1、Math173 | The journey of mathematics2016年全国考数学压轴题的分析与解兰琦 著2016 年 6 13 录1 2016年全国1卷(卷)理科数学22 2016年全国1卷(卷)科数学53 2016年全国2卷(甲卷)理科数学74 2016年全国2卷(甲卷)科数学115 2016年全国3卷(丙卷)理科数学136 2016年全国3卷(丙卷)科数学167 2016年上海卷理科数学188 2016年上海卷科数学229 2016年北京卷理科数学2410 2016年北京卷科数学2711 2016年四川卷理科数学2912 2016年四川卷科数学3313 2016年天津卷理科数学
2、3614 2016年天津卷科数学4015 2016年东卷理科数学4416 2016年东卷科数学4617 2016年江苏卷数学4818 2016年浙江卷理科数学5319 2016年浙江卷科数学5811 2016 年全国 1 卷 (卷 ) 理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )1 2016年全国1卷(卷)理科数学试卷点评今年是考统命题改的第年,全国 1 卷与之前的全国 I 卷命题风格致,难度也相当知识点覆盖全,层次合理,相信学做题时不会感到意外解析何试题将圆与椭圆有机结合起来,是道中规中矩的题,有较的区分度导数题作压轴,第 (2) 题有定难度,不过鉴于前全国各地的模拟题中频繁出现极值点偏
3、移的试题,因此对知识较的学有利值得注意的是这次题中出现了两道应题,贯彻了新课标精神,也提醒新届的考需要增强阅读理解能题(理12)已知函数f(x) = sin(!x + )(! 0;jj 2),x = 4为f(x)的零点,x = 4为y = f(x)图象的对称轴,且f(x)在18;5 36单调,则!的最值为( )A. 11 B. 9 C. 7 D. 5解由题意知 12k +14T = 4 (4);k 2 Z;解得! = 2 T = 2k + 1;k 2 Z:(也可以由 8:1:5x + 0:5y 150;x + 0:3y 90;5x + 3y 600;其中 x;y 2 N ,标函数z = 210
4、0x + 900y = 300(7x + 3y):21 2016 年全国 1 卷 (卷 ) 理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )xyO 9060100300200作出可域,可以得到当 x = 60;y = 100 时, z 有最值 216000 题(理20)设圆x2 +y2 + 2x 15 = 0的圆为A,直线l过点B(1;0)且与x轴不重合,l交圆A于C;D两点,过B作AC的平线交AD于点E(1)证明:jEAj+jEBj为定值,并写出点E的轨迹程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M;N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P;Q两点,求四边形MPNQ积的取值范围分析第
5、(1) 小题利用何知识证明 jEBj = jEDj 即可;第 (2) 小题是典型的面积问题,计算两个弦长jMNj 和 jPQj 即可,其中对焦点弦长的计算用到了考数学压轴题的分析与解中破解压轴题有效 10招中的第 3 招,与之类似的题有 2014 年天津卷理科第 19 题解(1) 将圆的程化为标准程(x + 1)2 + y2 = 16:ABCDEO xy由于 BE AC ,于是 EBD = ACD 又 jACj = jADj,于是 ACD = ADC ,因此 EBD =EDB ,从 jEBj = jEDj,这样就得到了jEAj+jEBj = jEAj+jEDj = jADj为定值 4 根据椭圆
6、的定义,点 E 的轨迹程为x24 +y23 = 1(y = 0):(2) 设 MBA = ( 2 (0; ),则在 MAB 中应余弦定理,有jMAj2 = jMBj2 +jABj2 2 jMBj jABj cos ;结合 jMAj+jMBj = 4 可解得jMBj = 32 cos :31 2016 年全国 1 卷 (卷 ) 理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )NQPMABO xy类似的,可得jNBj = 32 + cos ;从jMNj = jMBj+jNBj = 124 cos2 :此时直线 PQ 的程为xcos = ysin + cos ;于是圆的弦长jPQj = 242 2c
