1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1长方体 ABCD A1B1C1D1中，异面直线 AB， A1D1所成的角等于( )A30 B45C60 D90答案 D解析 由于 AD A1D1，则 BAD 是异面直线 AB， A1D1所成的角，很明显 BAD90.2已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l( )A平行 B相交C垂直 D异面答案 C解析 1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；2l 时，在 内不存在
2、直线与 l 异面，D 错；3l 时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直3下列命题中，错误的是( )A一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C若直线 l 不平行于平面 ，则在平面 内不存在与 l 平行的直线D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 答案 C解析 直线 l 不平行于平面 ，可能直线 l 在平面 内，此时，在平面 内存在与 l 平行的直线4已知 、 是两个平面，直线 l ， l ，若以 l ； l ； 中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有(
3、)A； B；C； D；答案 A解析 因为 ，所以在 内找到一条直线 m，使 m ，又因为 l ，所以 l m.又因为 l ，所以 l ，即；因为 l ，所以过 l 可作一平面 n，所以 l n，又因为 l ，所以 n ，又因为 n ，所以 ，即 .5对于两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得( )A a ， b B a ， b C a ， b D a ， b 答案 B解析 因为已知两条不相交的空间直线 a 和 b.所以可以在直线 a 上任取一点 A，则Ab.过 A 作直线 c b，则过 a， c 必存在平面 且使得 a ， b .6设直线 l平面 ，过平面 外一点 A 与 l，
4、都成 30角的直线有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条答案 B解析 如图，和 成 30角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当 ABC ACB30且 BC l 时，直线 AC， AB 都满足条件，故选 B7如图， A 是平面 BCD 外一点， E、 F、 G 分别是 BD、 DC、 CA 的中点，设过这三点的平面为 ，则在图中的 6 条直线 AB、 AC、 AD、 BC、 CD、 DB 中，与平面 平行的直线有( )A0 条 B1 条C2 条 D3 条答案 C解析 显然 AB 与平面 相交，且交点是 AB 中点， AB， AC， DB， DC 四条直线均与平面 相交在 BC
5、D 中，由已知得 EF BC，又 EF ， BC ， BC .同理，AD ，在题图中的 6 条直线中，与平面 平行的直线有 2 条，故选 C8已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面 ABC 内的射影为 ABC的中心 O，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为( )A B13 23C D33 23答案 B解析 由题意知三棱锥 A1 ABC 为正四面体，设棱长为 a，则 AB1 a，3棱柱的高 A1O a(即点 B1到底面 ABC 的距A1A2 AO2a2 23 32a 2 63离)，故 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为 .A1OAB1 239等腰 Rt A
6、BC 中， AB BC1， M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后 A 与C 的距离为 1，则二面角 C BM A 的大小为( )A30 B60C90 D120答案 C解析 如图，由 A B BC1， A BC90知 A C .2 M 为 A C 的中点， MC AM ，且 CM BM， AM BM，22 CMA 为二面角 C BM A 的平面角 AC1， MC MA ， MC2 MA2 AC2，22 CMA90，故选 C10如图， ， l， A ， B ， A， B 到 l 的距离分别是 a 和 b， AB与 ， 所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影长分别是 m 和
7、n，若 a b，则( )A ， m n B ， m nC ， m n D ， m n答案 D解析 由勾股定理得 a2 n2 b2 m2 AB2.又 a b， m n.由已知得 sin ，sin ，而 a b，bAB aABsin sin ，又 ， (0， )， . 211如图，在三棱柱 ABC A B C中，点 E， F， H， K 分别为AC， CB， A B， B C的中点， G 为 ABC 的重心，从 K， H， G， B中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为( )A K B HC G D B答案 C解析 应用验证法：选 G 点为 P 时， EF
8、A B且 EF AB，此时恰有 A B和 AB平行于平面 PEF，故选 C12如图，四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ABD沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体 ABCD 中，下列结论正确的是( )A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC答案 D解析 由平面图形易知 BDC90.平面 ABD平面 BCD， CD BD， CD平面ABD CD AB 又 AB AD， CD AD D， AB平面 ADC 又 AB平面 ABC，平面 ADC平面
9、ABC二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13直线 l 与平面 所成角为 30， l A， m ， Am，则 m 与 l 所成角的取值范围是_.答案 30，90解析 直线 l 与平面 所成的 30的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适当旋转就可以得到 l m，即 m 与 l 所成角的最大值为 90.14如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN 等于_.答案 90解析 因为 C1B1平面 ABB1A1， MN平面 ABB1A1，所以 C1B1 M
10、N.又因为 MN MB1， MB1， C1B1平面 C1MB1， MB1 C1B1 B1，所以 MN平面 C1MB1，所以 MN C1M，所以 C1MN90.15如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM PC(或 BM PC)解析 连接 AC，则 BD AC，由 PA底面 ABCD，可知 BD PA， BD平面PAC， BD PC 故当 DM PC(或 BM PC)时，平面 MBD平面 PCD16(2013高考安徽卷)如图正方体 ABCD
11、 A1B1C1D1，棱长为 1， P 为 BC 中点， Q 为线段 CC1上的动点，过 A、 P、 Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是_.(写出所有正确命题的编号)当 0CQ 时， S 为四边形12当 CQ 时， S 为等腰梯形12当 CQ 时， S 与 C1D1交点 R 满足 C1R134 13当 CQ1 时， S 为六边形34当 CQ1 时， S 的面积为 .62答案 解析 设截面与 DD1相交于 T，则 AT PQ，且 AT2 PQDT2 CQ.对于，当 0CQ 时，则 0DT1，所以截面 S 为四边形，且 S 为梯形，所以为真12对于，当 CQ 时， DT1，
