1、6.4 “ 极 值 点 偏 移 ” 的 何 去 何 从 泛 化 、 模 式 化 的 忧 思 与 高 考 的 全 解 读一 、 “ 极 值 点 偏 移 ” 的 高 考 题 目1.（ 2011辽 宁 ） 已 知 函 数 xaaxxxf )2(ln)( 2 （ I） 讨 论 )(xf 的 单 调 性 ；（ II） 设 0a ， 证 明 ： 当 ax 10 时 ， )1()1( xafxaf ；（ III） 若 函 数 )(xfy 的 图 像 与 x 轴 交 于 A， B 两 点 ， 线 段 AB 中 点 的 横 坐 标 为 x0， 证 明 ： f （ x0） 02.（ 2016全 国 1） 已 知
2、函 数 有 两 个 零 点 .(I)求 a 的 取 值 范 围 ；(II)设 x1， x2是 的 两 个 零 点 ， 证 明 ： +x22.点 评 ： 2011辽 宁 和 2016全 国 1 是 一 致 的 ， 但 2011辽 宁 题 目 是 构 造 了 函 数 ， 2016在 此基 础 上 增 加 难 度 ， 即 需 要 自 己 构 造 函 数 ， 有 人 把 这 类 问 题 定 义 为 “ 极 值 点 的 偏 移 ” ， “ 天 津一 出 ， 全 国 漂 移 ” 指 的 是 2010天 津 卷 考 查 了 “ 极 值 点 的 偏 移 ” ， 全 国 各 地 到 处 涌 现 类 似 的 题目
3、 ， 除 了 二 次 函 数 以 外 ， 绝 大 部 分 函 数 的 单 调 性 并 不 具 有 对 称 性 ， 岂 不 都 是 极 值 点 偏 移 ， 这是 对 极 值 点 偏 移 认 识 的 泛 化 ， 最 后 导 致 学 生 和 老 师 都 驾 驭 不 了 。二 、 打 破 学 生 思 维 定 势3.（ 2018届 成 都 一 诊 ） 已 知 函 数 xexf （ 1） 若 曲 线 xfy 在 00, xfx 处 的 切 线 方 程 为 bkxy ， 求 bk 的 最 小 值（ 2） 当 常 数 ,2m 时 ， 若 函 数 21 2 mxxfxxg 在 ,0 上 有 两 个 零 点 21
4、21, xxxx ， 证 明 ： mxex 21 4ln证 明 ： （ 1） 双 参 数 问 题 ， 利 用 等 量 关 系 消 元 ， 构 造 函 数 ， 求 最 值 。（ 2） 21 2 mxexxg x ， mexxg x 2 ， 所 以 xg 在 m2ln,0 单 减 ， 在 ,2ln m 单 增 ，注 意 到 020 g ， 021 mg ， 所 以 1,01 x ，因 为 有 两 个 零 点 ， 所 以 02ln mg ， 且 当 x 时 ， xg ， 所 以 ,2ln2 mx ， 则 emxx 4ln14ln12ln12 要 说 明 mx 2 ， 因 为 xg 在 ,2ln m
5、单 增 ， 所 以 只 需 说 明 0mg 21 3 memmg m ， memmmemg mm 33 2 令 memh m 3 ， ,2,03 memh m ，所 以 memh m 3 在 ,2 单 增 ，所 以 0623 2 ehmemh m ， 即 0 mg ，从 而 21 3 memmg m 在 ,2 单 增 ， 所 以 062 2 egmg点 评 ： 证 明 exx 4ln12 很 多 学 生 想 到 极 值 点 偏 移 ， 套 用 模 型 ， 最 后 无 果 而 终 ， 其 实mxex 2ln4ln14ln4ln 11 ， 并 不 能 转 化 到 同 一 个 单 调 区 间 去 。
6、 这 其 实 就 是 在 研究 两 个 零 点 的 距 离 ， 利 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 二 分 法 缩 小 零 点 的 范 围 应 该 是 首 选 。 猜 测 2018届 成 都 一 诊 命 题 思 路 是 打 破 学 生 模 型 化 思 考 ， 从 问 题 根 本 上 来 思 考 。从 根 本 上 来 说 ， 由 函 数 值 相 等 研 究 自 变 量 的 关 系 ， 一 般 说 来 ， 等 量 关 系 考 查 对 称 性 ， 不等 关 系 则 考 查 单 调 性 ， 而 利 用 单 调 性 比 大 小 的 关 键 在 于 把 变 量 转 化 到 同 一 个 单 调 区 间
