1、3.3.2 简单的线性规划问题(第 1 课时)学习目标1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念.3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.合作学习一、设计问题,创设情境问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如,某工厂用 A,B 两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下表:产品所需配件及数量耗时(小时/件)利润(万元/件)甲产品A 配件 4 个 1 2乙产品B 配件 4 个 2 3该厂每天最多可从配件厂获得
2、 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天工作 8 小时计算,怎样安排生产才能使利润最大?问题 1:利润由哪些量来决定?有哪些数量关系?根据这些数量关系,可以设出几个未知数?请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系.问题 2:有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题?问题 3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么,怎样获取符合条件的 x,y 的值呢?二、信息交流,揭示规律问题 4:若把不等式组改变为求 z=2x+3y 的最大值,这种方法还可以用吗?那样如何求解呢?问题 5:大家在刚才的代入法求解中,有没有发现点 A(0
3、,3),B(3,1)使得 z=2x+3y 都为 9,也就是使 2x+3y=9 成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的点吗?点(4,1)会对应着类似的直线吗?问题 6:如何从几何角度认识 z=2x+3y?它对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行直线?那么,怎样求 z 的最大值呢?请大家自己探究一下.三、运用规律,解决问题【例题】设 z=2x+y,式中变量 x,y 满足条件求 z 的最大值和最小值.问题 7:请大家反思一下,解答线性规划问题的一般步骤是什么.四、变式训练,深化提高变式训练 1:设 z=6x+10y,式中 x,y 满足条件求 z 的最大值和最小值.变式训练
4、 2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数 z=x-3y 的最大值和最小值分别对应可行域中的哪个点?问题 8:目标函数 z=ax+by 中,z 与纵截距的关系主要由哪个字母决定?问题 9:刚才有的同学得出目标函数 z=x-3y 的最大值和最小值分别对应可行域中的点 C和点 B,这是什么原因造成的呢?五、反思小结,观点提炼问题 10:目标函数 z=ax+by 中有几个自变量?我们这节课学习的线性规划问题,体现了什么数学思想?那么我们在四个步骤中应该注意什么问题?参考答案一、设计问题,创设情境问题情境:问题 1:生产的甲、乙产品的数量.等量关系:使用的 A 配件数量=甲产品数量4;使用的 B
5、 配件数量=乙产品数量4;利润=2甲产品数量+3乙产品数量.不等关系:生产甲产品总耗时+生产乙产品总耗时8;使用的 A 配件数量16;使用的 B 配件数量12;甲、乙产品的数量都是自然数.甲产品数量 x、乙产品数量 y、利润 z.即问题 2:已知实数 x,y 满足求 z=2x+3y 的最大值.问题 3:碰到过;用函数求最值、几何法求最值;不能,因为没有关于 x,y 的等式,不能消元;可以画出不等式组表示的平面区域,然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出,代入 z=2x+3y,通过比较求得最大值.二、信息交流,揭示规律学生探究 1:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.可以求得平面区
6、域内满足 x,yN 的点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2).将坐标代入,比较知道,当 x=4,y=2 时,z 最大为 14.问题 4:不能,点有无数个,不可能一一验证. 问题 5:2x+3y=9 表示一条直线,而点 A(0,3),B(3,1)都在直线 2x+3y=9 上,所以都能使得2x+3y=9 成立;有,如图所示的平面区域内位于线段 AC 上的所有的点,都使 2x+3y=9,即 z 的值等于 9;对应着直线 2
7、x+3y=11.问题 6:当 z 变化时,它表示一族平行直线.将 z=2x+3y 化为斜截式为 y=-x+,所以直线的斜率确定;而且这组直线必须和平面区域有公共点.因为当纵截距最大时,z 就最大.所以,只需作出平行直线后,找到与 y 轴的交点最靠上的那条直线所经过的一个点就可以求 z 的最大值了.学生动手操作后,得出结论:当直线平移经过点 P 时,位置最靠上,也就是纵截距最大,从而 z 最大.把点 P(4,2)代入 z=2x+3y 后,得到 zmax=14.三、运用规律,解决问题【例题】解:由题意,变量 x,y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.由图知
8、,原点(0,0)不在公共区域内,当 x=0,y=0 时,z=2x+y=0,即点(0,0)在直线l0:2x+y=0 上,作一组平行于 l0的直线 l:2x+y=t,tR,可知:当 l 在 l0的右上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x+y0,即 t0,而且,直线 l 往右平移时,t 随之增大.由图象可知,当直线 l 经过点 A(5,2)时,对应的 t 最大,当直线 l 经过点 B(1,1)时,对应的 t 最小,所以,z max=25+2=12,zmin=21+1=3.问题 7:一画(可行域);二移(直线);三求(最优解);四答(最大值).四、变式训练,深化提高变式训练 1:解:由引例可知:
9、直线 l0与 AC 所在直线平行,则由引例的解题过程知,当 l 与AC 所在直线 3x+5y-25=0 重合时 z 最大,此时满足条件的最优解有无数多个,当 l 经过点B(1,1)时,对应 z 最小,将 AC 所在直线上任意一点,如 A(5,2),代入 z=6x+10y,得zmax=65+210=50,zmin=61+101=16.变式训练 2:分别对应可行域中的点 C 和点 A.问题 8: b 的符号,当 b0 时,直线 l 在最上(下)面时 z 最大(小);当 b0 时,直线 l 在最上(下)面时 z 最小(大).问题 9:目标函数对应直线的斜率比可行域中直线 x-4y+4=0 的斜率大,但是在平移直线时,所作直线没有与直线 x-4y=0 保持平行而是发生偏斜,使平行后所得到的直线斜率小于.五、反思小结,观点提炼问题 10:两个;数形结合;一画要准;二移直线斜率要相对准确;三求最优解位置要准确.
