1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 十七抛物线方程及性质的应用(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2016大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的直线有 ( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.0 条【解析】选 C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为 x=0,满足与抛物线y2=4x 只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为 y=kx+1,再与y2=4x 联立整理得 k2x2+(2k-4)x+1=0,当 k=0
2、时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当 k0 时,由 =0 可得 k 值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有 3 条.2.抛物线 y2=3x 关于直线 y=x 对称的抛物线方程为 ( )A.y2= x B.x2=3yC.x2= y D.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于 y=x 的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选 B.因为点(x,y)关于 y=x 的对称点为(y,x),所以 y2=3x 关于y=x 对称的抛物线方程为 x2=3y.3.抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 ( )A. B. C. D.3【解析】选 A.设抛物线 y=-x
3、2上一点为(m,-m 2),该点到直线 4x+3y-8=0的距离为 ,当 m= 时,取得最小值为 .【一题多解】选 A.设与 4x+3y-8=0 平行的直线 l 方程为:4x+3y+m=0,由 消去 y 得,3x 2-4x-m=0,由 =0 得,16+12m=0,解得 m=- .所以 l 的方程为 4x+3y- =0.因此抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是 d= .4.(2016成都高二检测)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当FPM 为等边三角形时,其面积为 ( )A.2 B.4 C.6 D.4【解析】选
4、D.根据题意知,FPM 为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,所以 PM抛物线的准线.设 P ,则 M(-1,m),等边三角形边长为 1+ ,又由 F(1,0),|PM|=|FM|,得 1+ = ,得 m=2 ,所以等边三角形的边长为 4,其面积为 4 .5.(2015全国卷)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,点 A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则= ( )A.3 B.6 C.9 D.12【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为 + =1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得 解得 a=4,由 b2=a2-c2=16-4
5、=12,所以椭圆 E 的方程为 + =1,因为抛物线 C:y2=8x 的准线为 x=-2,将 x=-2 代入到 + =1,解得 A(-2,3),B(-2,-3),故 =6.6.已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 ( )A.x=1 B.x=-1C.x=2 D.x=-2【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:-得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为 y1+y2=4,所以 = = =k=1,所以 p=2.所以所求抛物线的准线方程为 x=
6、-1.7.(2016兰州高二检测)斜率为 1,过抛物线 y= x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( )A.8 B.6 C.4 D.10【解析】选 A.设弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为 y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得: x2-x-1=0,所以 x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长 l= =8.8.(2016商丘高二检测)已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为 ( )A. B. C.1 D.2【解析】选 D.由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过 A 作 AA1l 于 A1,过 B 作
7、 BB1l 于 B1,设弦 AB 的中点为 M,过 M 作 MM1l 于 M1,则|MM 1|= .|AB|AF|+|BF|(F 为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|6,|AA 1|+|BB1|6,2|MM1|6,|MM 1|3,故 M 到 x 轴的距离 d2.【拓展延伸】 “两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A. B.3 C. D.【解析
8、】选 A.抛物线 y2=2x 的焦点为 F ,准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点 P到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于= .二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2016临沂高二检测)直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k=_.【解析】当 k=0 时,直线与抛物线有唯一交点,当 k0 时,联立方程消y 得:k 2
9、x2+4(k-2)x+4=0,由题意 =16(k-2) 2-16k2=0,所以 k=1.答案:0 或 110.抛物线 y2=x 上的点到直线 x-2y+3=0 的距离最短的点的坐标是_.【解析】设与直线 x-2y+3=0 平行的直线方程为 x-2y+m=0,与抛物线方程 y2=x 联立成方程组 消去 x 得 y2-2y+m=0,令 =(-2)2-4m=0,解得 m=1,代入 y2-2y+m=0 中得 y2-2y+1=0,解得 y=1,把 y=1 代入y2=x 中,解得 x=1,则所求点的坐标是(1,1).答案:(1,1)三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.(2016宁波高二检测)
10、已知抛物线 C:y2=4x,F 是抛物线 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.(1)如果 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程.(2)设|FA|=2|BF|,求直线 l 的方程.【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因为 y2=4x,所以 F(1,0),又因为直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y=x-1,代入 y2=4x,得 x2-6x+1=0,由根与系数的关系得 易得 AB 的中点,即圆心的坐标为(3,2),又|AB|=x 1+x2+p=8,所以圆的半径 r=4,所以所求的圆的方程为(x-3) 2+(y-2)
11、2=16.(2)因为|FA|=2|BF|,所以 =2 ,而 =(x1-1,y1), =(1-x2,-y2),所以易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x-1),代入 y2=4x,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系得因为 x1-1=2(1-x2),所以 或 所以 k=2 ,所以直线 l 的方程为 y=2 (x-1).【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在 x 轴的负半轴的抛物线截直线y=x+ 所得的弦长|P 1P2|=4 ,求此抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为 y2=-2px(p0),把直线方程与抛物线方程联立得 消元得 x2+
12、(3+2p)x+ =0,判别式 =(3+2p) 2-9=4p2+12p0,解得 p0 或 p0)中,得 y2=-2x.综上,所求抛物线方程为 y2=-2x.12.过抛物线 y2=2px(p0)上一定点 P(x0,y0)(y00)分别作斜率为-k和 k 的直线 l1, l2,设 l1, l2与抛物线 y2=2px 交于 A,B 两点,证明直线 AB的斜率为定值.【证明】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 x 得y2- y+ -2px0=0,由根与系数的关系得 y0+y1= ,所以 y1= -y0.同理 y0+y2=- ,所以 y2=- -y0.由,得 y1+y2=-2y0,所以 k
13、AB= = = =- ,即直线 AB 的斜率为定值.【能力挑战题】已知抛物线方程为 y2=-2px,其准线方程为 x= ,直线 l:y=k(x+1)与抛物线交于 A,B 两个不同的点,O 为坐标原点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB 的面积等于 时,求 k 的值.【解析】(1)因为抛物线 y2=-2px 的准线方程为 x= ,所以 = ,得 p= ,即抛物线的方程为 y2=-x,联立 y=k(x+1),消去 x 后,整理得:ky 2+y-k=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得:y 1+y2=- ,y1y2=-1,因为 A,B 两点在抛物线 y2=-x 上,所以 =-x1, =-x2, =x1x2,所以 kOAkOB= = = =-1,所以 OAOB.(2)设直线 l 与 x 轴交于 N,由题意可得 k0,令 y=0,则 x=-1,即 N(-1,0),因为 SOAB =SOAN +SOBN = |ON|y1+ |ON|y2= 1|y1-y2|= = ,所以 k=- 或 k= .关闭 Word 文档返回原板块