7、， 于 是借 助 对 称 构 造 函 数 ， 恰 好 能 实 现 这 一 目 标 。 2011辽 宁 给 出 了 辅 助 函 数 ， 2016在 此 基 础 上 增加 难 度 ， 没 有 给 出 辅 助 函 数 。三 、 “ 极 值 点 偏 移 ” 的 带 来 的 迷 乱未 来 还 会 怎 么 变 ？ 下 面 是 某 地 的 一 诊 试 题4.已 知 函 数 0ln21 2 axaaxxxf（ 1） 讨 论 xf 单 调 性（ 2） 当 1a 时 ， 若 方 程 221 2 mmxxf 有 两 个 根 2121, xxxx ， 证 明2221 xx分 析 ： 处 理 第 （ 2） 问 ， 只
8、有 把 22x 除 到 右 边 去 ， 即 221 2xx （ 除 以 1x 都 做 不 出 来 ）容 易 证 明 mxxxg ln 的 两 根 2,10 21 xx ， 则 12221 xx因 为 xg 在 1,0 上 单 增 ， 则 只 需 证 明 221 2xgxg ，即 证 明 022lnln2 222211221 xxxxxgxg注 意 到 mxxmxx 2211 lnln ， 即 2211 lnln xxxx 代 入 上 式 ， 得 022lnln322lnln2 2222222222221 xxxxxxxxgxg令 222lnln3 tttt ， 2t ， 求 导 即 可 证 明
9、 。点 评 ： 未 来 还 会 怎 么 变 ？ 会 像 我 们 的 变 式 吗 ？ 个 人 认 为 不 会 ， 因 为 2016虽 没 有 给 出 辅助 函 数 ， 但 21 2 xx 的 证 明 借 助 图 像 ， 可 以 非 常 自 然 地 构 造 函 数 ， 但 第 4 题 却 没 有 此 味道 ， 为 什 么 一 定 要 除 以 22x ， 而 不 是 1x ， 这 很 难 给 出 合 理 的 解 释 。 第 4 题 ， 很 多 技 巧 性 的 处理 是 不 自 然 的 ， 所 以 这 样 的 改 编 ， 作 为 高 考 的 模 拟 题 是 不 合 适 的 。 中 国 考 试 2016
10、年 7 月 ，考 试 中 心 对 高 考 题 的 评 价 是 “ 突 出 实 践 性 和 创 新 性 ， 实 现 高 考 的 选 拔 功 能 ” ， 其 中 2016全 国3 卷 第 12 题 和 2016 全 国 1 第 21 题 就 承 载 了 区 分 特 优 生 和 突 出 选 拔 功 能 的 题 目 。 故 不 应 该再 增 加 一 些 很 强 的 技 巧 。四 、 根 据 全 国 卷 命 题 特 点 改 编结 合 2017 全 国 2 第 21 题 通 过 缩 小 零 点 的 范 围 估 计 极 值 的 下 界 ， 据 此 可 以 如 下 改 编 ：5. 设 211 xaaxexf
11、x（ 1） 若 xf 仅 有 一 个 极 值 点 ， 求 a的 范 围 ；（ 2） 证 明 ： 当 210 a 时 ， xf 有 两 个 零 点 21,xx ， 且 23 21 xx解 析 ： (1) 221 aaexxf x ， 由 0 xf 得 1x 或 022 aaex 因 为 xf 仅 有 一 个 极 值 点 ， 则 关 于 x的 方 程 无 解 ；（ i） 当 0a 时 ， 方 程 无 解 ， 符 合 题 意 ；（ ii） 当 0a 时 ， 由 得 aaex 22 ， 无 解 ， 则 022 aa ， 即 10 a综 上 ： 当 10 a 时 ， xf 在 1, 单 减 ， 在 ,1
12、 单 增 ； xf 仅 有 一 个 极 值 点 ，（ 2） 证 明 ： 由 （ 1） 知 当 210 a 时 ， 1x 是 极 值 点 ， 此 时 也 有 012112112122 222 eaeaeaf 010,01 afeaf则 函 数 xf 在 1,2 和 0,1 各 有 一 个 零 点 ， 不 妨 设 1,21 x ， 0,12 x所 以 321 xx下 面 证 明 ： 221 xx ， 即 证 明 21 2 xx ， 因 为 1,22, 21 xx 且 xf 在 1,2 单 减 ， 只 需 证 明 21 2 xfxf 令 0,1,2 xxfxfxF ，则 xx eexaxfxfxF
