1、等差数列的性质A 组 基础巩固1若等差数列 an中， a3 a7 a108， a11 a44，则 a6 a7 a8等于( )A34 B35C36 D37解析：由题意得：(a3 a7 a10)( a11 a4)12，( a3 a11) a7( a10 a4)12. a3 a11 a10 a4， a712， a6 a7 a83 a736.答案：C2 a ， b ，则 a、 b 的等差中项为( )13 2 13 2A. B.3 2C. D.33 22解析： a b2 13 2 13 22 . 3 2 3 22 3答案：A3数列 an满足 3 an an1 (nN *)且 a2 a4 a69，则 lo
2、g6(a5 a7 a9)的值是( )A2 B12C2 D.12解析：由已知可得 an是等差数列，公差 d3， a5 a7 a9 a2 a4 a69 d36，log 6(a5 a7 a9)2.答案：C4在等差数列 an中，若 a4 a6 a8 a10 a12240，则 a9 a11的值为( )13A30 B31C32 D33解析：由等差数列的性质可得 a4 a6 a8 a10 a12240，解得 a848，设等差数列 an的公差为 d， a9 a11 a8 d (a83 d) a832，故选 C.13 13 23答案：C5设 x y，且两数列 x， a1， a2， a3， y 和 b1， x，
3、b2， b3， y， b4均为等差数列，则( )b4 b3a2 a1A. B.43 34C. D.83 38解析：由 d 知 ，an amn m a2 a13 2 y x5 1 a2 a1 . y x4又 ， b4 b3 (y x) b4 b36 4 y x5 2 23由得 .b4 b3a2 a1 83答案：C6在等差数列 an中， a2 000log 27， a2 022log 2 ，则 a2 011( )17A0 B7C1 D49解析：数列 an是等差数列， a2 011是 a2 000与 a2 022的等差中项，即 2a2 011 a2 000 a2 022log 27log 2 log
4、 210，故 a2 0110.17答案：A7已知数列1， x1， x2,9 和1， y1， y2， y3,9 都是等差数列，则 _.y3 y1x2 x1解析：设两个等差数列的公差分别为 d1和 d2，则 3d19(1)10， d1 ，4 d29(1)10， d2 ，103 52于是 .y3 y1x2 x1 2d2d1 5103 32答案：328 九章算术 “竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面 4 节的容积共 3 升，最下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为_升解析：解法一：设自上第一节竹子容积为 a1，则第 9 节容积为 a9，且数列 an为
5、等差数列由 a1 a2 a3 a43， a7 a8 a94，即Error!解得 a5 .6766解法二：设自上第一节竹子容积为 a1，依次类推，数列 an为等差数列又a1 a2 a3 a44 a16 d3， a7 a8 a93 a121 d4，解得a1 ， d ， a5 a14 d 4 .1322 766 1322 766 6766答案：67669已知函数 f(x) ，在数列 xn中， xn f(xn1 )(n2， nN *)3xx 3(1)求证： 是等差数列；1xn(2)求当 x1 时， x2 015的值12解析：(1)证明： f(x) ， xn f(xn1 )，3xx 3 xn . .3x
6、n 1xn 1 3 1xn xn 1 33xn 1 13 1xn 1即 (n2， nN *)1xn 1xn 1 13 是等差数列1xn(2)由(1)可知 是等差数列，且 2，公差 d ， ( n1)1xn 1x1 13 1xn 1x1d2 (n1)13 2 (2 0151) .1x2 015 13 2 0203 x2 015 .32 02010已知 an是等差数列，且 a1 a2 a312， a816.(1)求数列 an的通项公式；(2)若从数列 an中，依次取出第 2 项，第 4 项，第 6 项，第 2n 项，按原来顺序组成一个新数列 bn，试求出 bn的通项公式解：(1) a1 a2 a3
7、12， a24， a8 a2(82) d，1646 d， d2， an a2( n2) d4( n2)22 n.(2)a24， a48， a816， a2n22 n4 n.当 n1 时， a2n a2(n1) 4 n4( n1)4. bn是以 4 为首项，4 为公差的等差数列 bn b1( n1) d44( n1)4 n.B 组 能力提升11在 ABC 中， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，如果 a， b， c 成等差数列， B30， ABC 的面积为 1.5，那么 b 等于( )A. B11 32 3C. D22 32 3解析：灵活选择三角形面积公式，再结合余弦定理可解出 b
8、 的值由 a， b， c 成等差数列可得 2b a c.又 S ABC1.5，即 acsin30 ac ，12 14 32 ac6.由余弦定理，得b2 a2 c22 accos30( a c)22 ac6 34 b2126 ，3 b242 .3又 b 是 ABC 的一条边， b0， b 1.故选 B.3答案：B12若 an为等差数列，且 a1 a5 a9，则 cos(a2 a8)的值为_解析： an为等差数列， a1 a92 a5 a2 a8.代入 a1 a5 a9，得 (a2 a8)32， a2 a8 ，从而 cos(a2 a8) .23 12答案：1213已知等差数列 an中， a1 a，
9、公差 d1，若 bn a a (nN *)，试判断数列2n 2n 1bn是否为等差数列，并证明你的结论解：数列 bn是等差数列证明如下：等差数列 an中， a1 a， d1， an a( n1)1 n1 a. bn a a ( n1 a)2( n11 a)22n 2n 112 n2 a， bn1 12( n1)2 a. bn1 bn(12 n2 a)2.又 b1 a a 2 a1，21 2数列 bn是以2 a1 为首项，2 为公差的等差数列14已知各项均为正数的两个数列 an和 bn满足： an1 ， nN *.设 bn1 1an bna2n b2n， nN *，求证：数列 是等差数列bnan (bnan)2证明：由题设知 an1 ，所以 ，an bna2n b2n1 bnan1 (bnan)2bn 11 (bnan)2 bn 1an 1 1 (bnan)2从而 2 21( nN *)，(bn 1an 1) (bnan)所以数列 是以 1 为公差的等差数列(bnan)2
