拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用.pdf

1、数学与统计学院 2009 届毕业论文分类号编 号本科生毕业论文（设计）题 目 拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名 常 正 军专 业 数学与应用数学学 号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型 数学应用方向指导教师 李 明 图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 数学与统计学院 2009 届毕业论文论 文 原 创 性 声 明本 人 郑 重 声 明 ： 所 呈 交 毕 业 论 文 ， 是 本 人 在 指 导 教 师 的 指导 下 ， 独 立 进 行 研 究 工 作 所 取 得 的 成 果 。 除 文 中 已 经 注 明 引 用的 内 容 外 ， 本 论 文 不 包

2、含 任 何 其 他 人 或 集 体 已 经 发 表 或 撰 写 过的 作 品 成 果 。 对 本 文 的 研 究 做 出 重 要 贡 献 的 个 人 和 集 体 ， 均 已在 文 中 以 明 确 方 式 标 明 。 本 人 完 全 意 识 到 本 声 明 的 法 律 结 果 由本 人 承 担 。论 文 作 者 签 名 ： 年 月 日数学与统计学院 2009 届毕业论文摘要 拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特

3、殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造， 以及几个方面的应用加以举例。关键词 ： 拉格朗日中值定理 辅助函数的构造 证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast

4、 majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolles theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchys theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mea

5、n value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application数学与统计学院 2

6、009 届毕业论文目 录1 定理的叙述 .1 1.1 罗尔 (Rolle) 中值定理 .1 1.2 拉格朗日 (Larange) 中值定理 . 1 2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 .1 2.1 借助于数形结合的思想构建辅助函数 . 1 2.2 用行列式构造辅助函数 2 2.3 借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 . 3 2.4 借助待定系数法构造辅助函数 4 2.5 借助定积分构造辅助函数 5 2.6 借助不定积分构造辅助函数 .5 2.7 借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 .6 3 拉格朗日中值定理的应用 8 3.1 拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 .8 3.2 拉格朗日

7、中值定理在不等式证明中的应用 .9 错 误 ！ 未 定 义 书 签 。 3.3 拉 格 朗 日 中 值 定 理 在 研 究 函 数 性 态 中 的 应用 . 10 3.4 拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用 . 11 3.5 拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用 12 4 参考文献 .13 5 致谢 .14 数学与统计学院 2009 届毕业论文- 1 - 拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的及应用1 定理的叙述1.1 罗尔 (Rolle) 中值定理若函数 )( xf 满足：(1)在闭区间 ba, 上连续；(2)在开区间 ba, 内可导；(3) )()( bfaf ，则在 ba, 内至少

8、存在一点 ，使得 f =0 1.2 拉格朗日 (Larange) 中值定理若函数 )( xf 满足：(1)在闭区间 ba, 上连续；(2)在开区间 ba, 内可导；则在 ba, 内至少存在一点 ，使得f =abafbf2 拉格朗日中值定理的证明中辅助函数构造的方法2.1 借助于数形结合的思想构建辅助函数拉格朗日中值定理的条件与罗尔中值定理的条件相比较， 不难发现它们相差的是函 xfy 在 ba, 上两端点的函数值 )()( bfaf .为此， 可以构建一个新的函数 xF （ xF 要满足的条件： xF 与 )(xf 有关） ，即把问题转化为满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理所得到的结论来证明

9、拉格朗日定理 .根据 Rolle 定理的几何意义， ab afbf 是曲线 xfy 在 ba, 上 两 端 点BPxfyyabafbfy xaAbafxFyO1b 0bnb0a 1a 2a 3axfyBbAayxx图 1 图 2 na 2bL数学与统计学院 2009 届毕业论文- 2 - A bfbBafa , 连线 AB 的斜率，则弦 AB 方程为：axab afbfafy用曲线 xfy 的纵坐标之差作辅助函数：axab afbfafxfyxfxF AB （ 1）即符合 Rolle 定理 bFxF 的条件 . 证明：作辅助函数axab afbfafxfxF显然 0bFaF ,且 xF 满足罗

10、尔中值定理的另两个条件 .故至少存在一点 ba, ，使得0 ab afbffF移项后及得 ab afbff 另外，也可以用原点与曲线 xfy 在 ba, 上两端点的连线 AB 平行的直线 OL 代替弦 AB ，而直线 OL 的方程为 xabafbfy . 因此 ,用曲线xfy 的纵坐标与直线 OL 的总坐标之差，得到另一辅助函数：xab afbfxfyxfxF OL （ 2）可以验证 xF 在 ba, 上满足罗尔中值定理条件，具体证明同上 .2.2 用行列式构造辅助函数行列式不仅是高等代数中最基本工具， 具有很强的操作性 . 而且在数学分析中叶也很广泛地应用 . 这样就有机的将一个函数用行列式