7、os cos2 + sin2 2= 44 cos2 :于是可得四边形 MPNQ 的积S = 12 jMNj jPQj = 24p4 cos2 ;于是四边形 MPNQ 的积的取值范围是 12;8p3) 题(理21)已知函数f(x) = (x 2)ex + a(x 1)2有两个零点(1)求a的取值范围;(2)设x1;x2是f(x)的两个零点,证明:x1 + x2 0 时,函数 f(x) 有两个零点,所求取值范围是 (0;+1) 11第 (1) 题中如果需要刻意避开极限,可以进如下论证当 a 0 时,由于在 ( 1;1) 上, g(x) 0 ,因此在此区间上不存在 x 使得g(x) = a;42 2
8、016 年全国 1 卷 (卷 ) 科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )(2) 根据第 (1) 题的结果,不妨设 x1 g(2 x1);也即g(x1) g(2 x1):接下来证明:8x 0;也即8x 0:设 h(x) = ex (2 x) e2 x x ,则其导函数h(x) = (ex e2 x)(1 x);当 x 0 ,因此原命题得证 12 2016年全国1卷(卷)科数学题(12)若函数f(x) = x 13 sin2x+asinx在( 1;+1)上单调递增,则a的取值范围是( )A. 1;1 B.1; 13C.13; 13D.1; 13解函数 f(x) 的导函数f(x) = 1 2
9、3 cos2x + acosx = 43 cos2 x + acosx + 53;根据题意有 8x 2 R;f(x) 0 ,令 t = cosx ,则上述命题即8t 2 1;1;4t2 3at 5 0;在 (1;+1) 上,函数 g(x) 单调递减,不可能存在两个零点;当 a 0 时,取 x1 = min1 +1a;32“,则g(x1) 1(x1 1)2 a; g(2) = 0 0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延交C于点H(1)求jOHjjONj;(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由分析第 (1) 小题是简单的计算题,第 (2) 小题考查直线与抛物线的位置关系,
10、可以利用考数学压轴题的分析与解中破解压轴题有效 10 招中的第 10 招轻松解决解根据题意,作出意图O xyy = tMP NH(1) 根据题意,有 M(0;t) ,于是 Pt22p;t,进 Nt2p ;t这就得到了直线 ON 的程为 y = ptx将直线 ON 的程与抛物线 C 的程联,可得px(px 2t2) = 0;从 H 点的横坐标为 2t2p 这样就得到了jOHjjONj =2t2pt2p= 2:(2) 由第 (1) 题的结果,可得 H 点的坐标为2t2p ;2t,因此直线 MH 的斜率为2t t2t2p 0= p2t;63 2016 年全国 2 卷 (甲卷 ) 理科数学 考数学压轴
11、题的分析与解 (兰琦 著 )因此直线 MH 的程 1为y = p2tx + t; 即 2px = 4ty 4t2;与抛物线 C 的程联可得y2 4ty + 4t2 = 0;该程的判别式 = 0 ,因此除 H 外,直线 MH 与 C 没有其它公共点题(21)已知函数f(x) = (x 2)ex + a(x 1)2(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围分析第 (1) 小题是常规的考查利用导函数研究函数的单调性的问题;第 (2) 小题与理科第 21 题第 (1) 小题相同解(1) 函数 f(x) 的导函数f(x) = (x 1)(ex + 2a);因此可以得到讨论的分
12、界点为 e2;0 情形当 a 1 ,因此函数 f(x) 在 ( 1;1) 上单调递增,在 (1;ln( 2a) 上单调递减,在 (ln( 2a);+1) 上单调递增情形当 a = e2 时, ln( 2a) = 1 ,因此函数 f(x) 在 R 上单调递增情形三当 e2 0 ,因此函数 f(x) 在 ( 1;1) 上单调递减,在 (1;+1) 上单调递增(2) 参考理科第 21 题第 (1) 题3 2016年全国2卷(甲卷)理科数学试卷点评今年全国 2 卷中涌现了很多有新意的题,尤其是解析何试题,简约不简单,对数学能有较全的考查选择题最后题稍显套,但与全卷难度层次契合,可谓中规中矩理科填空题推
