1、33 几何概型33.1 几何概型及其概率计算结合已学过两种随机事件发生的概率的方法，更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题，理解几何概型的定义与计算公式基 础 梳 理1几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件_，则称这样的概率模型为_简称为几何概型答案: 区域的长度(面积或体积)成比例 几何概率模型2在几何概型中，事件 A 概率计算公式为：P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （面 积 或 体 积 ）试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （面 积 或 体 积 ）3几何概型的特点：在一个区域内_，只与该区域的_有关答案: 均匀分布 大小4几何概型与
2、古典概型的区别：_.例如：一个人到单位的时间可能是 8：00 至 9：00 之间的任何一个时刻；那么他 8：00 到 8：20 到的概率是：_.答案: 4试验的结果不是有限个例：13自 测 自 评1如下图所示将一圆四等分，向圆盘内随机撒两粒小米，则两粒米都落在阴影部分的概率是( A )A. B. C. D014 12 242如下图所示，在 500 mL 的水中有一只草履虫，现从中随机取出 2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( C )A0 B0.002 C0.004 D13下列概率模型中，几何概型的个数为( )从区间10，10 内任取出一个数，求取到 1 的概率；从区间10，1
3、0 内任取出一个数，求取到绝对值不大于 1的数的概率；从区间10，10 内任取出一个整数，求取到大于 1 而小于2 的数的概率；向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离中心不超过 1 cm 的概率A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：不是几何概型，虽然区间10，10 有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间 10， 10和1 ，1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的( 满足等可能性) ；不是几何概型，因为区间10，10上的整数只有 21 个(是有限的) ，不满足无限性特征；是几何概
4、型，因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性答案：B4如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A1 B. 1 C2 D.4 2 2 4解析：选择面积作为测度，求解几何概型的概率取面积为测度，则所求概率为 P S图 形 DEBFS矩 形 ABCD 1 .21 12142212 22 4答案：A基 础 达 标1A
5、BCD 为长方形，AB 2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( B )A. B1 C. D1 4 4 8 82关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( B )A几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个B几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个C几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等D几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等3一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为5 秒，绿灯亮的时间
6、为 45 秒当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( C )A. B. C. D.112 38 116 564已知点 P 是边长为 4 的正方形内任一点，则点 P 到四个顶点的距离均大于 2 的概率是( )A. B1 C. D. 4 4 14 3解析：如图所示，边长为 4 的正方形 ABCD，分别以A、 B、C、D 为圆心，都以 2 为半径画弧截正方形 ABCD 后剩余部分是阴影部分则阴影部分的面积是 424 2216414所以所求概率是 1 .16 416 4答案：B5在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出 2 毫升水样放在显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A0.00
7、8 B0.004 C0.002 D0.005解析：将问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为0.005.2400答案：D巩 固 提 升6如右图，在圆心角为 90的扇形中，以圆心 O 为起点，作射线 OC，则 AOC 和 BOC 都不小于 30的概率为_答案：137在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱 AB 上任取一点 P，求三棱锥 SAPC 的体积大于 的概率V3解析：如右图，要使 VSAPC ，需有 SAPC SABC ，P 需V3 13满足 PB AB.三棱锥 SAPC 的体积大于 的概率为 P (或23 V3 23VV 23P )23ABAB 238一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖
8、扎在靶子上，假设飞镖不会落在黑色靶心上，也不会落在两种颜色之间，求飞镖落在下列区域的概率：(1)编号为 25 的区域；(2)绿色区域(阴影部分)；(3)编号不小于 24 的区域；(4)编号为 6 号到 9 号的区域；(5)编号为奇数的区域；(6)编号能被 5 或 3 整除的阴影区域解析：飞镖落在每一个区域的概率是一样的，那么只要计算小扇形的个数就可以了，一共有 26 个小扇形这是几何概型问题(1)P ；1个 小 扇 形 的 面 积26个 小 扇 形 的 面 积 126(2)P ；13个 小 扇 形 的 面 积26个 小 扇 形 的 面 积 1326 12(3)P编 号 不 小 于 24的 扇
9、形 面 积全 部 区 域 的 扇 形 面 积 ；编 号 大 于 等 于 24的 扇 形 面 积全 部 区 域 的 扇 形 面 积 326(4)P ；6号 到 9号 区 域 的 扇 形 面 积全 部 区 域 的 扇 形 面 积 426 213(5)P ；奇 数 号 区 域 的 扇 形 面 积全 部 区 域 的 扇 形 面 积 1326 12(6)阴影部分能被 3 整除的编号有 6，12，18，24 共 4 个，能被5 整除的编号有 10，20 共 2 个，所以 P .4 226 3139甲、乙两人约定 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概
10、率解析：事件 A“两人能见面” 以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|xy|15，在如图所示平面直角坐标系下，(x，y) 的所有可能结果是边长为 60 的正方形，而事件 A 的可能结果由图中阴影部分表示 A60 245 21 575 ， 60 23 600，P(A) .A 1 5753 600 7161正确理解并掌握几何概型的两个特点是解决相关问题的关键两个特点为：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个(无限性) ；每个结果发生的可能性相等(等可能性)2求试验为几何概型的概率，关键是求出事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解3适当地选择观察角度是解决有关长度、角度、面积、体积等问题的关键