13、212 ，因 为 0,1x ， 有 02 xx ee ， 则 xF 在 0,1 单 增 ，所 以 0,1x ， 有 01 FxF ， 即 xfxf 2从 而 有 22 2 xfxf ， 因 为 021 xfxf ， 所 以 21 2 xfxf ， 得 证 。点 评 ： 这 是 求 零 点 之 和 的 范 围 ， 很 多 人 套 用 极 值 点 偏 移 模 型 ， 注 意 到 1x 是 极 值 点 ， 故可 构 造 函 数 来 处 理 ， 但 左 边 却 处 理 不 出 来 。 回 到 问 题 本 身 来 考 虑 ， 界 定 零 点 的 范 围 ， 零 点 存在 性 定 理 是 基 本 方 法
14、。 但 任 何 一 种 方 法 都 不 能 把 这 个 题 做 完 整 ， 考 查 了 思 维 的 灵 活 性 。 这 和2017年 全 国 2 卷 21题 是 一 致 的 ， 需 要 用 不 同 的 方 法 去 估 计 极 大 值 的 范 围 。结 合 2015 新 课 标 1 考 查 过 0ln,41min 3 xxaxxxh 的 零 点 个 数 ， 据 此 可以 考 虑 如 下 改 编 ：6. 已 知 xexxgxxxf ,ln（ 1） 记 xgxfxF ， 判 断 xF 在 区 间 2,1 内 零 点 的 个 数 ， 并 说 明 理 由 ；（ 2） 记 xF 在 区 间 2,1 内 零
15、 点 为 0x ， xgxfxm ,min ， 若 Rnnxm 在 ,1 内 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 2121, xxxx ， 判 断 21 xx 与 02x 的 大 小 ， 并 给 出 证 明 。解 析 ： （ 1） 因 为 2,1,011ln11ln xexxe xxxF xx所 以 xF 在 区 间 2,1 内 单 增 ， 又 因 为 02,01 FF ，故 xF 在 区 间 2,1 内 有 唯 一 零 点 。（ 2） 分 析 ： 作 出 图 像 ， 可 得 021 2xxx ， 只 需 证 明 102 2 xxx ， 由 图 像 知 xm 在 0,1 x单 增 ， 在
16、,0x 单 减 ， 只 需 证 明 102 2 xxmxm ， 即 101 2 xxmxm 由 （ 1） 知 xF 在 区 间 2,1 内 单 增 ， 所 以 0 0, 1,ln xxex xxxxxm x构 造 函 数 xxe xxxxxxmxmxh 0200 2ln2 ， 0,1 xx ， xxxx e xxxe xxxxh 00 202 0 12ln121ln1容 易 说 明 1 xex ， 则 12 02 0 xxe xx ，注 意 到 对 任 意 的 0,1 xx ， 有 012 0 xx ， 则 112 1212 00200 xx xxe xx xx所 以 0 xh ， 即 xh
17、在 0,1 x 单 增 ， 则 00 xhxh ， 即 xxmxm 02则 101 2 xxmxm 。点 评 ： 开 放 性 设 问 ， 通 过 图 像 ， 让 0n 得 到 结 论 。 在 函 数 的 结 构 上 进 行 了 创 新 ， 难 度 不大 ， 考 查 学 生 能 否 在 新 情 景 中 对 所 学 方 法 进 行 迁 移 。五 、 在 零 点 存 在 性 定 理 上 创 新 、 回 到 对 零 点 本 身 满 足 的 条 件 进 行 思 考7. 已 知 函 数 0,1ln 2 aaxxxf（ 1） 讨 论 xf 的 单 调 性 ；（ 2） 若 函 数 xf 在 区 间 0,1 上