13、陈出新,在平凡的切线问题的基础上考查了“公切线”的问题导数压轴题题新意不,难度也略显不,但从整体的命题风格、难度、考查层次来说都是瑕不掩瑜题(理12)已知函数f(x)(x 2 R)满f( x) = 2 f(x),若函数y = x + 1x与y = f(x)图象的交点为(x1;y1);(x2;y2); ;(xm;ym),则mi=1(xi + yi) =( )A. 0 B. m C. 2m D. 4m解根据题意,函数 f(x) 和函数 y = x + 1x 都关于点 (0;1) 对称,不妨设 x1 :1m =1n + 1;lnm + 1 = ln(n + 1) nn + 1;解得8:m = 12;
14、n = 12;因此 b = 1 ln2 y = ln(x + 1)y = lnx + 2y = 2x + 1 ln2xy1212事实上,由于这两条曲线是通过向量 (1;2) 平移得到的,因此可以判断出公切线的斜率为 2 题(理20)已知椭圆E : x2t +y23 = 1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k 0)的直线交E于A;M两点,点N在E上,MA ? NA(1)当t = 4,jAMj = jANj时,求AMN的积;(2)当2jAMj = jANj时,求k的取值范围分析第 (1) 小题主要考查椭圆的对称性;第 (2) 小题考查椭圆的弦长计算,其中将椭圆的长轴长设置为变量增加了问题的
15、难度解根据题意画出意图如图OAMNxy83 2016 年全国 2 卷 (甲卷 ) 理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )(1) 当 jAMj = jANj 时, MAN 是等腰直三形根据椭圆的对称性,可知 k = 1 ,又 t = 4 时, A点的坐标为 ( 2;0) ,因此直线 AM 的程为 x = y 2 ,与椭圆 E 的程联,可得y712y 1= 0;于是点 M 的纵坐标为 127 ,进可得 AMN 的积S =1272= 14449 :(2) 记 a = pt , m = 1k (m 0),则直线 AM 的程为 x = my a,与椭圆 E 的程联可得m2a2 +13y2 2m
16、a y = 0;从点 M 的纵坐标为 6ma3m2 + a2 ,因此点 N 的纵坐标为6am3m2 + a2= 6ma3 + m2a2;因此由 2jAMj = jANj 可得2 1 + m2 6ma3m2 + a2 =1 + 1m2 6ma3 + m2a2;整理得a2 = 3(m2 2m)2m3 1 ;根据题意,有 a2 3 ,因此3(m2 2m)2m3 1 3;解得12 0时,(x 2)ex + x + 2 0;(2)证明:当a 2 0;1)时,函数g(x) = ex ax ax2 (x 0)有最值设g(x)的最值为h(a),求函数h(a)的值域分析第 (1) 小题是常规的利用导函数研究函数
17、的单调性的问题;第 (2) 小题考查利用导函数研究函数的最值,其中故意使用关于 a 的函数 h(a) 误导解题者用 a 表示极值点,增加了问题的难度解(1) 函数 f(x) 的定义域为 ( 1; 2)( 2;+1) ,其导函数f(x) = x2(x + 2)2ex;93 2016 年全国 2 卷 (甲卷 ) 理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )于是函数 f(x) 在 ( 1; 2) 和 ( 2;+1) 上都单调递增当 x 0 时,有 f(x) f(0) = 1 ,即x 2x + 2ex 1; 即 (x 2)ex + x + 2 0:(2) 函数 g(x) 的导函数为g(x) = x
18、 + 2x3 x 2x + 2ex + a;令 (x) = x 2x + 2ex + a ,则(0) = a 1 0;因此函数 r(m) 在 (0;2 上单调递增,从函数 h(a) 的值域,即函数 g(x) 的最值的取值范围是(r(0);r(2) ,也即12;14e2拓展第 (2) 题的结果可以有如下的直观解释 1考虑 g(x) = exx2 a x + 1x2 ,当 a 2 0;1) 时,有ex x 1x2 0,求a的取值范围分析第 (1) 小题是常规的利用导函数求函数的切线程问题;第 (2) 小题是典型的包含对数的恒成立问题,需要用到“清君侧”的想法简化问题,可以参考考数学压轴题的分析与解
