1、赵老师数学： 专注高中数学 ， 超越人生梦想 第 1 页 专题： Max,Min函数 Max,Min函数（简称最值函数）的定义： 设 ,ab为实数，则 ,m in ,a a bab b b a ， ,a a bmax a b b b a Max,Min函数的基本性质：加法性质： m i n , ,2aba b m a x a b； 乘法性质： m i n , ,a b a b m a x a b（ ,0ab ） 平衡点： ab 定 理： 设 fx在闭区间 I 上连续，则 m a x m inm in m a x 2 xIxIbR xIf x f xf x b 几何意义： 数轴上的点 m i n
2、 m, axf x f x f x 与 b 之间的距离的最大值的最小值是在当 b 落在区间 m in m, axf x f x中点时取得的，且最大值的最小值等于长度区间的一半。 类型一、 基本定义的应用 例 1、 设函数 y f x 定义域为 R ，对给定正数 M ，定义函数 ,Mf x f x MfxM f x M 则称函数 Mfx为fx的“孪生函数”，若给定函数 22 , 2 0 ,12 1 , 0x xxf x Mx ，则 My f x 的值域为（ ） A. 2,1 B. 1,2 C. ,2 D. ,1 练习 1、 设 2m i n 2 3 , 1 , 5 3f x x x x ，则 f
3、x的最大值是 _ 练习 2、 已知函数 2 2 2 22 2 , 2 2 8f x x a x a g x x a x a ， 设 12m a x , , m i n ,H x f x g x H x f x g x，（其中 max ,pq 表示 ,pq中的较大值， min ,pq 表示 ,pq中的较小值）记 1Hx的值域为 A ， 2Hx的值域为 B ，则 AB _ 练习 3、 设函数2( ) m in 1 , 1 , 1f x x x x ，其中in , , y z表示,xyz中的最小者若( 2) ( )f a f a，则实数 a的取值范围 为 赵老师数学： 专注高中数学 ， 超越人生梦想
4、 第 2 页 类型二、加法性质的应用 例 2、 设 ,ab为平面向量，则（ ） A. m i n , m i n ,a b a b a b B. m i n , m i n ,a b a b a b C. 2 2 2 2,m a x a b a b a b D. 2 2 2 2,m a x a b a b a b 练习 1、 设 )( )(,m a x bab baaba，已知 yx, R， 6nm ，则 |2|,4m a x | 22 nxymyxF 的最小值为 练习 2、 设 ,m in ,y x yxy x x y ，若定义域为 R 的函数 ,f x g x 满足 22 8xf x g
5、x x ， 则 min ,f x g x的最大值为 _ 练习 3、 定义 , ( ), ( )x x yM x y y x y ，设 22, 4 2a x x y x b y x y y ( , )x y R ，则 ,Mab 的最小值为_，当 M 取到最小值时 ， x _， y _. 练习 4： 已知 , , , , 0a b c d e ， 100a b c d e ，则 m a x , , ,h a b b c c d d e 的最 小 值是 。 练习 5、 若对任意 Rba ,0 ，存在 2,1x ，使得 Mbaxx 2成立，则实数 M 的最大值是 _ 练习 6、 设函数 2f x x
6、01x ，记 ,Hab 为函数 ()fx图象上点到直线 l ： y ax b距离的最大值， 则 ,Hab 的最小值是 类型三、乘法性质的应用 例 3、 已知 22m in 4bhaab ，其中 a， b 均为正实数，则 h的最大值是 。 练习 1、 若 ,xy为任意正实数，则222M m i n 2 , 2yxy xy的最大值为 。 练习 2、 实数 1 2 3 4 5, , , , 1x x x x x ，且 1 2 3 4 5 = 7 2 9x x x x x ，则 1 2 2 3 3 4 4 5m a x , , ,x x x x x x x x的最小值是 练习 3、 已知函数 2f x
7、 x px q 过点 ,0 ， ,0 ，若存在整数 n ，使 1nn ，则 m in , 1H f n f n的取值范围是 。 练习 4、 设 minA表示数集 A中的最小数；设 maxA表示数集 A中的最大数 （ 1）若 a， b 0， ，求证： ； （ 2）若 ， ， ，求 H的最小值 赵老师数学： 专注高中数学 ， 超越人生梦想 第 3 页 类型四、 消元解不等式法 例 4、 若 ,xy为 任意正实数，则 11M m in 2 , ,xyyx的最大值为 。 练习 1、 若 0, 0,ab则2211m in m a x ( , , ) ab ab_.= . 练习 2、 （ 2006 年浙江