18、 有 唯 一 零 点 0x ， 证 明 ： 102 1 exe解 析 ： （ 1） 1,1 122211 2 xx axaxaxxxf令 0122 2 axaxxg ， 24 aa 当 0 ， 即 20 a 时 ， 0 xf ， 所 以 xf 在 0,1 单 增 ， 当 0 ， 即 2a 时 ， 122 2 axaxxg 有 两 个 零 点 a aaaxa aaax 2 2,2 2 21 （ 需 要 把 两 根 与 定 义 域 的 端 点 值 1x 进 行 比 较 ， 法 一 ： （ 特 值 法 ） 取 3a 进 行 判 断 ， 法二 ： （ 图 像 法 ） 注 意 到 xg 开 口 向 上
19、， 对 称 轴 为 21x ， 010 g ， 可 以 确 定0211 21 xx ， 法 三 ： 函 数 观 点 ）因 为 aa aaax 2141212 21 在 ,2 单 减 ， 则 21,11x ， 同 理 0,212x ， 所 以 xf 在 1,1 x 单 增 ， 在 21,xx 单 减 ， 在 ,2x 单 增 ，（ 2） 由 （ 1） 知 ， 当 20 a 时 ， xf 在 0,1 单 增 ， 则 对 任 意 的 0,1x ， 有 00 fxf当 2a 时 ， 结 合 00 f ， 作 出 函 数 图 像 ， 知 若 函 数 xf 在 区 间 0,1 上 有 唯 一 零 点 0x
20、，则 极 大 值 点 1xx 是 函 数 的 唯 一 零 点 ， 即 10 xx ，（ 要 确 定 0x 的 范 围 ， 很 自 然 的 思 路 是 借 助 零 点 存 在 性 定 理 ， 想 说 明 011 12 efef ，遗 憾 的 是 ， 这 样 走 不 通 。 于 是 重 新 思 考 0x 满 足 那 些 条 件 ， 一 是 极 值 点 ， 二 是 函 数 的 零 点由 0 0 xf 得 0122 020 axax ， 知 0,xa 是 两 个 相 关 变 量 ， 于 是 和 以 前 经 验 一 样 ， 在 01ln 2000 axxxf 中 消 去 一 个 变 量 ）由 0 0 x
21、f 得 0122 020 axax ， 即 12 100 xxa ，则 012 1211ln121ln 000000 xxxxxxf ，令 10 xt ， 21,0t ， 令 ttth 2121ln ， 02 12 2 ttth ，所 以 th 在 21,0 单 减 ， 注 意 到 02212 22 eeh ， 022111 eeh则 th 在 12, ee 上 有 唯 一 零 点 10 x ， 所 以 102 1 exe 。变 式 ： 已 知 函 数 axexf x ln 有 唯 一 零 点 0x ， 证 明 ： 211 0 x证 明 ： 容 易 证 明 1 xex ， 12ln xx （
22、略 ） ，当 2a 时 ， 则 11ln xexax ， 两 个 等 号 不 能 同 时 取 到 ， 所 以 此 时 无 零 点 。当 2a 时 ， axexf x 1 ， 易 知 xf 单 增 ， 注 意 到 0110 af ， 011 1 aeaf ， 所 以 xf 有 唯 一 零 点 ， 记 为 0,1, 11 axx ，所 以 xf 在 1,xa 单 减 ， 在 ,1x 单 增 ， 若 函 数 有 唯 一 零 点 0x ， 则 10 xx 。此 时 有 0ln 010000 axe axexx ， 可 得 000 xex ， 令 xexg x ， 则 xg 单 增 ，注 意 到 011
23、,02112121 121 egeeg ， 所 以 211 0 x六 、 零 点 问 题 再 创 新 ， 函 数 观 点（ 一 ） 构 造 函 数天 津 卷 应 该 是 引 领 了 零 点 范 围 的 研 究 ， 不 断 地 创 新 。 继 2010以 后 ， 2014再 次 从 另 一 个角 度 来 考 查 。8.（ 2014天 津 ） 已 知 函 数 ( ) xf x x ae= - ( )a R ， x R .已 知 函 数 ( )y f x= 有 两 个 零点 1 2,x x ， 且 1 2x x .（ ） 求 a的 取 值 范 围 ；（ ） 证 明 ： 21xx 随 着 a的 减 小
