1、2018年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 （理科） 说明： 1 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组 与广州市高考数学研究组共同 编写，共 28题 ，请各校教师根据本校学生的实际情况选择使用 2 本训练题仅供本市高三学生考前 冲刺训练 用，希望在 5月 31日之前完成 3 本训练题 与 市高三质量抽测 、 一 测 、 二 测 等数学试题在内容上相互配套，互为补充 四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法 因此，希望同学们在 5月 31日至 6月 6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍 希望同学
2、们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！ 1.已知在锐角 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 且 c o s c o s s in3 s inB C Abc C. （ 1）求 b 的值； （ 2）若 cos 3sin 2BB，求 ABC 周长的取值范围 . 2 如图所示，在四边形 ABCD 中， 2DB ，且 1AD ， 3CD ， 3cos 3B （ 1）求 ACD 的面积 （ 2 ）若 6BC ，求 AB 的长 3 已知 ABC 的内角 A B C、 、 的对边长分别为 a b c、 、 ， 且 3 ta n ta nco sc ABaB. （ 1）求角 A 的
3、大小 ； （ 2）设 AD 为 BC 边上的高 ， 3a ， 求 AD 的范围 . 4.设数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 4nS ， 1 21nnaS ， .nN （ 1）求通项公式 na ； （ 2）求数列 2nan 的前 n项和 5、已知数列 na 满足 2 ( 1 )nna q a q q n N 为 实 数 ， 且 ， 121, 2,aa 且 2 3 3 4 4 5+a a a a a a ， ，成等差数列 . （ 1）求 q 的值和 na 的通项公式； （ 2）设 2221lo g ,nnnab n Na ，求数列 nb 的前 n 项的和 . 6.设数列 na 满足 123
4、 ( 2 1 ) 2 .na a n a n （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）求数列 21nan的前 n项和 7、已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，常数 0 ， 且 11nnaa S S 对于一切 正整数 n 都成立 . （ 1） 求 na 的通项公式 ； （ 2） 设 1a 0 ，且 =100 ， 当 n 为何值时 ， 数列 1logna的前 n 项的和最大 ？ 8.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程 .某市有户籍的人口共 400万，其中老人（年龄 60 岁及以上）人数约有 66 万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取 600 人并委托医疗机构
5、免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以 80 岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表： （ 1）若从样本中的不能自理的老人中采取分层抽样的方法再抽取 16 人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？ （ 2）估算该市 80 岁以上长者占全市户籍人口的百分比； （ 3）政府计划为 80 岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买 1000元 /年的医疗保险，为其余老人每人购买 600 元 /年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算 . 9.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生 .
6、某市场研究人员为了了解共享单车运营公司 的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图 . (1)由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率 (%)与月份代码 之间的关系 .求 关于 的线性回归方程，并预测 公司 2017年 5月份（即 = 7时）的市场占有率； (2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车 .现有采购成本分别为 1000 元 /辆和 1200元 /辆的 、 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用 4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各 100辆进行科学模拟测试
7、，得到两款单车使用寿命频数表见上表 . 经测算，平均每辆单车每年可以带来收入 500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 公司的负责人，以 每辆单车产生利 润的期望值 为决策依据，你会选择采购哪款车型？ （参考公式：回归直线方程为 = +，其中 = ()()=1 ()2=1 = =1 22=1 , = ） 10.某市为迎接 “ 国家义务教育均衡发展 ” 综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了 n 所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分 .其中 xy、 分别表示 “ 学校的基础设施建设 ” 和 “ 学校的师