19、辽宁卷第 5 题解(1) 当 a = 4 时, f(1) = 0 ,函数 f(x) 的导函数f(x) = lnx + 1x 3;因此 f(1) = 2 ,从所求的切线程为 y = 2(x 1) ,也即 y = 2x + 2 (2) 题中不等式即lnx a x 1x + 1 0;记左侧函数为 g(x) ,则 g(1) = 0 ,其导函数g(x) = x2 + (2 2a)x + 1x(x + 1)2 ;分析端点可知分界点为 2 情形a 2 此时g(x) lnx 2 x 1x + 1;记右侧函数为 h(x) ,则其导函数h(x) = (x 1)2x(x + 1)2;因此在 (1;+1) 上 h(x
20、) 单调递增,又 h(1) = 0 ,因此在 (1;+1) 上,有 h(x) 0 ,符合题意114 2016 年全国 2 卷 (甲卷 ) 科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )情形a 2 此时在区间1;a 1 +pa2 2a上有 g(x) 0)的直线交E于A;M两点,点N在E上,MA ? NA(1)当jAMj = jANj时,求AMN的积;(2)当2jAMj = jANj时,证明:p3 0),则直线 AM 的程为 x = my 2 ,与椭圆 E 的程联可得m24 +13y2 my = 0;从点 M 的纵坐标为 12m3m2 + 4 ,因此点 N 的纵坐标为12m3m2 + 4= 12m
21、3 + 4m2;因此由 2jAMj = jANj 可得2 1 + m2 12m3m2 + 4 =1 + 1m2 12m3 + 4m2;整理得8m3 3m2 + 6m 4 = 0:125 2016 年全国 3 卷 (丙卷 ) 理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )设函数 f(x) = 8x3 3x2 + 6x 4(x 0),则其导函数f(x) = 24x2 6x + 6 0;因此函数 f(x) 单调递增考虑到f1p3= 26 15p33p3 =p676 p6753p3 0;f12= 34 0,记jf(x)j的最值为A(1)求f(x);(2)求A;(3)证明:jf(x)j 2A分析第 (
22、1) 小题考查基本的导数运算;第 (2) 小题考查对含参次函数的讨论;第 (3) 小题是第 (1)(2)小题的简单综合,适当放缩不难解决解(1) 函数 f(x) 的导函数f(x) = 2asin2x + (1 a)sinx:(2) 由倍公式,整理得f(x) = 2acos2 x + (a 1)cosx 1;令 t = cosx(t 2 1;1),有g(t) = 2at2 + (a 1)t 1;t 2 1;1;则函数 jf(x)j 的最值 A 即函数 jg(t)j 的最值按次函数 g(t) 的对称轴 t = 1 a4a 是否在区间 1;1 内展开讨论情形当 1 a4a 2 1;1 即 a 215
23、;+1时,函数 jg(t)j 的最值为max g( 1) ; g(1) ;g1 a4a“:156 2016 年全国 3 卷 (丙卷 ) 科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )情形当 1 a4a 2 1;1 即 a 20; 15时,函数 jg(t)j 的最值为max g( 1) ; g(1) :事实上,有 g( 1) = a; g(1) = j3a 2j;g1 a4a= 18a + 1a + 6:g(1) g1 a4ag( 1) O 23 111575ay注意到当 a = 15 和 a = 1 时三者的取值,结合作差较,可得A =8:2 3a; a 20; 15;18a + 1a + 6
24、; a 215;1;3a 2; a 2 (1;+1):(3) 由第 (1) 题知f(x) = 2asin2x + (1 a)sinx:当 a 20; 15时,有jf(x)jj2aj+j1 aj = 1 + a 4 6a = 2A:当 a 215;1时,有 jf(x)j 1 + a , 2A = 14a + 1a + 6,由分析法,可得jf(x)j 2A ( (3a + 1)(a 1) 0;这显然成当 a 2 (1;+1) 时,有jf(x)jj2aj+ja 1j = 3a 1 6a 4 = 2A:综上知, jf(x)j 2A 6 2016年全国3卷(丙卷)科数学题(12)已知O为坐标原点,F是椭
