1、3.1.2 用二分法求方程的近似解学习目标 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想知识链接现有一款手机，目前知道它的价格在 5001 000 元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过 20 元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加 20 元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？预习导引1二分法的定义对于在区间 a， b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 y f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2二分法
2、的步骤给定精确度 ，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间 a， b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度 ；(2)求区间( a， b)的中点 c；(3)计算 f(c)；若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0，则令 b c(此时零点 x0( a， c)若 f(c)f(b)0，则令 a c(此时零点 x0( c， b)(4)判断是否达到精确度 ：即若| a b| ，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)(4)要点一 二分法概念的理解例 1 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )答案 A解析 按定义， f(x)在 a，
3、 b上是连续的，且 f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项 B、C、D 满足条件，而选项 A 不满足，在 A 中，图象经过零点 x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选 A.规律方法 1.准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2 “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点跟踪演练 1 (1)
4、下列函数中，能用二分法求零点的为( )(2)用二分法求函数 f(x)在区间 a， b内的零点时，需要的条件是( ) f(x)在区间 a， b是连续不断； f(a)f(b)0； f(a)f(b)0； f(a)f(b)0.A B C D答案 (1)B (2)A解析 (1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有 B 选项符合(2)由二分法的意义，知选 A.要点二 用二分法求方程的近似解例 2 用二分法求方程 2x33 x30 的一个正实数近似解(精确度 0.1)解 令 f(x)2 x33 x3，经计算， f(0)30， f(1)20， f
5、(0)f(1)0，所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点，即方程 2x33 x3 在(0,1)内有解取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0，又 f(1)0，所以方程 2x33 x30 在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a， b) 中点 c f(a) f(b) f( )a b2(0,1) 0.5 f(0)0 f(1)0 f(0.5)0(0.5,1) 0.75 f(0.5)0 f(1)0 f(0.75)0(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)0 f(0.75)0 f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5 f(0.625)
6、0 f(0.75)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程 2x33 x30 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为 0.687 5.规律方法 1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：2求形如 f(x) g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求 F(x) f(x) g(x)的近似解问题跟踪演练 2 用二分法求 2x x4 在1,2内的近似解(精确度为 0.2)参考数据：x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.8752x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67解 令 f
7、(x)2 x x4，则 f(1)2140，f(2)2 2240.区间 区间中点值 xn f(xn)的值及符号(1,2) x11.5 f(x1)0.330(1,1.5) x21.25 f(x2)0.370(1.25,1.5) x31.375 f(x3)0.0350(1.375,1.5)|1.3751.5|0.1250.2，2 x x4 在(1,2)内的近似解可取为 1.375.1用二分法求函数 f(x) x35 的零点可以取的初始区间是( )A2,1 B1,0 C0,1 D1,2答案 A解析 f(2)30， f(1)60，f(2) f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算2定义在
8、R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数 f(x)在区间( a， b)上有一个零点 x0，且 f(a)f(b)0，用二分法求 x0时，当 f 0 时，则函数 f(x)的零点(a b2 )是( )A( a， b)外的点B xa b2C区间 或 内的任意一个实数(a，a b2 ) (a b2 ， b)D x a 或 x b答案 B解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值由 f0，知选 B.(a b2 )3函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程 f(x)0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)0， f(1.5)0， f(1.25)0，则
9、方程的解所在区间为( )A(1.25,1.5) B(1,1.25)C(1.5,2) D不能确定答案 A解析 由于 f(1.25)f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)4函数 f(x)log 2x2 x1 的零点必落在区间( )A. B. C. D(1,2)(18， 14) (14， 12) (12， 1)答案 C解析 f 0， f 0， f 10， f(1)10， f(2)40，(18) 154 (14) 52 (12)函数零点落在区间 上(12， 1)5用二分法求方程 x32 x50 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为 x02.5，那么下一个有根的区间是_答案 (2,2
10、.5)解析 f(2)2 322510， f(2.5)2.5 322.555.6250，下一个有根的区间是(2,2.5)1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间 a， b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.一、基础达标1已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )A4,4 B3,4C5,4 D4,3答案 D解析 由图象知函数 f(x)
11、与 x 轴有 4 个交点，因此零点个数为 4，从左往右数第 4 个交点两侧不满足 f(a)f(b)0，因此不能用二分法求零点，而其余 3 个均可使用二分法求零点2为了求函数 f(x)2 x x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量 x 和函数值 f(x)的部分对应值 f(x)的值精确到 0.01如下表如示：x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 0.25 0.70 1.00则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( )A(0.6,1.0) B(1.4,1.8)C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)答案 C解析 f(1.8
12、)f(2.2)0.24(0.25)0，零点在区间(1.8,2.2)上故选 C.3用二分法研究函数 f(x) x33 x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0， f(0.5)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_，以上横线上应填的内容为( )A(0,0.5)， f(0.25)B(0,1)， f(0.25)C(0.5,1)， f(0.75)D(0,0.5)， f(0.125)答案 A解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算由 f(0)0， f(0.5)0 知x0(0,0.5)再计算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值，以判断 x0的更准确位置4设方程 2x2 x10 的根为 则 属
13、于( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案 C解析 设 f(x)2 x2 x10，则 f(x)在 R 上为单调增函数，故只有一个零点 f(0)9， f(1)6，f(2)2， f(3)4， f(2)f(3)0. (2,3)5函数 y x与函数 ylg x 的图象的交点的横坐标(精确度 0.1)约是( )(12)A1.5 B1.6C1.7 D1.8答案 D解析 设 f(x)lg x x，经计算 f(1) 0， f(2)lg 2 0，所以方程 lg x(12) 12 14x0 在1,2内有解应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项 D 符合要(12)求6用二分法求方程
14、ln x2 x0 在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点 c ，则32下一个含根的区间是_答案 (32， 2)解析 令 f(x)ln x2 x， f(1)10， f(2)ln 20， f ln 100.12n注意到 2664100.故要经过 7 次二分后精确度达到 0.01.10已知图象连续不断的函数 y f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为 0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为_答案 4解析 设等分的最少次数为 n，则由 0.01，得 2n10， n 的最小值为 4.0.12n11画出函数 f(x) x2 x1 的图象，并利用二
15、分法说明方程 x2 x10 在0,2内的根的情况解 图象如图所示，因为 f(0)10， f(2)10，所以方程 x2 x10 在(0,2)内有根 x0；取(0,2)的中点 1，因为 f(1)10，所以 f(1)f(2)0，根 x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5， f(1.5)0.250，所以 f(1.5)f(2)0，根 x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点 1.75， f(1.75)0.312 50，所以 f(1.5)f(1.75)0，根 x0在区间(1.5,1.75)内这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根三、探究与创新12求方程 ln x x30
16、在(2,3)内的近似解(精确度为 0.1)解 令 f(x)ln x x3，求函数 f(x)0 在(2,3)内的零点 f(2)ln 210， f(3)ln 30，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 0.416(2,2.5) 2.25 0.061(2,2.25) 2.125 0.121(2.125,2.25) 2.187 5 0.0302.252.187 50.062 50.1，在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13用二分法求 的近似值(精确度 0.1)5解 设 x ，则 x25，即 x250，5令 f(x) x25.因为 f(2.2)0.160. f(2.4)0.760，所以 f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0，取区间(2.2,2.4)的中点 x12.3，则 f(2.3)0.29.因为 f(2.2)f(2.3)0， x0(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点 x22.25，f(2.25)0.062 5.因为 f(2.2)f(2.25)0，所以 x0(2.2,2.25)由于|2.252.2|0.050.1，所以的近似值可取为 2.25.5