8、资力量 ” 两项指标，根据评分将每项指标划分为 A (优秀 )、 B (良好 )、 C (及格）三个等级，调查结果如表所示 .例如：表中 “ 学校的基础设施建设 ” 指标为 B 等级的共有 20 21 2 43 所学校 .已知两项指标均为 B 等级的概率为 0.21. （ 1）在该样本中，若 “ 学校的基础设施建设 ” 优秀率是 0.4，请填写下面 22 列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为 “ 学校的基础设施建设 ” 和 “ 学校的师资力量 ” 有关； （ 2）在该样本的 “ 学校的师资力量 ” 为 C 等级的学校中，若 18,11 15ab ，记随机变量 ab，求 的分布列和数
9、学期望 . 附 : 22 n a d b cKa b c d a c b d 11.2017年 12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战 .某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图 . （ 1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位：千万立方米 )与年份 (单位：年 )之间的关系 .并且已知 关于 的线性回归方程是 = 6.5 +，试确定 的值，并预测 2018年该地区的天然气需求量； （ 2）政府部门为节约能源出台了购置新能源汽车补贴方案
10、，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类， A类：每车补贴 1万元， B类：每车补贴 2.5万元， C类：每车补贴 3.4万元 .某出租车公司对该公司 60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计 ，结果如下表： 类型 类 类 类 车辆数目 10 20 30 为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的 60辆车中抽取 6辆车作为样本，再从 6辆车中抽取 2辆车进一步跟踪调查 .若抽取的 2辆车享受的补贴金额之和记为 “ ” ，求 的分布列及期望 . 12.如图，在正四棱台 1 1 1 1AB
11、CD A B C D 中， 11AB a ， 2AB a ， 1 2AA a ， E 、 F分别是 AD 、 AB 的中点 . （ 1） 求证：平面 11EFBD 平面 1BDC ； （ 2） 求二面角 1D BC C的余弦值的大小 . 注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥 .用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台 . C 1BE D F A B 1A1D1C13.如图 ，在正方形 ABCD 中 ，点 E ， F 分别 是 AB ， BC 的 中点，将 AED DCF ， 分别沿 DE ， DF 折 起， 使 AC，
12、 两点 重合于 P . （ 1） 求证 ： 平 面 PBD BFDE 平 面 ； （ 2） 求 二面角 P DE F的 余弦值 . 14.如图，三棱锥 P-ABC中， E， D分别是棱 BC， AC的中点， PB=PC=AB=4， AC=8， BC=43，PA=26 （ 1）求证： BC平面 PED； （ 2）求平面 PED与平面 PAB所成的锐二面角的余弦值 15 如图，四边形 ABCD 中， /AB CD ， 30ABD， 2 2 2 3A B C D A D ， DE面 ABCD ， /EF BD ，且 23EF BD . （ 1）求证： /FB 面 ACE ； （ 2）若二面角 C B
13、F D的大小为 60 ，求 CF 与面 ABCD 所成角的正弦值 . D E C B P A 16.已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y轴上截得的弦 MN的长为 8. (1) 求动圆圆心的轨迹 C的方程 ; (2) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x轴的直线 与轨迹 C交于不同的两点 P, Q, 若 x轴是的角平分线 , 证明直线 过定点 . 17.已知两点)0,1(1 F及)0,12，点 P在以F、 为焦点的椭圆 上，且PF、2FF、2PF构成等差数列 （ 1）求椭圆C的方程； （ 2）动直线:l y kx m与椭圆C有且仅有一个公共点，点,是直线上的两点，且lMF 1，N2 求四
14、边形12FMNF面积S的最大值 18.如图，已知过点 D ( 2,0) 的直线 l 与椭圆 2 2 12x y交于不同的两点 A 、 B ，点 M 是 弦 AB 的中点 （ 1）若 OP OA OB，求点 P 的轨迹方程； （ 2）求 |MDMA的 取值 范围 19、设函数 2( ) ( 1) (e )xf x x a （ 1）若 ea ，讨论 ()fx的单调性； （ 2）求正实数 a 的值 ， 使得 22a 为 ()fx的一个极值 20、 已知 ( , )Pxy 是函数 xye 的图象上任意一点， O 为坐标原点，记直线 OP 的斜率为 OPk . (1)当 0x 时，设 () OPf x
15、k ，证明： ( ) 2( ln )f x x x； (2)若 设 ( ) c o s s inxg x e x x x， 试探究函数 ()gx在区间 , 22 的零点个数，并说明理由 . lPBQ lD OABMPxy l21、已知函数 lnxef x a x xx （其中 aR 且 a 为常数 ， e 为自然对数的底数 ，2.71828e ） . （ 1）若函数 fx的极值点只有一个 ， 求实数 a 的取值范围 ； （ 2）当 0a 时 ， 若 f x kx m（其中 0m ）恒成立，求 1km 的最小值 hm的最大值 . 22.已知函数 ( ) lnf x x x ， ()xxgxe.