25、圆C : x2a2 +y2b2 = 1(a b 0)的左焦点,A;B分别为C的左,右顶点,P为C上点,且PF ? x轴过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点,则C的离率为( )A. 13 B. 12 C. 23 D. 34解记 OE 的中点为 N ,如图166 2016 年全国 3 卷 (丙卷 ) 科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )OMFA BNEPxy因为 MF OE ,所以有ONMF =aa + c;MFOE =a ca :又因为 jOEj = 2jONj,所以有12 =aa + c a ca ; 解得 e =ca =13:题(16)已知f(x
26、)为偶函数,当x 0时,f(x) = e x 1 x,则曲线y = f(x)在点(1;2)处的切线程是解当 x 0 时, f(x) = e x 1 1 ,由 f(x) 为偶函数知f(1) = f( 1) = 2:从所求切线程为 y = 2x拓展对于有奇偶性的可导函数,偶函数的导函数是奇函数,奇函数的导函数是偶函数题(20)已知抛物线C : y2 = 2x的焦点为F,平于x轴的两条直线l1;l2分别交C于A;B两点,交C的准线于P;Q两点(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR FQ;(2)若PQF的积是ABF的积的两倍,求AB中点的轨迹程解同理科第 20 题题(21)设函数f(x)
27、= lnx x + 1(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x 2 (1;+1)时,1 1,证明:当x 2 (0;1)时,1 + (c 1)x cx分析第 (1) 小题是简单的利用导函数研究函数的单调性问题;第 (2) 小题是第 (1) 小题的直接推论,同时也是对第 (3) 小题的提示,适当进换元即得;第 (3) 小题中通过观察端点 x = 0;1 时不等式两边相等,可以拟定作差研究函数的单调性的策略解(1) 根据题意,函数 f(x) 的导函数f(x) = 1x 1 = 1 xx ;x 0;所以 f(x) 在 (0;1) 上单调递增,在 (1;+1) 上单调递减(2) 欲证不等式即1 1x
28、 1:177 2016 年上海卷理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )事实上,由第 (1) 题知, f(x) 的最值为 f(1) = 0 ,所以lnx x + 1 0; 即 lnx x 1;等号当且仅当 x = 1 时取得,这样就得到了右侧不等式当 x 1 时,有 0 1 1x;这样就得到了左侧不等式因此原不等式得证(3) 设 g(x) = cx (c 1)x 1;x 2 0;1 ,则所证不等式即8x 2 (0;1);g(x) 1 ,所以 lnc 0 ,由第 (2) 题知1 0 ,结合 g(x) 是单调递增函数,于是 g(x) 在区间 (0;1) 上有唯零点,进可得函数 g(x) 在
29、区间 (0;1) 上先单调递减,再单调递增,又 g(0) = g(1) = 0 ,从可得在区间 (0;1) 上,g(x) 0;0:6 0;0:7 0 此时 2(1 qn) 1(n 2 N ) 恒成,即qn 0)的左、右焦点分别为F1;F2,直线l过F2且与双曲线交于A;B两点(1)若l的倾斜为 2,F1AB是等边三形,求双曲线的渐近线程;(2)设b = p3,若l的斜率存在,且# F1A + # F1B# AB = 0,求l的斜率分析第 (1) 小题考察双曲线的对称性;第 (2) 小题利用向量描述了个弦的中点问题,用考数学压轴题的分析与解中破解压轴题的有效 10 招中的第 7 招“有次曲线的垂
30、径定理”即可轻松解决解(1) 根据题意,通径 jABj = 2b2 与焦距 jF1F2j = 2c 的为 2 : p3 ,即 b2c =2p3 ,从解得 b2 = 2 ,进双曲线的渐近线程为 y = p2xF1ABF2O xy(2) 此时双曲线程为 x2 y23 = 1 , F1( 2;0) , F2(2;0) 如图,由题意, A;B 两点分别位于双曲线的两上,且 jAF1j = jBF1j,设线段 AB 的中点为 M 法该双曲线的左准线为 l1 : x = 12 ,由于 A;B 两点分别位于左准线 l1 的左右两边,且到 l1 的距离相等,故点 M 落在 l1 上F1ABF2OxyM设点 M
