1、1第 2 课时 基本不等式的应用1复习巩固基本不等式2能利用基本不等式求函数的最值，并会解决有关的实际应用问题1重要不等式 a2 b22 ab(1)不等式的证明：课本应用了图形间的面积关系推导出了 a2 b2_，也可用分析法证明如下：要证明 a2 b22 ab，只要证明 a2 b22 ab0，即证明( a b)20，这显然对a， bR 成立，所以 a2 b22 ab，当且仅当 a b 时等号成立(2)关于不等式 a2 b22 ab 的几点说明：不等式中的 a， b 的取值是_实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式公式中等号成立的条件是_，如果 a， b 不能相等，则 a2 b22
2、ab 中的等号不能成立不等式 a2 b22 ab 可以变形为 ab ，4 ab a2 b22 ab,2(a2 b2)( a b)a2 b222等【做一做 1】 不等式 a212 a 中等号成立的条件是( )A a1 B a1C a1 D a02基本不等式如果 a， b 为正实数，那么 _，当且仅当 a b 时，式中等号成立a b2我们应该从以下几个方面来理解基本不等式：(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：一是其成立的条件是 a， b 都是_；二是“当且仅当_”时等号成立(2)它还可以描述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的_ 平均值(3)基本不等式是
3、非常重要又极为有用的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理体系，奠定了不等式的理论基础【做一做 2】 已知 0 ，则 2sin 的最小值是_12sin 答案：1(1)2 ab (2)任意 a b【做一做 1】 B2. (1)正数 a b (2)几何 ab【做一做 2】 2利用基本不等式解应用题的步骤剖析：(1)审清题意，读懂题；(2)恰当地设未知数，通常情况下把欲求最值的变量看成函数 y；2(3)建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域，把实际问题转化为求函数最值的问题；(4)在函数的定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；(5)根据实际问题写出答案不等式的应用题大
4、都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到若取不到，则必须利用函数的单调性去求函数的最值题型一 实际应用题【例题 1】 某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048 x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 )购 地 总 费 用建 筑 总 面 积分析：转化为求函数的最小值反思：在应用基本不等式解决实际问题时，应
5、注意如下的思路和方法：先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；根据实际背景写出答案题型二 易错辨析【例题 2】 求函数 y 的最小值x2 3x2 2错解： y x2 2 1x2 2 x2 2x2 2 1x2 2 2，故 y 有最小值 2.x2 21x2 2错因分析：错解中在用基本不等式求最值时，没考虑到定理成立的条件，实际上不论x 取何值，总有 .因此本题不能用基本不等式求解x2 21x2 2反思：利用基本不等式求函数的最值时，若出现等号不成立时，则可借助于函数的单调性来解决答案：【例
6、题 1】 解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则 f(x)(56048 x)2 16010 0002 000x56048 x (x10， xN *)10 800x所以 f(x)56048 x10 800x5602 2 000，4810 800当且仅当 48x ，10 800x即 x15 时取等号因此，当 x15 时， f(x)取最小值 f(15)2 000，即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少， 该楼房应建为 15 层3【例题 2】 正解：设 t ，则 y t ， t .x2 21t 2可以证明 y t 在 ，)上为增函数，1t 2则 y ，212 322即 ymin ，此时 t
7、 ，则 x0.322 21 函数 y3 x3 2 x的最小值为_2 两直角边之和 为 4 的直角三角形面积的最大值等于_3如 图，有一张单栏的竖向张贴的海报， 它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽 2 dm，左右空白各宽 1 dm，则四周空白部分面积的最小值是_ dm 2.4 函数 y (x5)的最小值为_135 已知某企业原有员工 2 000 人，每人每年可为企业创利 3.5 万元为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴
8、 0.5 万元据评估，当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利 万元；当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时，留1625x岗员工每人每年可为企业多创利 0.9 万元为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？答案：16 2.2 3.56 4.5解：设重组后，该企业年利润为 y 万元当待岗人员不超过 1%时，由 0， x2 0001%20，2得 0 x20( xN)，则 y(2 000 x) 163.50.52x ；6590.4当待岗人员超过 1%且不超过 5%时，由 20 x2 0005%，得 20 x100( xN)，则 y(2 000 x)(3.50.9)0.5 x44.9 x8 800.故 y25690.64,02,1.xxN当 0 x20，且 xN 时，有 ，2532则 y 5329 000.648 840.64，690.4x当且仅当 x ，即 x16 时取等号，此时 y 取得最大值 8 840.64；25当 20 x10 0，且 xN 时，函数 y4.9 x8 800 为减 函数所以 y4.9208 8008 702.又 8 840.648 702，故当 x16 时， y 有最大值 8 840.64.即要使企业年利润最大，应安排 16 名员工待岗