16、（ 1）记 ( ) ( ) ( )F x f x g x，判断 ()Fx在区间 (1,2) 内的零点个数并说明理由； （ 2）记 ()Fx在 (1,2) 内的零点为 0x ， ( ) m in ( ), ( )m x f x g x ，若 ()mx n ，（ nR ）在 (1, ) 内有两个不等实根 1 2 1 2, ( )x x x x ，判断 12xx 与 02x 的大小，并给出对应的证明 . 23在平面直角坐标系中，取原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为： =2cos ，直线 C2的参数方程为： （ t为参数） （ 1）求曲线 C1的直角坐标方程，曲线
17、C2的普通方程 （ 2）先将曲线 C1上所有的点向左平移 1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍得到曲线 C3， P为曲线 C3上一动点，求点 P到直线 C2的距离的最小值，并求出相应的 P点的坐标 24 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1 :4C x y， 曲线 为参数）， 以坐标原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1） 求曲线 12,CC的极坐标方程； （ 2） 若射线 分别交 12,CC于 ,AB两点， 求 的最大值 2 1 co s:(sinxC y O :0lp OBOA25在直角坐标系 xOy中，曲线 M的参数方程为 （ 为参数），若以直角坐标系中
18、的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N的极坐标方程为 sin （ + ） = t（ t为参数） （ 1）求曲线 M和 N的直角坐标方程； （ 2）若曲线 N与曲线 M有公共点，求 t的取值范围 26在直角坐标系中 x Oy 中，已知曲线 E经过点 P(1， 233)，其参数方程为 cos2 sinxay( 为参数 )，以原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 E的极坐标方程； (2)若直线 l 交 E于点 A、 B，且 OAOB ，求证：2211| | | |OA OB为定值，并求出这个定值 27.已知函数 3f x x m. （ 1）若不等式
19、9f x m的解集为 1,3 ，求实数 m 的值； （ 2）若 0m ，函数 21g x f x x 的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于 60，求m 的取值范围 . 28.已知函数 2( ) 2f x x ， ()g x x a. （ 1）若 1a ，解不等式 ( ) ( ) 3f x g x； （ 2）若不等式 ( ) ( )f x g x 至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围 . 2018年广州市高考 备考冲刺阶段 数学 学科 (理科 )训练材料 参考答案 1 解析：（ 1） c o s c o s s in3 s inB C Abc C，应用余弦定理，可得 2 2 2 2 2 2
20、22 3a c b a b c aa b c a b c c ， 化简可得： 3b . (2) cos 3sin 2BB 13c o s s in 122BB即 sin 16 B 0,B 62B ， 3B ; ,s in s in s ina b cA B C 2sin , 2sina A c C , 又 在锐角 ABC 中， 20 , 0 ,2 2 3A C C A , ,62A ABC 周长 为 b c 3 2 s i n s i na A C 3 2 3 s in 3 3 , 3 36A 2 解析： （ 1） 2DB ， 3cos 3B ， 2 21c o s c o s 2 2 c o
21、 s 1 133D B B ， 2 22s in 1 c o s 3DD ， ACD 的面积 1 1 2 2s in 1 3 22 2 3S A D C D D （ 2 ） 在 ACD 中， 1AD ， 3CD ， 1cos 3D ， 由余弦定理可得 2 2 2 12 c o s 1 9 2 3 1 23A C A D C D A D C D D ， 23AC ， 在 ABC 中， 6BC ， 23AC ， 3cos 3B ， 由余弦定理可得 2 2 2c o s 2A B B C A CB A B B C ， 即 23 6 123 26AB AB ， 化简得2 2 2 6 0AB AB ，
22、解得 32AB 故 AB 的长为 32 3 解析：（ 1）在 ABC 中 ， 3 ta n ta nco sc ABaB 3 s in s in s ins in c o s c o s c o sC A BA B A B即 ： 3 s in s in c o s s in c o ss in c o s c o s c o sC A B B AA B A B 31sin c sAA 则 ： tan 3A 3A （ 2） 11 s i n22ABCS A D B C b c A ， 12AD bc 由余弦定理得 ： 2 2 21 2 3c o s 2 2 2b c a b cA b c b c