31、 坐标为12;m,则# F1M # F2M =32;m52;m= m2 154 = 0;解得 m = p152 ,所以直线 l 的斜率为 p155 法设 M(n;m) , A(x1;y1) , B(x2;y2) ,直线 l 的斜率为 k 将 A;B 两点满的双曲线程相减整理 (即双曲线的“垂径定理” ) 可得 mn k = 3 207 2016 年上海卷理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )F1ABF2OxyM因此有 8:mn k = 3;mn + 2 k = 1;mn 2 = k;解得 n = 12 ,从 m = 32k = 5k2 ,进 k = p155 ,所以直线 l 的斜率为
32、 p155 题(理23)若穷数列fang满:只要ap = aq (p;q 2 N ),必有ap+1 = aq+1,则称fang具有性质P.(1)若fang具有性质P,且a1 = 1; a2 = 2; a4 = 3; a5 = 2; a6 + a7 + a8 = 21,求a3;(2)若穷数列fbng是等差数列,穷数列fcng是公为正数的等数列,b1 = c5 = 1; b5 = c1 =81; an = bn + cn,判断fang是否具有性质P,并说明理由;(3)设fbng是穷数列,已知an+1 = bn + sinan (n 2 N ),求证:“对任意a1,fang都具有性质P”的充要条件为
33、“fbng是常数列”分析第 (1) 小题考查解题者对性质 P 的理解;第 (2) 小题给出了两个基本数列,利用性质 P 的定义不难做出判断;第 (3) 小题难点在于必要性的证明,通过选择合适的初值构造常数列(从第项起)即可得出fbng 是常数列解(1) 因为 a2 = a5 = 2 ,所以a3 = a6; a4 = a7 = 3; a5 = a8 = 2;因此 a6 = 21 a7 a8 = 16 ,故 a3 = 16 (2) 由于 bn = 20n 19; cn = 13n 5 ,故an = bn + cn = 20n 19 + 13n 5:因为 a1 = a5 = 82 ,但是a2 = 2
34、1 + 27 = 48 = a6 = 101 + 13 = 3043 ;所以 fang 不具有性质 P(3) 先证明充分性若 fbng 是常数列,不妨设 bn = c ,则 an+1 = c+sinan 此时只要 ap = aq (p;q 2 N ) ,必有ap+1 = c + sinap = c + sinaq = aq+1;故对任意 a1 , fang 都具有性质 P再证明必要性考察连续函数 f(x) = x b1 sinx ,其中 b1 为任意实数因为f (b1 2) = 2 sin(b1 2) 0;所以存在 t 2 (b1 2;b1 + 2) ,使得 f(t) = t b1 sint
35、= 0 218 2016 年上海卷科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )若对任意 a1 , fang 都具有性质 P,取 a1 = t ,此时a2 = b1 + sina1 = b1 + sint = t = a1;进a2 = a3; a3 = a4; ; an = an+1; ;所以对任意 n 2 N ,均有bn+1 = an+2 sinan+1 = an+1 sinan = bn;即 fbng 是常数列综上所述,“对任意 a1 , fang 都具有性质 P”的充要条件为“ fbng 是常数列”8 2016年上海卷科数学题(14)穷数列fang由k个不同的数组成,Sn为fang的前n
36、项和若对任意的n 2 N ,Sn 2f2;3g,则k的最值为解与理科第 11 题类似由于 Sn;Sn+1 2 f2;3g,于是 an+1 2 f 1;0;1g,也即从第 2 项起数列 fang的不同取值不超过 3 个,进数列 fang 中的项的所有不同取值 k 4 事实上,取数列fang : 2;1;0; 1| z ;1;0; 1| z ;1;0; 1| z ; ;此时 k = 4 ,因此 k 的最值为 4 题(17)设a 2 R,b 2 0;2 )若对任意实数x都有sin(3x 3)= sin(ax + b),则满条件的有序实数对(a;b)的对数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