11、表示出来了，大大简化了数学分析繁杂的证明过程 . 证明：构造辅助函数数学与统计学院 2009 届毕业论文- 3 - 111bfbafaxfxx常见函数 x 在闭区间 ba, 上是连续的（由连续函数的判定条件） ，在开区间 ba, 内是可微的，并且111bfbafaafaa ，同理可得：111bfbafabfbb =111bfbafaafa= a即函数 x 在区间 ba, 上满足罗尔定理的第三个条件， 于是又由罗尔定理 ba, ， 0 而对 x 求导xfbabfafbfbafaxfx 110101101 fbabfafbfbafafabfafbf 即 ab afbff . 2.3 借助闭区间套构

12、造性证明拉格朗日中值定理区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础 .由于它具有较好的构造性，现就利用闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 . 证明：设函数 y f x 图形的两个端点分别为 A和 B (如图 2). 数学与统计学院 2009 届毕业论文- 4 - 如果线段 AB 和曲线 y f x 所围成的闭区域不是凸集（凸集即在区域内任意两点连线均在此区域内）则截取线段 AB的一部分平行线段与一部分曲线围成的凸集（目的是保证以后所构造的区间构成闭区间套

13、） ，例如图 2 中取线段 AB 与下半部分曲线所围成的凸集 .设 AB 或其平行线段（最长平行线段） ，与所取凸集的两个交点的横坐标分别为 0a 、 0b ，则 baba , 00 （图 2中 aa0 ）将线段 AB 或者与 AB 平行的该凸集的边界线段向着区域的方向平行移动 .可得到一系列与线段 AB 平行的直线段，其斜率均为abafbfk设这些直线段与区域边界曲线的坐标分别为 ;.,;.,;, 2211 nn bababa 这些坐标构成的区间上又满足., 1100 nn babababa且 lim fab afbfab afbfnnnnn即可得 abfafbf 定理得证2.4 借助待定系

14、数法构造辅助函数借助待定系数法也可以构造一个新的辅助函数 xF （ xF 要与 xf 有关） ，使它满足罗尔定理的条件三（即在两端点的函数值相等的条件） . 设 为待定系数，令 xxfxF要使 bFaF 则需要 bFbbfaafaF即 ab afbf所以，可做辅助函数为 xabafbfxfxF得到与（ 2）式一样的辅助函数证明：作辅助函数 xab afbfxfxF数学与统计学院 2009 届毕业论文- 5 - 经检验，ababfbafbFaF ， 且 xF 满足罗尔定理的另外两个条件 . 故至少存在一点 ba, ，使 0abafbffF即得abafbff . 2.5 借助定积分构造辅助函数在不

15、等式的证明中，常常从要证明的结论出发，采用逆推的方法寻求证明的思路 . 照此，可以从拉格朗日的结论abafbff 出发 . 这里作一个约定： xf 在 ba, 上存在，则afxfdxxfxa ， bax , 成立对 xf 在 ba, 上的可积性不作讨论 . 设要构造的辅助函数的导数为abafbffF 其中 baxa , 则辅助函数为xaxa abafbffdabafbffxF axab afbfafxf得到与（ 1）式相同的辅助函数，证法相同，略 . 2.6 借助不定积分构造辅助函数为 了 寻 求 证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 辅 助 函 数 ， 从 要 证 的 结abafbff

16、 出发也可考虑借助不定积分求其原函数数学与统计学院 2009 届毕业论文- 6 - cab afbffdab afbffF （ c 为任意常数）经验证，当ababfbafc ，即可使 0bFaF因此，可作辅助函数为ababfbafxabafbfxfxF证明：作辅助函数ababfbafxabafbfxfxF经检验 0bFaF ，且 xF 满足罗尔定理的另外两个条件，故至少存在一点 ba, 使0 ab afbffF即得到 ab afbff . 2.7 借助坐标轴旋转变换构建辅助函数以上几种辅助函数的构造，都是从罗尔定理两端点的函数值相等这一条件出发考虑 .下面从曲线 xfy 在 ba, 上两端点