23、 03bc（当且仅当 bc 时等号成立 ） 30 2AD 4.解：（ 1） 4nS ， 1 21nnaS , .nN 124aa ， 2 1 12 1 2 1a S a ， 解得 121, 3aa，当 2n 时 ， 1 21nnaS ， 121nnaS， 两式相减得 112 ( ) 2n n n n na a S S a ，即 1 3nnaa ，当 121, 1, 3n a a ， 满足 1 3nnaa ， 1 3nnaa，则数列 na 是公比 3q 的等比数列，则通项公式 13nna （ 2） 12 3 2nna n n , 设 12 3 2nnnb a n n ，则 01 3 1 2 2b
24、 ， 12 3 2 2 1b ， 当 3n时 ， 13 2 0n n ,则 12 3 2nnnb a n n ， 此时数列 2nan 的前 n项和229 ( 1 3 ) ( 5 2 ) ( 2 ) 3 5 1 13,1 3 2 2nnn n n n nT 则222 , 1 2 , 13 , 2 3 5 1 1,23 5 1 1 2,32nnnn nTn nnnnn n 5、 （ 1） 由已知，有 3 4 2 3 4 52 + +a a a a a a=+，即 4 2 5 3a a a a= 2nna qa 所以 2311a q a q= ，又因为 1q ，故 322aa， 由 31, 2.a
25、a q q得 当 11 2212 1 ( ) 2 2 ;nknkn k k N a a 时 ，当 222 ( ) 2 2 .nknkn k k N a a 时 ，所 以 na 的通项公式为1222,2,nn nnan 为 奇 数 ,为 偶 数 .（ 2）由（ 1）可得 22121log 2nn nna nb a 设数列 nb 的前 n 项的和为 nS ，则 0 1 2 2 11 1 1 1 11 2 3 ( 1 ) ,2 2 2 2 2n nnS n n ， 1 2 3 11 1 1 1 1 11 2 3 ( 1 ) ,2 2 2 2 2 2n nnS n n 两式相减，得1 2 3 11 1
26、 1 1 1 21 2 ,2 2 2 2 2 2 2 2n n n n nnnS 整理得，-124.2n nnS 所以 数列 nb 的前 n 项的和为-124.2n nnS n N 6.解：（ 1）数列 an满足 123 ( 2 1 ) 2 .na a n a n 2n 时 ， 1 2 13 ( 2 3 ) 2 ( 1 ) .na a n a n 两式相减可得 (2 1) 2.nna 2 .21na n1n当 时 ， 1 2a ，上式也成立 2 .21na n （ 2） 2 2 2 .2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1nan n n n n 数列 21nan的前 n项和 为
27、：1 1 1 1 1 1 2( 1 ) ( ) ( ) 1 .3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1nn n n n 7.解：（ 1） 21 1 1 1 1= 1 , = 2 2 , ( 2 ) 0n a S a a a 当 时 ， 若 11=0 =0 2 0 , 0 .n n n n na S n a S S a ， 则 ， 当 时 ， （ n1 ） 若1 1 - 1 - 12 2 20 = 2 + , 2 +n n n na a n a S a S ， 则 ， 当 时 ， 2 ，上述两个式子相减得 -12nnaa ， 所以 na 为等比数列， 2 =na nn-1 22 . 综上所述，
28、当 1 =0 0naa， 则 ；当 1 0a ， 则 =.na n2 （ 2）当 1a 0 时 ，且 =100 时 ， 令 1lg ,n nb a由（ 1）可知 100lg = 2 n lg 2 ,2n nb 所以数列 nb 是单调递减的等差数列（公差为 lg2 ） . 1 2 3 4 5 6 61 0 0 1 0 0= l g l g l g 1 0 ,2 6 4b b b b b b = 当 n7 时 ，7 71 0 0 1 0 0= l g l g l g 1 0 ,2 1 2 8nbb 故 数列 logna的前 6 项的和最大 . 8.解：（ 1）数据整理如下表： 健康状况 健康 基本
29、健康 不健康尚能自理 不能自理 80岁及以上 20 45 20 15 80岁以下 200 225 50 25 从图表中知不能自理的 80岁及以上长者占比为： = 故抽取 16人中不能自理的 80岁及以上长者人数为 6人，能自理的 80 岁及以上长者人数为10人； （ 2）在 600人中 80岁及以上长者在老人中占比为： = 所以 80 岁及以上长者有： =11万人 用样本估计总体， 80 岁及以上长者占户籍人口的百分比为： =2.75% （ 3）先计算抽样的 600人的预算，其中享受 1000元 /年的人数为 14+25+20+45+20=125 人，享受 600元 /年的人数为 600 12
