1、数列 数列概念 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列 na 的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 )(nfan = . 3.递推公式：如果已知数列 na 的第一项（或前几项），且任何一项 na 与它的前一项 1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 )( 1= nn afa 或 ),( 21 = nnn aafa ，那么这个式子叫做数列 na 的递推公式. 如数列 na 中， 12,11 += nn aaa ，其中 12 += nn aa是数列 na 的递推公式. 4. 数列的
2、前n 项和与通项的公式 nn aaaS += L21 ； = )2()1(11nSSnSannn . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. 递增数列:对于任何 + Nn ,均有 nn aa +1 . 递减数列:对于任何 + Nn ,均有 nn aa . 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n项和公式 通项公式 dnaan )1(1 += ， 1a 为首项
3、，d 为公差. 前n项和公式 2 )( 1 nn aanS += 或 dnnnaSn )1(211 += . 3.等差中项 如果 bAa , 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 即：A是a与b的等差中项 baA +=2 a，A，b成等差数列. 4.等差数列的判定方法 定义法： daa nn =+1 （ + Nn ，d 是常数） na 是等差数列； 中项法： 212 + += nnn aaa ( + Nn ) na 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 2 数列 na 是等差数列，则数列 pan + 、 npa （p是常数）都是等差数列； 在等差数列 na 中，等距离取出若干项也构成一个等
4、差数列，即 L, 32 knknknn aaaa +为等差数列，公差为kd . dmnaa mn )( += ； banan += ( a ,b是常数)； bnanSn += 2 (a , b是常数，0a ) 若 ),( +=+ Nqpnmqpnm ，则 qpnm aaaa +=+ ； 若等差数列 na 的前n项和 nS ，则nSn 是等差数列； 当项数为 )(2 + Nnn ，则nnaaSSndSS 1, +=奇偶奇偶 ； 当项数为 )(12 + Nnn ，则 nnSSaSS n 1, =奇偶偶奇 . 若等差数列 na 的前n项和 nS ，则 kS 、 kk SS 2 、 kk SS 23
5、、 kk SS 34 是等差数列. 等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 )0( qq ，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式 通项公式： 11 = nn qaa ， 1a 为首项，q为公比 . 前n项和公式：当 1=q 时， 1naSn = 当 1q 时， q qaaqqaS nnn =11)1( 11 . 3.等比中项 如果 bGa , 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项 a，A，b成等差数列 baG =2 . 4.等比数列的判定方法 定义法： qaann =+1 （
6、+ Nn ， 0q 是常数） na 是等比数列； 中项法： 221 + = nnn aaa ( + Nn )且 0na na 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 数列 na 是等比数列，则数列 npa 、 npa （ 0q 是常数）都是等比数列； 在等比数列 na 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 L, 32 knknknn aaaa +为等比数列，公比为 kq . ),( + = Nmnqaa mnmn 若 ),( +=+ Nqpnmqpnm ，则 qpnm aaaa = ； 3 若等比数列 na 的前n项和 nS ，则 kS 、 kk SS 2 、 kk SS 23 、 kk
7、SS 34 是等比数列. 二、典型例题 A、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知 nS 为等差数列 na 的前n项和， 63,6,9 94 = nSaa ，求n； 2、等差数列 na 中， 4 10a = 且 3610aaa， 成等比数列，求数列 na 前20项的和 20S 3、设 na 是公比为正数的等比数列，若 16,1 51 = aa ，求数列 na 前7项的和. 4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知 nS 为等差数列 na
8、的前n项和， 1006 =a ，则 =11S ； 2、设 nS 、 nT 分别是等差数列 na 、 na 的前n项和， 327 += nnTSnn ，则 =55ba . 3、设 nS 是等差数列 na 的前n项和，若 =5935 ,95SSaa 则 （ ） 4、等差数列na ,nb 的前n项和分别为 nS , nT ,若 231nnS nTn= + ,则nnab =（ ） 5、已知 nS 为等差数列 na 的前n项和， )(, mnnSmS mn = ，则 =+nmS . 6、在正项等比数列 na 中， 153537225a aaaa+=，则 35aa+=_。 7、已知数列 na 是等差数列，
9、若 4710 17aaa+=, 456121314 77aaaaaa+=L 且 13ka = ,则k =_。 8、已知 nS 为等比数列 na 前n项和， 54=nS ， 602 =nS ，则 =nS3 . 9、在等差数列 na 中，若 4,1 84 = SS ，则 20191817 aaaa + 的值为（ ） 10、在等比数列中，已知 910 (0)aaaa+=， 1920aab+=，则 9 100aa+= . 11、已知 na 为等差数列， 20,8 6015 = aa ，则 =75a 12、等差数列 na 中，已知 848161 ,.3SSSS= 求 B、求数列通项公式 1） 给出前几项
10、，求通项公式 1,0,1,0,21,15,10,6,3,1 L3，-33,333，-3333,33333 2）给出前n项和求通项公式 1、 nnSn 32 2 += ； 13 += nnS . 2、设数列 na 满足 2*1233 ()3n naaaanN+=n-1+3 ，求数列 na 的通项公式 3）给出递推公式求通项公式 a、已知关系式 )(1 nfaa nn +=+ ，可利用迭加法或迭代法；4 11232211 )()()()( aaaaaaaaaa nnnnnnn += L 例：已知数列 na 中， )2(12,2 11 += nnaaa nn ，求数列 na 的通项公式； b、已知关