17、A、 B 的连线弦 AB 与 x 轴的关系考虑问题 .分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的几何特征 . 设曲线 xfy 在 ba, 上两端点 bfbBafaA , .连线弦为 AB ,在罗尔中， 由于两端点的函数值相等， 弦 AB的斜率 01k 即弦 AB 与 x轴平行。 而在拉 格 朗 日 中 值 定 理 中 由 于 两 端 点 的 函 数 值 不 等 ， 弦 AB 的 斜 率02 ab afbfk .所以， 弦 AB与 x轴不平行 .为了把问题转化为符合罗尔中值定理的条件， 可以考虑作坐标轴的旋转， 使旋转角 满足abafbfktg2 .则新坐标系的 x 轴与弦 AB 平行，在新坐标下有曲线

18、xfy 在点 A 、 B 的纵坐标相等 . 因此，有坐标轴的旋转公式：数学与统计学院 2009 届毕业论文- 7 - s i ns i ns i nc o syxyyxx得 cossin xfxy作辅助函数 cossin xfxyxF . 因为 cossin afaaFcossin bfbbF由abafbfcossintan 得 bFaF经此坐标轴的旋转变换，使旋转角 满足 ab afbftan因此，构造辅助函数为 c o ss i n xfxxF即可把问题转化为符合罗尔定理的条件 . 证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角 满足abafbftan由坐标轴的旋转公式 : s i ns i ns i

19、 nc o syxyyxx得 cossin xfxy作辅助函数 cossin xfxyxF则 cossin afaaFsinsin bfbbF因为abafbfcossintan 经检验，可得 bFaF ，且 xF 满足罗尔定理的另外两个条件 . 故至少存在一点 ba, . 使得 0cossin fF即得到 ab afbff c o ss i n数学与统计学院 2009 届毕业论文- 8 - 3 拉格朗日中值定理的应用微分中值定理， 给出了在区间上函数与其导数之间的联系 . 因此， 在证明有关导数增量与自变量的增量，或它们与区间内某点处导数值有关的等式与不等式或相关命题时，可以考虑应用微分中值定

20、理，在应用的过程中注意中值定理所成立的条件 . 3.1 拉格朗日中值定理在等式证明中的应用例 1 当 0x 时，证明 : 2141211 xxxxx且 21lim,41lim0 xxxx分析 ： 注意到 ,21xx 欲证等式正是函数 xxf 在区间 1, xx 上用拉格朗日中值定理的结果 . 证明 ：取函数 xxf ，在区间 1, xx 上应用拉格朗日中值定理，得xxfxxxxfxfxf 11即xxxx211为确定 x 的取值范围和求 x 的极限，由上式出发表示 x ，得xxxx 212141 （ 3）当 0x 时，211 xxx ，代入（ 1）式，即得21x于是有 2141 x ，当（ 3）

21、式 211lim2141lim,41lim0 xxxxxxxx数学与统计学院 2009 届毕业论文- 9 - 例 2 设 xf 在 ba, 上可微， 0af ，且存在实数 A0 ，使得在 ba, 上xfAxf ，试证明在 ba, 上恒有 0xf . 证明 ：取 bax , 使Aax10 ,由拉格朗日中值定理：xaaxAfaxffxfxf 111 ,0进而 )(, 1222221 2 xaaxAfaxAfaxAaff一般地 Afxf 1 nnn axAfaxAfax .222这里 xa nn 121 .取 xfMbxamax ，则当 Aaax 1, 时，有 ,.2,1. naxMAxf nn易见

22、： Aaax 1, 时，有 0xf 然后在 AAaAa 121,21上重复以 上步骤，得 AAaAax 121,21 时， 0xf重复以上步骤即得在 xf 在AAaAax121,21 恒有 0xf3.2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用例 3 证明：当 1a ， n为正整数时，有不等式1 1 1 11 12 2ln1n n n na a a aa nn分析 ：注意到1 121lnx xa a ax 应用拉格朗日中值定理 . 证明 ： 函数1xf x a 在区间 , 1n n 上满足拉格朗日中值定理的条件， 故有11 121 ln , , 1n na a a a n n （ 4）数学与统计学

23、院 2009 届毕业论文- 10 - 因 1a ，1xf x a 在 , 1n n 内单调递减，又 1n n有11 11n na a a ， 2 2 21n n所以11 112 2 21n na a ann （ 5）由 （ 4）式得1 1 112 lnn na a aa （ 6）结合（ 5）式和（ 6）式即可以得到1 1 1 11 12 2ln1n n n na a a aa nn3.3 拉格朗日中值定理在研究函数性态中的应用若 xf 在 ba, 上连续， 在 ba, 内可导， 则在 ba, 上 00 xxfxfxf（若 在 x 与 0x 之间） ， 这可视为函数 xf 的一种变形， 它建立了