30、5=475人，预算为： 1251000+475600=4110 4元 用样本估计总体，全市老人的总预算为 4110 4=4.5110 8元 : 所以政府执行此计划的年度预算约为 4.51亿元 9.解： (1)计算可得 = 1+2+3+4+5+66 = 3.5, = 11+13+16+15+20+216 = 16, = 2.5(5)+(1.5)(3)+(0.5)0+0.5(1)+1.54+2.55(2.5)2+(1.5)2+(0.5)2+0.52+1.52+2.52 = 3517.5 = 2. = 1623.5 = 9.月度市场占有率 与月份序号 之间的线性回归方程为 = 2 +9. 当 = 7
31、时， = 27+9 = 23.故 公司 2017年 5月份的市场占有率预计为 23%. (2)由频率估计概率，每辆 款车可使用 1年、 2年、 3年和 4年的概率分别为 0.2、 0.35、0.35和 0.1， 每辆 款车可产生的利润期望值为 1 = (5001000)0.2+(10001000)0.35+(15001000)0.35+(20001000)0.1 = 175（元） . 频率估计概率，每辆 款车可使用 1年、 2年、 3年和 4年的概率分别为 0.1、 0.3、 0.4和0.2， 每辆 款车可产生的利润期望值为： 2 = (5001200)0.1+(10001200)0.3+(1
32、5001200)0.4+(20001200)0.2 = 150（元）， 1 2,应该采购 款单车 . 10.解：（ 1）依题意得 21 0.21n ，得 100n ，由 20 12 0.4100 a ，得 8a 由 2 0 2 0 1 1 2 2 1 1 2 1 0 0ab 得 15b 22 1 0 0 2 0 3 9 2 0 2 1 2 . 2 3 24 0 6 0 4 1 5 9K 因为 2 .0 2 7 2 .2 3 2 2 .7 0 6， 所以没有 90%的把握认为 “ 学校的基础设施建设 ” 和 “ 学校的师资力量 ” 有关 . （ 2） 8,11 15ab ，得到满足条件的 ,ab
33、 有： 8 , 1 5 , 9 , 1 4 , 1 0 , 1 3 , 1 1 , 1 2 , 1 2 , 1 1 故 的分布列为 故 2 1 1 1 1 71 3 5 75 5 5 5 5E 11.试题解析： （ 1）如折线图数据可知 = 2008+2010+2012+2014+20165 = 2012. = 236+246+257+276+2865 = 260.2. 代入线性回归方程 = 6.5 +可得 = 12817.8. 将 = 2018代入方程可得 = 299.2千万立方米 . （ 2）根据分层抽样可知 类， 类， 类抽取人数分别为 1辆， 2辆， 3辆 则当 类抽 1辆， 类抽 1
34、辆时， =3.5，此时 ( = 3.5) = 112162= 215； 当 类抽 1辆， 类抽 1辆时， = 4.4，此时 ( = 4.4) = 113162= 315； 当 类抽 1辆， 类抽 1辆时， = 5.9，此时 ( = 5.9) = 213162= 615 = 25； 当 类抽 2辆时， =5，此时 ( = 5) = 2262= 115； 当 类抽 2辆时， = 6.8，此时 ( = 6.8) = 3262= 315 = 15. 所以 的分布列为： 3.5 4.4 5.9 5 6.8 215 315 25 115 15 = 3.5 215 +4.4 315 +5.9 25 +5 1
35、15 +6.8 15 = 275 （万元） . 12.解析： （ 1） 连接 11AC ， AC ，分别交 11,BD EF BD 于 ,MNP ，连接 1,MNCP 由题意， BD 11BD因为 BD 平面 11EFBD ， 11BD 平面 11EFBD ，所以 BD 平面11EFBD ， 又因为 11 ,2A B a AB a， 所以1 1 11222M C A C a又因为 E 、 F 分别是 AD 、 AB 的中点，所以 1242NP AC a， 所以 1MC NP 又因为 AC 11AC ，所以 1MC NP 所以四边形 1MCPN 为平行四边形所以 1PC MN 因为 1PC 平面
36、 11EFBD ， MN 平面 11EFBD ，所以 1PC 平面 11EFBD 因为 PBDPC 1 ，所以平面 11EFBD 平面 1BDC （ 2） 连接 1AN ，因为 11A M MC NP，又 1AM NP 所以四边形 1ANPM 为平行四边形，所以 PM 1AN C 1BE D F A B 1A1D1CM N Px yz 由题意 MP 平面 ABCD ， 1AN平面 ABCD ， 1AN AN 因为 11AB a ， 2AB a ， 1 2AA a ，所以 2211 62A N A A A N a M P 因为 ABCD 为正方形，所以 AC BD 所以，以 ,PA PB PM
