+ax+a)ex=x2+(2+a)x+2aex=(x+a)(x+2)ex=0,所以 x=-a,或 x=-2,列表如下:因为 a2,所以-a-2.x (-,-2) -2 (-2,-a) -a (-a,+)f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大 极小 由表可知f(x)极大 =f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,解得 a=4-3e22,所以存在实数 a2,使 f(x)的极大值为 3.6.(2015重庆高考)设函数 f(x)= (aR).(1)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若 f(x)在 上为减函数,求 a 的取值范围.【解析】(1)对 f(x)求导得 f(x)= = .因为 f(x)在 x=0 处取得极值,所以 f(0)=0,即 a=0.当 a=0 时,f(x)= ,f(x)= ,故 f(1)= ,f(1)= ,从而y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y- = (x-1),化简得 3x-ey=0.(2)由(1)知 f(x)= ,令 g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由 g(x)=0 解得 x1= ,x2= .当 xx1时,g(x)0,即 f(x)0,故 f(x)为减函数;