12、T 与 D 重合，截面 S 为四边形 APQD1，所以 AP D1Q，截12面为等腰梯形，所以为真对于，当 CQ ， QC1 ， DT ， D1T ，利用三角形相似解得， C1R1 ，所以为34 14 32 12 13真对于，当 CQ1 时， DT2，截面 S 与线段 A1D1， D1C1相交，所以四边形 S 为五边34 32形，所以为假对于，当 CQ1 时， Q 与 C1重合，截面 S 与线段 A1D1相交于中点 G，即即为菱形APC1G，对角线长度为 和 ， S 的面积为 ，所以为真，综上，选.2 362三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
13、)17(本小题满分 10 分)(2014全国高考江苏卷)如图，在三棱锥 P ABC 中，D、 E、 F 分别为棱 PC、 AC、 AB 的中点，已知 PA AC， PA6， BC8， DF5.求证：(1)直线 PA面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC证明 (1)在 PAC 中， D、 E 分别为 PC、 AC 中点，则 PA DE， PA面 DEF， DE面 DEF，因此 PA面 DEF.(2) DEF 中， DE PA3， EF BC4， DF5，12 12 DF2 DE2 EF2， DE EF，又 PA AC， DE AC DE面 ABC，面 BDE面 ABC18(本小题满分 12
14、分)如下图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC3， BC4， AB5， AA14，点 D 是 AB 的中点(1)求证： AC BC1；(2)求证： AC1平面 CDB1；(3)求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值解析 (1)证明：在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面三边长AC3， BC4， AB5， AC BC又 C1C AC AC平面 BCC1B1. BC1平面 BCC1B， AC BC1.(2)证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四边形 BCC1B1为正方形 D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DE AC1. DE平面 CDB1， AC
15、1平面 CDB1， AC1平面 CDB1.(3)解： DE AC1， CED 为 AC1与 B1C 所成的角在 CED 中， ED AC1 ，12 52CD AB ， CE CB12 ，12 52 12 2cos CED .252 2 25异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 .2 2519(本小题满分 12 分)(2013四川文科)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱AA1底面 ABC， AB AC2 AA12， BAC120， D， D1分别是线段 BC， B1C1的中点， P是线段 AD 上异于端点的点(1)在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线
16、 l，说明理由，并证明直线l平面 ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1 QC1D 的体积(锥体体积公式：V Sh，其中 S 为底面面积， h 为高)13解析 (1)在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行理由如下：由于直线 l 不在平面 A1BC 内， l BC，故直线 l 与平面 A1BC 平行在 ABC 中， AB AC， D 是线段 AC 的中点， AD BC， l AD又 AA1底面 ABC， AA1 l.而 AA1 AD A，直线 l平面 ADD1A1.(2)过点 D 作 DE AC 于点 E.侧棱 AA1底面 ABC，三棱柱
17、ABC A1B1C1为直三棱柱，则易得 DE平面 AA1C1C在 Rt ACD 中， AC2， CAD60， AD ACcos601， DE ADsin60 .32 S QA1C1 A1C1AA1 211，12 12三棱锥 A1 QC1D 的体积 VA1 QC1D VD QA1C1 S QA1C1DE 1 .13 13 32 3620(本小题满分 12 分)如下图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面ABCD， AB4， BC3， AD5， DAB ABC90， E 是 CD 的中点(1)证明： CD平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所
18、成的角相等，求四棱锥P ABCD 的体积解析 (1)证明：如下图所示，连接 AC，由 AB4， BC3， ABC90，得 AC5.又 AD5， E 是 CD 的中点，所以 CD AE. PA平面 ABCD， CD平面 ABCD，所以 PA CD而 PA， AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.(2)过点 B 作 BG CD，分别与 AE， AD 相交于 F， G，连接 PF.由(1) CD平面 PAE 知， BG平面 PAE.于是 BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且BG AE.由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的
19、角由题意，知 PBA BPF，因为 sin PBA ，sin BPF ，所以 PA BF.PAPB BFPB由 DAB ABC90知， AD BC，又 BG CD，所以四边形 BCDG 是平行四边形，故GD BC3.于是 AG2.在 Rt BAG 中， AB4， AG2， BG AF，所以BG 2 ， BF .于是 PA BF .AB2 AG2 5AB2BG 162 5 8 55 8 55又梯形 ABCD 的面积为 S (53)416，所以四棱锥 P ABCD 的体积为12V SPA 16 .13 13 8 55 128 51521(2015安徽卷)如图，三棱锥 P ABC 中， PA平面AB
20、C， PA1， AB1， AC2， BAC60，(1)求三棱锥 P ABC 的体积；(2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 AC BM，并求 的值PMMC答案 (1) ；(2) 36 PMMC 13分析 (1)在 ABC 中 S ABC .又 PN面 ABC， PA 是三棱锥 P ABC 的高，32根据锥体的体积公式即可求出结果；(2)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 MN PA 交 PC于 M，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此 M 点即为所求，根据相似三角形的性质即可求出结果解析 (1)在 ABC 中， AB1， AC2， BAC60S ABC ABACsi
21、n BAC 12sin60 .12 12 32又 PA面 ABC， PA 是三棱锥 P ABC 的高， V 三棱锥 P ABC PAS ABC 1 .13 13 32 36(2)过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 NM PA 交 PC 于 M，则Error!Error!Error!AC BM，此时 M 即为所找点，在 ABN 中，易知 AN .12 CMPC CNAC 322 34 PMMC 1322(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知AB3， AD2， PA2， PD2 ， PAB60.2(1)求证： AD平面 PAB；(2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值；(3)求二面角 P BD A 的正切值解析 (1)证明：在 PAD 中， PA2， AD2， PD2 ，2 PA2 AD2 PD2， AD PA