37、分别为 ,xyz 轴建立如图所示的坐标系 ， 则 (0, 2 ,0)Ba， (0, 2 ,0)Da ， ( 2 ,0,0)Ca ，1 26( , 0, )22C a a所以 )0,22,0( BD , )26,2,22(1 aaaBC , )0,2,2( aaBC 设 ),( 1111 zyxn 是平面 1BDC 的法向量，则00111BDnBCn , 1 1 112620222 2 0a x a y a zay ， 1 0y， 令 1 1z ，则 1 3x ，所以 )1,0,3(1 n 设 ),( 2222 zyxn 是平面 1BCC 的法向量，则00212BCnBCn 2 2 222262
38、0222 2 0a x a y a za x a y ， 令 2 1y ，则 2 1x ，2 33z 所以 )33,1,1(2 n所以7732123303,c o s212121 nn nnnn 所以二面角 1D BC C的余弦值的大小为 77 13. 解析：（ 1） 证明 ：连接 EF 交 BD 于 O ， 连接 OP . 在 正方形 ABCD 中 ，点 E 是 AB 中 点，点 F 是 BC 中 点， 所 以 BE BF DE DF， ， 所 以 DEB DFB ， 所 以在等腰 DEF 中 ， O 是 EF 的 中点，且 EF OD ， 因此 在等腰 PEF 中 ， EF OP ，从而
39、EF OPD平 面 ， 又 EF BFDE平 面 ， 所 以平面 BFDE OPD 平 面 ，即 平面 PBD BFDE 平 面 . （ 2） 方法 一： 在 正方形 ABCD 中 ，连接 AF ， 交 DE 于 G ， 设正方形 ABCD 的 边长为 2， 由 于点 E 是 AB 中 点，点 F 是 BC 中 点， 所 以 R t R tDAE ABF ，于 是 ADE FAB ， 从而 90A D G D A G E A G D A G ， 所 以 AF DE ， 于 是，在翻折后的几何体中， PGF 为 二面角 P DE F的 平面角， 在 正方形 ABCD 中 ， 解 得 255AG，
40、 355GF， 所 以，在 PGF 中 ， 255PG AG， 355GF， 1PF ， 由 余弦 定理 得 2 2 2 2c o s 23P G G F P FP G F P G G F ， 所 以， 二 面角 P DE F的 余弦值为 23 . 方法二 ： 由 题知 PE PF PD， ， 两 两互相垂直， 故 以 P 为 原点，向量 PF PE PD， ， 方向 分别为 x ， y ， z 轴 的正方向 ， 建立如图的空间直角坐标系 . 设 正方形边长为 2， 则 0 0 0P ， ， ， 0 1 0E ， ， ， 1 0 0F ， ， ， 0 0 2D ， ， . 所 以 1 1 0E
41、F ， ， ， 0 1 2ED ， ， . 设 x y zm ， ， 为 平面 EFD 的 一个法向量， 由 EFED mm得 020xyyz ， 令 1x ，得 11 1 2m ， ， 又 由题知 1 0 0n ， ， 是 平面 PED 的 一个法向量， 所 以 2c o s 3 mnmn mn， . 所 以，二面角 P DE F的 余弦值为 23 . 14. 解析：（ 1） AC=8,BC=43， AB=4，由勾股定理可得 AB BC, 又 E,D分别是棱 BC,AD的中点， DE AB， DE BC 又已知 PB=PC，且 D是棱 BC 的中点 , PD BC， BC平面 PED （ 2
42、）法一：在 PAC 中， AC=8,PC=4,PA=26, 由余弦定理可得 cos PCA=78, 又 E是 AC 的中点 , 由余弦定理可求得 PE=2, 易求得 PD=DE=2， PDE是等边三角形，取 DE 中点 F， 过点 F作 BD 的平行线交 AB 于点 G，连接 PF， PG，则 PF ED， PG AB， DE AB，设平面 PED 与平面 PAB的交线为 l，则有 DE AB l， PF DE， GF DE， DE平面 PFG， l平面 PFG, 则 FPG就是平面 PED与平面 PAB所成的锐二面角的平面角 . D E C B P A F G 因为 PF= 3 ， FG=B
43、D=2 3 ， 且 PF FG， PG= 15 ， cos FPG= 55PFPG 故平面 PED与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值为 55. 法二：以 D为坐标原点，分别以射线 DC， DE为 x， y轴正半轴，如图建立空间直角坐标系 则 B( 2 300) ， ， ， C(2 300)， ， , E（ 0,2,0） , A( 2 340) ， ， ,设点 P（ 0,y,z） , 由 PC=4, PA=26可得方程组 22221 2 1 61 2 ( 4 ) 2 4yz ， 解得： 13yz，即点 P（ 0,1, 3 ） , 设平面 PAB的法向量为 n=（ x1,y1,z1）， BA =（ 0,4,0）， BP =