11、系式 )(1 nfaa nn =+ ，可利用迭乘法. 1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn =L例、已知数列 na 满足： 111(2),21nna n naan=+ ，求求数列 na 的通项公式； c、构造新数列 1递推关系形如“ qpaa nn +=+1 ”，利用待定系数法求解 例、已知数列 na 中， 32,1 11 += + nn aaa ，求数列 na 的通项公式. 2递推关系形如“，两边同除 1np + 或待定系数法求解 例、nnn aaa 32,1 11 += + ，求数列 na 的通项公式. 3递推已知数列 na 中，关系形如“ nnn aqapa +=
12、+ 12 ”，利用待定系数法求解 例、已知数列 na 中， nnn aaaaa 23,2,1 1221 = + ，求数列 na 的通项公式. 4递推关系形如“ 11nnnnapaqaa=（p,q0),两边同除以 1nnaa 例1、已知数列 na 中， 1122nnnnaaaa=1（n2),a ，求数列 na 的通项公式. 例2、数列 na 中， )(42,2 11 + += Nnaaaannn ，求数列 na 的通项公式. d、给出关于 nS 和 ma 的关系 例1、设数列 na 的前n项和为 nS ，已知 )(3, 11 + += NnSaaa nnn ，设 nnn Sb 3= ， 求数列
13、nb 的通项公式 例2、设 nS 是数列 na 的前n项和， 11 =a ， )2(212 = nSaSnnn . 求 na 的通项； 设 12 += nSb nn ，求数列 nb 的前n项和 nT . C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差 例1、已知 nS 为等差数列 na 的前n项和， )( += NnnSb nn .求证：数列 nb 是等差数列. 例2、已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn1=0（n2）， a 1 = 21 . 求证：nS1 是等差数列； 2）证明数列等比 例1、设an是等差数列，bnna 21 ，求证：数列bn是等比数列； 例2、数列an的前n
14、项和为Sn，数列bn中，若an+Sn=n.设cn=an1，求证：数列cn是等比数列； 5 例3、已知 nS 为数列 na 的前n项和， 11 =a ， 24 += nn aS . 设数列 nb 中， nnn aab 21 = + ，求证： nb 是等比数列； 设数列 nc 中， nnn ac 2= ，求证： nc 是等差数列；求数列 na 的通项公式及前n项和. 例4、设 nS 为数列 na 的前n项和，已知 ( )21nnnbabS= 证明：当 2b = 时， 12nnan 是等比数列； 求 na 的通项公式 例5、已知数列 na 满足 *12211,3,32().nnnaaaaanN+=
15、证明：数列 1nnaa+ 是等比数列； 求数列 na 的通项公式； 若数列 nb 满足 12 111 *44.4(1)(),nnbbbb nanN =+证明 nb 是等差数列. D、求数列的前n项和 基本方法： 1）公式法， 2）拆解求和法. 例1、求数列 n223n+的前n项和 nS . 例2、求数列 LL ， )21(813412211 nn + 的前n项和 nS . 例3、求和：25+36+47+n（n+3） 2）裂项相消法，数列的常见拆项有： 1111()()nnkknnk=+； nnnn +=+ 111 ； 例1、求和：S=1+ n+ LL 321 1321 121 1 例2、求和：
16、 nn + 1134 123 1121 L . 3）倒序相加法， 例、设 221)( xxxf+= ，求： )4()3()2()()()( 213141 ffffff + ； ).2010()2009()2()()()()( 21312009120101 fffffff + LL 4）错位相减法， 例、若数列 na 的通项 nn na 3)12( = ，求此数列的前n项和 nS . 5）对于数列等差和等比混合数列分组求和 例、已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数列|an|的前n项和Tn. E、数列单调性最值问题 例1、数列 na 中， 492 = nan ，当数列 na 的前n项和 n
17、S 取得最小值时， =n . 例2、已知 nS 为等差数列 na 的前n项和， .16,25 41 = aa 当n为何值时， nS 取得最大值； 6 例3、数列 na 中， 1283 2 += nnan ，求 na 取最小值时n的值. 例4、数列 na 中， 22 += nnan ，求数列 na 的最大项和最小项. 例5、设数列 na 的前n项和为 nS 已知 1aa= ， 1 3nnnaS+=+， *n N （）设 3nnnbS=，求数列 nb 的通项公式； （）若 1nnaa+ ， *n N ，求a的取值范围 例6、已知 nS 为数列 na 的前n项和， 31 =a ， )2(21 = n
18、aSS nnn . 求数列 na 的通项公式； 数列 na 中是否存在正整数k，使得不等式 1+ kk aa 对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列na 中，前n项和 21 (1)4nnSa=， （1）求数列na 的通项公式； （2）设 1(3)nnb na= (*)nN ， 12nnTbbb=+L ，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有 32n mT 总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。 F、有关数列的实际问题 例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块, 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块? 例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的 8绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2被非绿化. 设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为 1041 =a ,经过n年后绿化的面积为 1+na ,试用 na表示 1+na ； 求数列 na 的第 1+n 项 1+na ； 至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据: 4771.03lg,3010.02lg = )