24、 而 增 大 ；（ ） 证 明 ： 1 2x x+ 随 着 a的 减 小 而 增 大 .法 一 ： 研 究 1 2x x+ 的 单 调 性 ， 视 为 关 于 a的 函 数 ， 如 果 函 数 是 一 一 对 应 ， 也 可 以 考 虑 构 建 a关 于 1 2x x+ 的 函 数 ， 根 据 容 易 性 ， 灵 活 选 择 。.)( .)(1,)(.0)(0-)2()( )(,0-)(,2,-)(,-)( .)().1,0()(,21 2)1( .0)(0)-(-)-1()1()( ,0)0(),1,0(),-1(-)1()(221 2122 22 2 1-2121 21 2 -11-11
25、211 111 1121 的 减 小 而 增 大随所 以 ， 的 增 大 而 增 大随即是 递 增 的所 以 ， 即 是 递 增 的则则再 令 是 递 增 的证 明，令知 ，所 以 由 则， 证 明 如 下 ： 令究 方 法 可 以 证 明由 以 前 极 值 点 偏 移 的 研axx xxaxgxgeehxh xhexeexhxeexexhex eexexg xgxxeexgxxxee xxa xx xhe eexexe xxgxgxh hxxgxgxhxxx xxxxxxx xxx xxxxx xxxx 法 二 ： 第 （ ） 问 为 第 （ ） 作 了 很 好 的 铺 垫 ， 视 为 关
26、于 21xx 的 函 数 ， 由 复 合 函 数 单 调 性 ，需 说 明 1 2x x+ 关 于 21xx 的 增 函 数 ， 令 t 21xx 。 构 建 函 数 ， 需 要 找 出 等 量 关 系 ， 由 11 xx ae= ，22 xx ae= 可 得 1 1ln lnx a x= + ， 2 2ln lnx a x= + .两 式 作 差 ， 有22 1 2 1 1ln ln ln xx x x x x- = - = ， 即 2 1 lnx x t- = ， 结 合 t 21xx ， 可 以 解 得 1 ln1tx t= - ，2 ln1t tx t= - .所 以 ( )1 2 1
27、 ln1t tx x t+ = - .（ 二 ） 零 点 与 极 值 点 相 联 系 的 不 等 关 系第 7题 给 出 的 是 零 点 和 极 值 点 重 合 的 关 系 ， 函 数 的 零 点 肯 定 与 单 调 性 有 着 紧 密 联 系 ， 这也 意 味 着 与 极 值 点 有 着 不 等 关 系 ， 如 何 去 界 定 这 种 不 等 关 系 ， 2014 辽 宁 文 理 都 给 出 了 一 个极 其 特 殊 的 案 例 。9.（ 2014辽 宁 ） 已 知 函 数 8( ) (cos )( 2 ) (sin 1)3f x x x x x ，2( ) 3( )cos 4(1 sin
28、)ln(3 )xg x x x x .证 明 ： （ 1） 存 在 唯 一 0 (0, )2x ， 使 0( ) 0f x ；（ 2） 存 在 唯 一 1 ( , )2x ， 使 1( ) 0g x ， 且 对 （ 1） 中 的 0 1x x .点 评 ： 要 让 xf 的 零 点 与 xg 的 零 点 产 生 不 等 关 系 ， 希 望 从 xg 中 构 造 出 xf ， 且 xf 决 定 这 xg 的 正 负 。 为 什 么 会 给 出 如 此 复 杂 的 一 个 函 数 ， 这 不 是 全 国 卷 命 题 的 特 点 ，因 为 函 数 如 果 不 够 复 杂 ， 又 不 含 参 数 ，
29、总 可 以 借 助 零 点 存 在 性 定 理 和 二 分 法 ， 笔 算 都 可 以 实现 一 步 一 步 地 缩 小 两 个 函 数 零 点 的 范 围 。（ 二 ） 凸 函 数 的 性 质研 究 函 数 零 点 的 范 围 ， 除 了 零 点 存 在 性 定 理 之 外 ， 很 自 然 要 考 虑 函 数 的 性 质 。 若 函 数 为凸 函 数 ， 则 两 个 零 点 夹 在 两 条 切 线 之 间 。 这 在 2015 天 津 卷 文 理 科 都 得 到 了 考 查 。 见 1.11节 函 数 的 凹 凸 性 例 4的 变 式 。10. （ 2015天 津 ） 已 知 函 数 ( )