24、函数与导数的关系，我们可以用它来研究有关函数性态，如函数的一致连续、单调性等 . 例 4 证明如果 xf 在 ,a 上可导， 且 ,ax ， 有 Mxf , 其中 0M为常数，则 xf 在 ,a 上一致连续 . 证明 ： , 21 axx ， 在以 21, xx 为端点的区间上，有1212xxxfxff 介于21, xx 之间在利用已知条件，有 1212 xxMxfxf即 xf 在 ,a 上满足 Lipschitz 条件，则 xf 在 ,a 上一致连续。数学与统计学院 2009 届毕业论文- 11 - 例 5 试证：若函数 xf 在 a,0 0a 上可导， xf 单调递增，且 00f ，则函数

25、xxf 在 a,0 上单调递增 . 证明 ：对任意的 21 ,xx a,0 ，且 21 xx ，则 xf 在 1,xo 和 21, xx 上均满足拉格朗日中值定理，于是分别存在 1,0 x ， 21, xx 使121211 ,0xxxfxffoxfxff由于 xf 单调递增，且 00f ，所以 ff即：121211xxxfxfxxf ，通分移项整理得2211xxfxxf即函数 xxf 在 a,0 上单调递增 . 3.4 拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，罗尔定理是它的特例，柯西中值定理的它的推广，在求数列极限问题时 , 主要用到了如辅助函数法、递推法和

26、累加法 , 关键是辅助函数的建立 .所以在应用微分中值定理时： 一要仔细观察 , 适当变换待证求的式子 ; 二要认真分析 , 巧妙构造辅助函数 , 抓住这两点一般会简单解决问题 . 例 6 设函数 xf 满足：（ 1）在 ax 的某 邻域 aa , 内连续；（ 2）在 aaaa , 内可导；（ 3） Kxfaxlim . 则 xf 在 ax 可导，且 Kaf 证明 ： xf 先对在 aaax , 上应用拉格朗日中值定理，有axfafxf ， aaax ,数学与统计学院 2009 届毕业论文- 12 - 从而有 limlimlim faxaxfaxafxfafaaxax由 Kxfaxlim ，

27、故 Kfafa l i m同理可证 Kaf 从而有 Kaf 此结论说明了， 若有限导数 xf 在某区间存在， 则在区间的每一点处，它或是连续，或是有第二类间断点 . 例 7 已知nnnnnnnan 1.2111 求nnalim . 解 ： 设 xxf 2 ， 对 xf 在 1, knnknn 上函数 xf 符合拉格朗日中值定理的条件， 故可以应用得：11212knnknnknnknn ， 1, knnknn故 knnn knnknknn 121211当 1,1,0 nk 时，共有 n 不等式，将上面这 n 不等式相加得：2221312111nnnnnnnnn 121211112 nnnnnnn

28、 , 即22 211222nana nn从而 222112220nnan由极限存在准则知 222limnna3.5 拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用例 8 设 xf 在 1,0 可导，且对任何 1,0x ，都有 1 xf ，又 10 xf ，数学与统计学院 2009 届毕业论文- 13 - 试证明在 1,0 内，方程 0xxf 有唯一实根 . 证明 ： （存在性）令 xxfxF 在 1,0 利用零点定理易证 . （唯一性） 反证法， 假设有两个实根 21,xx ， 使得 2211 , xxfxxf不妨设 21 xx 在 21, xx 1,0 上对 xf 应用拉格朗日中值定理，有211

29、2121212 ,1 xxxxxxxxxfxff这与 1 xf 矛盾， 故结论得证 . 数学与统计学院 2009 届毕业论文- 14 - 参考文献1 叶春辉 . 微分中值定理及其探究性学习教学研究 J. 长江工程职业技术学院学报，2008,12. 2 华东师范大学数学系 . 数学分析 ( 上册 )M. 北京 : 高等教育出版社 , 2004. 3 裴礼文 . 数学分析中的典型问题与方法 M. 北京 : 高等教育出版社 , l993. 4 韩应华，姚贵平等 . 微分中值定理的应用及推广 J. 内蒙古农业大学学报， 2009,9 5 朱智和 . 微分中值定理在解题中的若干应用 J. 绍兴文理学院学

30、报， 2009,12 6 余惠霖 . 拉格朗日中值定理证明中若干辅助函数的构造 J. 广西民族师范学院学报， 2011,6 7 王有文 . 拉格朗日中值定理的另一种证明方法 J. 忻州师范学院学报， 2012,4 数学与统计学院 2009 届毕业论文- 15 - 致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完， 在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍， 都在同学和老师的帮助下度过了。 尤其要强烈感谢我的论文指导老师李明图，以及给我带过课的诸位老师，他们对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！