37、解与理科第 13 题类似考虑到函数的周期,可得 a = 3 ;再考虑函数的初相,可得当 a = 3 和当a = 3 时,都有唯的实数 b 符合题意,选 B题(18)设f(x);g(x);h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:(1)若f(x) + g(x);f(x) + h(x);g(x) + h(x)均为增函数,则f(x);g(x);h(x)中少有个为增函数;(2)若f(x) + g(x);f(x) + h(x);g(x) + h(x)均是以T为周期的函数,则f(x);g(x);h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A. (1)和(2)均为真命题B. (1)和(2)均为假命题
38、C. (1)为真命题,(2)为假命题D. (1)为假命题,(2)为真命题解D与理科第 18 题相同题(21)双曲线x2 y2b2 = 1(b 0)的左、右焦点分别为F1;F2,直线l过F2且与双曲线交于A;B两点(1)若l的倾斜为 2,F1AB是等边三形,求双曲线的渐近线程;(2)设b = p3,若l的斜率存在,且jABj = 4,求l的斜率分析第 (1) 小题考察双曲线的对称性;第 (2) 小题是个典型的焦点弦长问题,用考数学压轴题的分析与解中破解压轴题的有效 10 招中的第 5 招“焦半径公式”即可轻松解决228 2016 年上海卷科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )解(1) 与
39、理科第 21 题第 (1) 题相同;(2) 当 b = p3 时,双曲线的程为 x2 y23 = 1 ,其焦距 jF1F2j = 4 设 P 为双曲线右上点,则jPF1j = jPF2j+ 2 ,在 PF2F1 中应余弦定理有jPF1j2 = jF1F2j2 +jPF2j2 2 jPF2j jF1F2j cosPF2F1;代数据整理得jPF2j = 32cosPF2F1 + 1:类似地,当 P 为双曲线左上点时,有jPF2j = 32cosPF2F1 1:F1ABF2Oxy因此设直线 AB 的倾斜为 ,则jABj =32cos + 1 +32cos + 1= 6j4cos2 1j = 4;整理
40、得 cos = 58 ,因此直线 l 的斜率为 tan = p155 题(23)已知a 2 R,函数f(x) = log21x + a(1)当a = 1,解不等式f(x) 1;(2)若关于x的程f(x) + log2(x2) = 0的解集中恰有个元素,求a的值;(3)设a 0,若对任意t 212;1,函数f(x)在区间t;t+ 1上的最值与最值的差不超过1,求a的取值范围分析第 (1) 小题是基本的解函数不等式;第 (2) 小题将对数程转化为多项式程后,对次项系数 a适当讨论即可;第 (3) 小题是个典型的含参不等式恒成立问题,用考数学压轴题的分析与解中破解压轴题的有效 10 招中的第 1 招
41、“分离变量法”即可轻松解决解与理科第 22 题类似(1) 当 a = 1 时,原不等式等价于 1x + 1 2 ,其解集为 (0;1) (2) 根据题意,有 8:ax2 + x 1 = 0;1x + a 0;x2 0;有唯解情形a = 0 此时 x = 1 ,符合题意239 2016 年北京卷理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )情形a = 0 此时必然有程 ax2 + x 1 = 0 的判别式 = 1 + 4a = 0 ,解得 a = 14 ,此时 x = 2 ,符合题意综上, a 的值为 0 或 14 (3) 当 a 0 时,函数 f(x) 在 (0;+1) 上单调递减,于是问题
42、等价于8t 212;1;f(t) f(t + 1) 1;也即8t 212;1;a 1 tt2 + t:当 t = 1 时显然成,当 t 212;1,也即 1 t 20; 12时,有1 tt2 + t =1 t(1 t)2 3(1 t) + 2 =1(1 t) + 21 t 3 23;等号当 t = 12 时取得因此 a 的取值范围是23;+19 2016年北京卷理科数学试卷点评今年的北京卷延续了去年的命题风格:与实际活相联系的选择题第 8 题,考查函数的图象与性质的填空第 14 题今年的解析何题和导数题去年难度都有所下降,创新题的难度则略微提升,总的来说是稳中有降值得注意的是理科的第 8 题,
