1、广西桂林中学 2017 届高三（下）月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 （5 分）复数 z 为纯虚数，若（3i ）z= a+i（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值为（ ）A3 B3 C D2 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=y|y=2x 1，xA，则 AB=（ ）A1 ，3 B1，2 C2，3 D1 ，2，33 （5 分）已知命题 p：x 0，x 30，那么p 是（ ）Ax0，x 30 BCx0，x 3 0 D4 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 =1
2、，则数列a n的公差是（ ）A B1 C2 D35 （5 分）若非零向量 ， 满足| |= | |，且（ ）（3 +2 ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D6 （5 分）函数 f（x ）=cos（x+）的部分图象如图所示，则 f（x）的单调递减区间为（ ）A （k ，k+ ） ，k Z B （2k ，2k + ） ，kZC （k ，k ） ，kZ D （2k ，2k+ ） ，kZ7 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A2 B1 C0 D18 （5 分）已知双曲线 =1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2， ） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x
3、 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =19 （5 分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A108cm 3 B100cm 3 C92cm 3 D84cm 310 （5 分）若 log4（3a+4b） =log2 ，则 a+b 的最小值是（ ）A6+2 B7+2 C6+4 D7+411 （5 分）数列a n满足 an+1+（1） nan=2n1，则a n的前 60 项和为（ ）A3690 B3660 C1845 D183012 （5 分）已知函数 f（x ）= ，且 g（x）=f（x） mxm 在（1 ，1内有且仅有两个不同的零点，则
4、实数 m 的取值范围是（ ）A （ ， 2（0， B （ ， 2（0， C （ ，2 （0， D （ ，2（0， 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填写在答题卷的横线上.）13 （5 分）设变量 x，y 满足 ，则 2x+3y 的最大值为 14 （5 分）若 ， ，sin2= ，则 sin= 15 （5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 16 （5 分）设 m，nR，若直线（m+1 ）x +（n+1）y 2=0 与圆（x
5、1） 2+（y1） 2=1 相切，则 m+n 的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知sinB（tanA+tan C）=tanA tanC（）求证：a，b，c 成等比数列；（）若 a=1，c=2，求ABC 的面积 S18 （12 分）某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80 ，90） ，90 ，100（1）求图中 a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这 10
6、0 名学生语文成绩的平均分；（3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段 50，60）60，70）70，80）80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：519 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB ，AB=AA 1，BAA 1=60（）证明：ABA 1C；（）若 AB=CB=2，A 1C= ，求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积20 （12 分）已知函数 为常数，e=2.71828是自然对数的底数） ，曲线 y=f（x）在点（1 ，f（1） ）处的切线与 x 轴平行（
7、）求 k 的值；（）求 f（x）的单调区间；（）设 g（x）=xf（x ） ，其中 f（x）为 f（x ）的导函数证明：对任意 x0，g（x）1+e221 （12 分）设椭圆 的左右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点（1）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k| 请考生在 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标
8、系中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 上两点 M，N 的极坐标分别为（2，0） ， ，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） 设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程；判断直线 l 与圆 C 的位置关系选修 4-5：不等式选讲23已知关于 x 的不等式|x+ a|b 的解集为x|2x4（）求实数 a，b 的值；（）求 + 的最大值参考答案一、选择题1D2A3D4C5D6 D7C8D9B10D11D12A二、填空题135514 1516 （ ，2 2 2+2 ，+）三、解答题17 （I）证明：sinB（tan A+tanC）=tan A
9、tanCsinB（ ）=sinB =sinB（sinAcosC+sinCcosA ）=sinA sincsinBsin（A+C ）=sin AsinC，A+ B+C=sin（A+C）=sinB即 sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b 2=ac，所以 a，b，c 成等比数列（II）若 a=1，c=2 ，则 b2=ac=2， ，0BsinB=ABC 的面积 18解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得 a=0.005；（2）这 100 名学生语文成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73（分） ；（3）数学成绩在
10、50，60）的人数为： 1000.05=5，数学成绩在60，70）的人数为： ，数学成绩在70，80）的人数为： ，数学成绩在80，90）的人数为： ，所以数学成绩在50，90）之外的人数为： 1005204025=1019 （）证明：如图，取 AB 的中点 O，连结 OC， OA1，A 1B因为 CA=CB，所以 OCAB由于 AB=AA1， ，故AA 1B 为等边三角形，所以 OA1AB 因为 OCOA 1=O，所以 AB平面 OA1C又 A1C平面 OA1C，故 AB A1C；（）解：由题设知ABC 与AA 1B 都是边长为 2 的等边三角形，所以 又 ，则 ，故 OA1OC因为 OCA
11、B =O，所以 OA1平面 ABC，OA 1 为三棱柱 ABCA1B1C1 的高又ABC 的面积 ，故三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 20解：（I）函数 为常数，e=2.71828 是自然对数的底数） ， = ，x（0，+） ，由已知， ，k=1（II）由（I）知， = ，x （0，+） ，设 h（x）=1 xlnxx，x（0，+） ，h（x）=（lnx+2） ，当 x（0，e 2）时，h（x ） 0，当 x（ e2，1）时，h （x）0，可得 h（x）在 x（0，e 2）时是增函数，在 x（ e2，1）时是减函数，在（1，+）上是减函数，又 h（1）=0，h（e 2）0，又 x 趋向于
12、0 时，h（x ）的函数值趋向于 1当 0x1 时，h（x ）0，从而 f（x）0，当 x1 时 h（x ）0，从而 f（x）0综上可知，f（x ）的单调递增区间是（0，1） ，单调递减区间是（1，+） （III）由（ II）可知，当 x1 时，g（x ）= xf（x ）0 1+e2，故只需证明 g（x）1+e 2 在 0x 1 时成立当 0x1 时，e x1，且 g（x）0， 设 F（x ）=1 xlnxx，x（0，1） ，则 F（x）= （lnx+2） ，当 x（0，e 2）时，F（x）0，当 x（ e2，1）时， F（x）0，所以当 x=e2 时， F（x ）取得最大值 F（e 2）=1
13、+e 2所以 g（x）F （x ）1+e 2综上，对任意 x0，g（x ）1+e 221 （1）解：设 P（x 0，y 0） ， 椭圆 的左右顶点分别为 A，B，A（a，0） ，B（a，0） ，直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ，代入并整理得y 00，a 2=2b2椭圆的离心率为 ；（2）证明：依题意，直线 OP 的方程为 y=kx，设 P（x 0，kx 0） ，ab0，kx 00， |AP|=|OA| ，A（a，0） ，代入得k 23直线 OP 的斜率 k 满足| k| 22解：直线 l 上两点 M，N 的极坐标分别为（2，0） ， ，分别化为直角坐标：M（2，0） ，N 线段 MN 的中点 P 的坐标为 ， 直线 OP 的平面直角坐标方程为： 由圆 C 的参数方程为 （ 为参数）消去参数 可得，可得圆心 C ，半径 r=2圆心 C 到直线 l 的距离 d= 因此直线 l 与圆 C 相离23解：（）关于 x 的不等式| x+a|b 可化为b axba，又原不等式的解集为x|2 x4， ，解方程组可得 ；（）由（）可得 + = += + =2 =4，当且仅当 = 即 t=1 时取等号，所求最大值为 4