8、预赛）若 , , 0abc ， 则 23231 1 1m a x m i n , , , a b ca b c = . 练习 3、 （ 2003 年北京竞赛） 若 ,0xy ， 则 11m a x m in , , xyyx= . 类型五、综合应用 例 5、 已知函数 ),(|1|)( Rbabaxxxxf ，当 2,21x 时，设 )(xf 的最大值为 ),( baM ，则 ),( baM 的最小值为 _. 例 6、 已知函数 ),()( 2 Rbabaxxxf .记 ),( baM 是 |)(| xf 在区间 1,1 上的最 大值。 （ 1）证明：当 2| a 时， 2),( baM ;
9、（ 2）证明： 12M ； （ 3）当 ba, 满足 2),( baM ，求 | ba 的最大值 . 练习 1、 已知 a， b， c均为正实数，记 ，则 M的最小值为 。 练习 2、 函数 22f x x bx c ， 0,2x ，记 fx的最大值是 M， 则 M的最小值为 。 练习 3、 已知函数 cbxxxf 2)( 2 ，设函数 )()( xfxg 在区间 1,1 上的最大值为 M （）若 2b ，求 M 的值； （）若 kM 对任意的 cb, 恒成立，试求 k 的最大值 练习 4、 设函数 1( ) ( 1 , )f x x c b c Rxb ，函数 ( ) ( )g x f x
10、在区间 1,1 上的最大值为 M . （ 1）若 2b ，求 M 的值； （ 2）若 Mk 对任意的 ,bc恒成立，求 k 的最大值 . 赵老师数学： 专注高中数学 ， 超越人生梦想 第 4 页 【 课后练习 】 1、 记 ,m a x , ,a a bab b a b .已知向量 a ,b ,c 满足 | | 1a ,| | 2b , 0=ab ， (0 ， c a b 且 + =1) ，则 max ，c a c b的最小值为 _ 2、 设 22, m a x 1 , 1M x y x y y x ，其中 ,xy R ，则 ,Mxy 的最小值是 _ 3、 设 |82|,4m a x | 22
11、 xyyxM ，若对一切 yx, ， mmM 22 都成立，则 m 的取值范围是 _. 4、 对 ,ab R ，记 bab baaba ,m ax则函数 2 9( ) m a x | 1 |, 2 4f x x x x 的 最小值是 _. 5、 不等式 41m i n , 4 8 m i n ,xxxx 的解集是 _. 6、 函数 baxxxf 2)( 在 )1,0( 上有两个零点，则 )1(),0(min ff 的取值范围是 _. 7、 函数 ( ) m in 2 , 2f x x x，若动直线 ym 与函数 ()y f x 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 1 2 3,x x x
12、 ，则 1 2 3x x x 的 最大值 是 _. 8、 定义： ,)( )(,m ax bab baaba若实数 yx, 满足： xyxyx 324,3|,3| ，则 2|,3m ax | yxyx 的取值范围是 _. 9、 已知 ,abcR 若 2c o s s in 1a x b x c 对 xR 恒成立，则 sina x b 的最大值为 10、 已知定义在 R 上的偶函数 )(xf 满足 )()4( xfxf ，且当 20 x 时， xxxxf 2,2m in)( 2，若方程0)( mxxf 恰有两个实数根，则实数 m的取值范围是 11、 设 3a ，函数 2( ) m i n 2 |
13、 1 |, 2 4 2 F x x x a x a , （） 使得等式 2( ) 2 4 2F x x ax a 成立的 x 的取值范围 是 （）（ i） ()Fx的最小值 ()ma 是 （ ii） ()Fx在 0,6 上的最大值 ()Ma是 12、 已知函数 22() x ax bfxxa ( 0, )x ， 其中 0a ， bR 记 ( , )Mab 为 ()fx的最小值 ( ) 求 ()fx的单调递增区间； ( ) 求 a 的取值范围，使得存在 b ，满足 ( , ) 1M ab 13、 设函数 3xf x ax b ， 0a ， xxgf，求证： xg在 1,1x 上的最大值不小于 14 。