43、科的第 8 题和第 14 题看似简单,但是对思维僵化、对应数学知识 (尤其是逻辑知识 ) 解决实际问题的能有所缺的学将造成不的障碍题(理8)袋中装有偶数个球,其中红球、球各占半甲、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球,将其中个球放甲盒,如果这个球是红球,就将另个球放盒,否则就放丙盒重复上述过程,直到袋中所有球都被放盒中,则( )A.盒中球不多于丙盒中球B.盒中红球与丙盒中球样多C.盒中红球不多于丙盒中红球D.盒中球与丙盒中红球样多解每次操作只有可能发下列 4 种情形中的种:1. 甲盒中放红球,盒中放球;2. 甲盒中放球,丙盒中放红球;3. 甲盒中放红球,盒中放红球;4. 甲盒中放球,丙盒中放球
44、由于袋中的红球和球样多,因此情形 3 和情形 4 出现的次数必然样多,于是可得盒中红球与丙盒中球样多,选 B只发情形 1 即为选项 A,D 的反例,只发情形 3;4 即为选项 C 的反例因此正确的答案是 B题(理14)设函数f(x) =8a:(1)若a = 0,则f(x)的最值为;(2)若f(x)最值,则实数a的取值范围是249 2016 年北京卷理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )解利函数图象解决问题令 g(x) = x3 3x; x 2 R,则g(x) = 3(x + 1)(x 1);故 g(x) 在 x = 1 处取得极值 g( 1) = 2 ,在 x = 1 处取得极值 g
45、(1) = 2 令 h(x) = 2x; x 2 R,则 h(x) 的图象经过点 ( 1;2);(1; 2) 函数 g(x) 与 h(x) 的图象如下图所Oy = x3 3xy = 2xxy1212从中即可得出此题的结果为 (1) 2 ; (2) ( 1; 1) 题(理18)设函数f(x) = xea x+bx,曲线y = f(x)在点(2;f(2)处的切线程为y = (e 1)x+4(1)求a;b的值;(2)求f(x)的单调区间分析第 (1) 小题是典型的利用导函数求函数的切线程的问题;第 (2) 小题是简单的利用导函数研究函数的单调性的问题解(1) 函数 f(x) 的导函数f(x) = e
46、a x(1 x) + b;因此根据题意有 80;由此可知 f(x) 0 所以 f(x) 在 R 上单调递增题(理19)已知椭圆C : x2a2 +y2b2 = 1(a b 0)的离率为p32,A(a;0); B(0;b); O(0;0),OAB的积为1(1)求椭圆C的程;(2)设P是椭圆C上点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N求证:jANj jBMj为定值分析第 (1) 小题考查椭圆的程与基本量;第 (2) 小题考查基本的利用代数法研究何的能259 2016 年北京卷理科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )解根据题意画出意图如图NMPBAOxy(1) 根据椭圆 C 的离率
47、为p32 可得 a2 = 4b2 ,又 OAB 的积 12ab = 1 ,于是可得 a = 2 , b = 1 ,因此椭圆 C 的程为x24 + y2 = 1:(2)参数程解法设 P 点坐标为 (2cos ;sin ) ,可求得 M 点坐标为0; sin 1 cos , N 点坐标为2cos 1 sin ;0,故jANj jBMj =2cos 1 sin 2sin 1 cos 1= 2(sin + cos 1)2(1 sin )(1 cos )= 4为定值,因此原命题得证仿射变换解法在仿射变换8 b 0 ) 的结论: jANj jBMj = 2ab 2610 2016 年北京卷科数学 考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著 )(1)对数列A : 2;2; 1;1;3,写出G(A)的所有元素;(2)证明:若数列A中存在an使得an a1,则G(A) = ;(3)证明:若数列A满an an 1 1(n = 2;3; ;N),则G(A)的元素个数不于aN a1分析第 (1) 小题是为了让解题者熟悉“ G 时刻”所作的铺垫;第 (2) 小题提示解题者将具