30、 n ,nf x x x x R ， 其 中 *n ,n 2N .(I)讨 论 ( )f x 的 单 调 性 ；(II)设 曲 线 ( )y f x= 与 x轴 正 半 轴 的 交 点 为 P， 曲 线 在 点 P处 的 切 线 方 程 为 ( )y g x= ,求 证 ： 对 于 任 意 的 正 实 数 x， 都 有 ( ) ( )f x g x ； 【 来 源 ： 21 世 纪 教 育 网 】(III)若 关 于 x的 方 程 ( )=a(a )f x 为 实 数 有 两 个 正 实 根 1 2x x， ， 求 证 ： 2 1| - | 21ax x n +-（ 三 ） 由 零 点 距 离
31、 的 范 围 求 参 数 的 范 围函 数 有 两 个 零 点 ， 参 数 有 对 应 的 范 围 ， 进 而 根 据 对 称 性 找 到 两 个 零 点 和 的 范 围 ， 反 过 来 ，给 出 零 点 的 不 等 关 系 ， 反 过 来 如 何 求 参 数 的 范 围 。 2010天 津 给 出 了 这 样 的 思 考 。11.（ 2011天 津 ） 已 知 0a ， 函 数 2( ) ln , 0.f x x ax x （ ） 求 ( )f x 的 单 调 区 间 ；（ ） 当 18a 时 ， 证 明 ： 存 在 0 (2, )x ， 使 0 3( ) ( )2f x f ；（ ） 若
32、存 在 均 属 于 区 间 1,3 的 , ， 且 1 ， 使 ( ) ( )f f ， 证 明 ：ln3 ln2 ln25 3a 解 ： （ ） 21 1 2( ) 2 , (0, )2axf x ax xx ，所 以 ( )f x 的 单 调 递 增 区 间 是 2(0, ), ( )2 a f xa 的 单 调 递 减 区 间 是 2( , ).2 aa （ ） 法 一 ： 证 明 ： 由 ( ) ( )f f 及 （ I） 的 结 论 知 22 aa ，从 而 ( ) , f x 在 上 的 最 小 值 为 ( ).f a 又 由 1 ， , 1,3, 知 1 2 3. 故 (2) (
33、 ) (1), ln2 4 ,(2) ( ) (3). ln2 4 ln3 9 .f f f a af f f a a 即 ， 从 而 ln3 ln2 ln2.5 3a 法 二 ： 求 a的 范 围 ， 分 离 参 数 法 是 基 本 方 法 ， 由 ( ) ( )f f 得 22 lnln aa ，即 22 lnln a ， 分 式 结 构 ， 联 想 到 几 何 意 义 ， 于 是 22 2222 lnlnln2ln22 a视 为 2lnxxh 的 斜 率 范 围 ， 因 为 xxxh ln2ln 2 导 函 数 xxh 2 为 减 函 数 ， 函 数为 上 凸 函 数 ， 增 长 的 越
34、 来 越 慢 ， 借 助 图 像 知 ， 结 合 1 2 3 ， 可 得22 2222 2222 22 12 1ln2lnlnln223 2ln3ln a ， 即 ln3 ln2 ln2.5 3a 点 评 ： 很 多 老 师 认 为 这 也 是 极 值 点 偏 移 ， 可 按 照 套 路 ， 并 不 能 走 通 ， 回 到 函 数 的 图 像 与性 质 来 思 考 ， 根 据 零 点 距 离 的 不 等 关 系 和 本 身 区 间 的 限 制 ， 得 到 1 2 3 ， 由 函 数图 像 和 单 调 性 得 到 函 数 值 的 不 等 关 系 。 2017绵 阳 三 诊 对 此 题 应 该 有 着 深 入 的 研 究 ， 由 此 进变 成 了 选 择 题 。变 式 ： （ 2017届 绵 阳 三 诊 ） 已 知 函 数 3ln2 2 axxxf ， 若 存 在 实 数 5,1, nm 满 足2mn 时 ， nfmf 成 立 ， 则 实 数 a的 最 大 值 为 （ ）A. 8 3ln5ln B. 43ln C. 8 3ln5ln D. 34ln
